2024届江苏省高邮市数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届江苏省高邮市数学高一第二学期期末监测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷

上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非

选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.已知数列｝的通项为。Tog（〃+2）,QeN*）,我们把使乘积a-a-a...a

nnn+1123n

为整数的“叫做，，优数，，，则在（0,2019］内的所有，，优数，，的和为（）

A.1024B.2012C.2026D.2036

2.已知点「（since,tana）在第二象限,角。顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,

则角a的

终边落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知等差数列｛。｝中a+a=8则〃+a+〃+a+a

n4634567

A.10B.16C.20D.24

4.过点尸（L—3）且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程为（

)

A.2x-y-5=0B.x+2y+5=0

C.2x+y+1=0D.2x+y-7=0

5.-150°的弧度数是（)

715兀2兀兀

B.CD.

'"I66

6.设。为AABC所在平面内一点，若=则下列关系中正确的是（）

-1a4^1一4——

AAD———AB+—ACB.AD=-AB--AC

.3333

-4-1一4一-1

CAD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

.3333

7.在△筋。中，BD，=2DC；则（）

1一2—1一2—.2一1一2一1一

A-AB--ACB-AB+-ACC-AB--ACD-AB+-AC

・33.3333,33

8.函数y=%+—+6（x>0）的最小值为（）

x

A.6B.7C.8D.9

x>0

9.已知羽丁满足：U+J<2,则目标函数z=3x+y的最大值为（）

x-y<0

A.6B.8C.16D.4

10.等差数列｛a｝的首项为1.公差不为0,若J，%，叱成等比数列，则数列｛a｝的前10

n236n

项和为（）

A.-80B.80C.-24D.24

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知函数y=/（x）是定义域为R的偶函数.当XN0时，

(0<x<2)

关于X的方程+力■（%）+/?=0,有且仅

+l(x>2)

有5个不同实数根，则实数a+b的取值范围是.

12.函数y=sin2x+2\3sin2x的最小正周期T为.

13.若角a的终边经过点尸（一2,1）,则sina+；）=.

14.若直线x+y+机=0上存在点P可作圆。：n2+y2=l的两条切线？A、PB,切

点为4、B,且/APB=60。，则实数机的取值范围为.

15.某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存款到期不取出继续留存于银行，银

行自

动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期

储蓄，

某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和

为

元.（精确到1元）

16.AABC中，内角4、B、。所对的边分别是a、b、c,已知c=bcosC+ccosB,

且b=2,3=120,则AABC的面积为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PD,底面A8CD是矩形，侧面R4D，底

面ABCD,E是A£＞的中点.

(1)求证：A。//平面PBC；

(2)求证：平面上40.

18.已知数列｛。｝中，a=l,a+2a+3a+...+na，（〃eN*

n1123〃3〃+l

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(2)求数列't22a｝的前〃项和T；

nn

(3)若对任意断eN*,都有。之(〃+1)九成立，求实地的取值范围.

n

19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA_L底面ABCD,

A3垂直于A。和5C,M为棱SB上的点,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)若"为棱S6的中点，求证：AM〃平面SCD；

(2)当SM=2MB时，求平面AMC与平面所成的锐二面角的余弦值；

(3)在第(2)问条件下，设点N是线段CD上的动点，“V与平面所成的角为

0,求当sin0取最大值时点N的位置.

20.已知等差数列｛。卜茜足a=2,a=8.

n25

⑵各项均为正数的等比数列｛。｝中，b=1,b+b=a求｛0｝的前〃项和T.

n1234nn

21.在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV销

量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手,

再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018年7〜11月份的销售量

对比表

时间7月8月9月10月U月

2017年(单位：万辆)2.83.93.54.45.4

2018年(单位：万辆)3.83.94.54.95.4

(I)若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销

量相同的概率.

(II)分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较

稳定.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解题分析】

根据优数的定义，结合对数运算，求得〃的范围，再用等比数列的前几项和公式进行求

和.

【题目详解】

根据优数的定义，

aa...a=log3xlog4x?..xlog(〃+2)

12n23n+1

=log(n+2)

2

令log2(〃+2)=左,ZeZ,则可得"=2上—2

令0<2女一2<2019,解得左eLjolkeZ

贝I］在(0,2019］内的所有“优数”的和为:

Q-2)+Q一2)+...+(2io一2)

^22+23+...+2io)—18

=2026

故选：C.

【题目点拨】

本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前〃项和公式.

2、C

【解题分析】

根据点P的位置，得到不等式组，进行判断角。的终边落在的位置.

【题目详解】

(、［sina<0

点P(sina,tanaJ在第二象限八=&在第三象限，故本题选c.

tana>0

【题目点拨】

本题考查了通过角的正弦值和正切值的正负性，判断角的终边位置，利用三角函数的定

义是解题的关键.

3、C

【解题分析】

根据等差数列性质得到％=8=2。再计算得到答案.

465

【题目详解】

已知等差数列｛4｝中，a+a=8=2a=>a=4

n4655

a+a+a+a+a=5a=20

345675

故答案选c

【题目点拨】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

4、C

【解题分析】

先求出直线x-2y+3=0的斜率，再求出所求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程

求解.

【题目详解】

由题得直线x—2y+3=0的斜率为-3=1，

-22

所以所求的直线的斜率为-2,

所以所求的直线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+l=0.

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查互相垂直直线的性质，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平，属于基础题.

5、B

【解题分析】

由角度与弧度的关系转化.

【题目详解】

1兀5兀

.150=-150X_=--.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：180。=兀.

6、A

【解题分析】

•/BC=3CD

AC-AB=3(AD-AC)；

4一1一

：.AD=-AC--AB.

故选A.

7、B

【解题分析】

根据向量的三角形法则进行转化求解即可.

【题目详解】

BD'=2DC，

__2_

:.AD=AB+BD=AB+-BC,

3

^BC=AC-AB

1.2—.

则A力=-AB+-AC

33

故选：B

【题目点拨】

本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解,

属于基础题.

8、C

【解题分析】

直接利用均值不等式得到答案.

【题目详解】

y=x+—+6(x>0)>2x--+6=8,x=l时等号成立.

xYx

故答案选C

【题目点拨】

本题考查了均值不等式，属于简单题.

9、D

【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。

【题目详解】

由题得，不等式组对应的平面区域如图，z=3x+y中z表示函数在y轴的截距，由图

易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为(11)，因此目标函数z=3x+y的

最大值为4.

故选:D

【题目点拨】

本题考查线性规划，是基础题。

10、A

【解题分析】

根据等比中项定义可得。2=a-a；利用4和4表示出等式，可构造方程求得2；利

3261

用等差数列求和公式求得结果.

【题目详解】

由题意得：。2=。-a

326

设等差数列｛a｝公差为dQw。)，则(a+2d1=(a+d)(a+5d)

n111

即：(l+2d>=(l+d)G+5d),解得：d=—2

inxa

:.S=10«+------=10-90=-80

ioi2

本题正确选项：A

【题目点拨】

本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前〃项和公式的应用；关

键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.

、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

【解题分析】

令/(x)=f,则原方程为力2+成+8=0,根据原方程有且仅有5个不同实数根，则

/(x)=，有5个不同的解，结合/(x)图像特征，求出f的值或范围，即为方程

t2+at+b=0解的值或范围，转化为范围，即可求解.

【题目详解】

令/(x)=t,则原方程为"+〃+匕=0,

(0<x<2)

当无之0时,,且/(x)为偶函数,

+1(%>2)

做出了(x)图像，如下图所示:

当t=o时，〃x）=t有一个解；

当。<rwi或/=提，/（x）=r有两个解；

当1</<?时，y（x）=r有四个解；

当/<o或/〉!■时，〃x）=f无解.

［fG）］2+«/■（%）+/?=0,。力eR有且仅有5个不同实数根，

关于/的方程"+G+匕=0有一个解为0,b=0,另一个解为一。，

、八5、，55,

—a在区间（1，7）上,所以］<一a

444

实数a+〃的取值范围是［―［，—

故答案为

【题目点拨】

本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函

数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.

12、兀

【解题分析】

•/y=sin2x+>/3(1-cos2x)=2sin(2x-^-)+^3,:.T=n.

考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.

13、一毡

5

【解题分析】

利用三角函数的定义可计算出cosa,然后利用诱导公式可计算出结果.

【题目详解】

-22J5

由三角函数的定义可得cosa==,

《2»+125

由诱导公式可得sin(a+g]=cosa=-3^.

故答案为：—正.

5

【题目点拨】

本题考查利用三角函数的定义和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.

14、[-2立2何

【解题分析】

试题分析：若NAPB=60。，则。P=2,直线x+y+m=0上存在点尸可作

。：％2+》2=1和的两条切线PA,PB等价于直线x+y+〃?=。与圆％2+产=4有公

m

共点,由圆心到直线的距离公式可得\\<2,解之可得[—20",2"].

用

考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.

【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及

到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和

解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线x+y+m=°上存

在点P可作。：4+y2=1和的两条切线PA,尸8等价于直线x+y+机=°与圆

彳2+尸=4有公共点是解答的关键.

15、218660

【解题分析】

20万存款满一年到期后利息有,本息和共

,再过一年本息和

,经过5年共有本息元，计算即

可求出结果.

【题目详解】

20万存款满一年到期后利息有,本息和共

,再过一年本息和

200000(1+2.25%x80%-，经过S年共有本息元，

元.

故填218660.

【题目点拨】

本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率

,利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和,

属于中档题.

⑹正

3

【解题分析】

由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出。=c,再利用余弦定理可求出

a、c的值，然后利用三角形的面积公式可计算出A4BC的面积.

【题目详解】

--c=bcosC+ccosB,由边角互化思想得

sinC=sin6cosc+cos8sinC=sin(B+C),

即sinC=sinA,：.a=c,

由余弦定理得bi=a2+c2-2accosB=42+42-2a2•3a2

73,273

r.a=-b=—,

33

所以，c=a=3g,因此，S=；acsin3x当=*,故答案为

3MBC2213)23

73

3°

【题目点拨】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公

式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查

运算求解能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17,(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)利用A£>"BC即可证明；

(2)由面面垂直的性质即可证明.

【题目详解】

证明：(1)在四棱锥P—ABCD中，•.•底面A8CD是矩形，

ADIIBC,

又平面PBC,8。匚平面尸8。；

AD//平面PBC.

(2)•.,侧面PAD1底面ABCD,侧面PAD平面ABCD=AD,

■:ABVAD,A6平面ABC。，

..A3_L平面24。

【题目点拨】

本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题.

1,n=1

1+(3〃-1)・4〃T。/1

18、(1)a3,4〃-2(2)T=--(--3--)-九--1-----

n------,n>2

、n

【解题分析】

，(〃递推到

⑴利用递推公式求出净4+2%+3%+•••+〃.eN*),

3〃+i

〃〃n

当〃22时,a+2。+3a+...+(-1)=/，两个式子相减，得到

123M-1

(〃+1)。4也,n>2,进而求出数列｛a｝的通项公式;

B+1

(2)运用错位相减法可以求出数列42〃｝的前〃项和T；

(3)对任意的〃eN*,都有。4(〃+1)九成立，转化为大K2］的最小值即可,

«n+1

利用商比的方法可以确定数列H-的单调性，最后求出实数九的取值范围.

H+1

【题目详解】

n+1(…

(1)数列｛”“｝中,Q=1〃+2〃+3〃+.・,+----a,5£N*

1123n3〃+i

23

可得〃=1时，qa,即。=_

32，-22

n

2时，a+2〃+3〃+…+(〃-l)o—a

123n-13n

n+1

又〃+2。+3。+...+〃。-----a

123n3〃+i

n+1n

两式相减可徽。=-^-a—a

〃3n1+13n

化为(几+1)〃=4na,n>2,

n+ln

3,4n-2

可得也=2a•4〃-2=3・4〃-2,即〃=------,n>2,

n2nn

1,n=1

综上可得。=134-23；

〃--------,n>2

、n

(2)n2a=3n-4«-2,n>2,

n

则前n项和T=1+3(2-1+3-4+4-16+...+n-4„-2),

n

47=4+3(2-4+3-16+4-64+...十几•4«-i),

1—4«-i

相减可得^3T二—3+3(2+4+16+…+4〃-2—〃•4〃-i)=3---------—3n-4«-i,

n1-4

1+(3«-1).4〃-i

化为T=

n3

(3)对任意即eN*,都有。2(〃+1)九成立,

n

即为入w'、的最小值，

n+1

由〃=1可得与1

2

a3-4〃-2匕£,3,4«-i〃(〃+1)4M

n+1〃(.+1)'a(n+1)G+2)3・4〃-2n+2

n+1

可得“22时，［sj递增,

当t或2时，Ar取得最小心

则大<].

【题目点拨】

本题考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数列的单调性，考查了错位相减法，

考查了数学运算能力.

19、(1)见解析；(2)叵;(3)即点N在线段CD上且ND=1/§

615

【解题分析】

(1)取线段SC的中点E,连接ME,ED.可证AMED是平行四边形，从而有AMUDE,

则可得线面平行；

(2)以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系，求出两平面与平面出山的法向量，由法向量夹角的余弦值

可得二面角的余弦值；

(3)设N(X,2X—2,0),其中1<X<2,求出MM,由MN与平面£45所成角的正

弦值为羽方与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论.

【题目详解】

(1)证明：取线段SC的中点E,连接ME,ED.

在中，ME为中位线，，ME7/8C且用石=,

：AT>//2C且AD=：BC,.IME//A。且ME=AD,

二四边形AMED为平行四边形.

；.AMUDE.

■：DEu平面SCD,AM<Z平面SCD,

AM//平面SCD.

（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,B（0,2,0）,C（2,2,0）,D（l,0,0）,

S（0,0,2）,

由条件得M为线段SB近B点的三等分点.

于是AM=—AB+可AC=（0,耳,可），即M[o,可,yj,

AM•〃=0

设平面AMC的一个法向量为〃=（x,y,z）,贝八，

ACn=0

将坐标代入并取y=i,得日=（—□,—2）.

另外易知平面SAB的一个法向量为m=（1Q，O）,

m-n后

所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为pipT=—.

6

⑶设N（x,2x-2,o）,其中1<X<2.

（42、___.（102、

由于M[O,可,可），所以MN=[x,2x_3,一可J.

.QMN-m\x1

所以MN^in\40（104~140~1，

X2-3J9\~9~'XT~T'X+

40

1一71526

可知当7=_20g=，即X=jy时分母有最小值，此时有最大值,

~9~

、J2622Q11J5

此时，N7T,0,0,即点N在线段CD上且ND=」二.

【题目点拨】

本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角.求空间角时，一般建立空间直角坐

标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面

角互余可求得线面角.

20、（1）a=2"-2；（2）2»-1.

n

【解题分析】

试题分析：⑴