2023-2024学年高考数学数列专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学数列小专题过关练习

一、单选题

1.已知数列④，后-以，而，…,则20是这个数列的（）

A.第6项B.第7项C.第9项D.第11项

2.己知等比数列｛"/的前〃项和为S”，4=3,且3岳，2邑，$3成等差数列，则数列｛%｝的

通项公式为（）

a31

B.%=出C.%=3"口.n="-

公差为d的等差数列｛"”｝的首项为％,前

3.〃项和为S”，且满足2%=%+5,贝1]

S13二()

A.55B.60C.65D.70

已知等差数列｛"'｝的前〃项和为S",且为=5

4.,‘5-15,则数列J的前2021项和

为()

2021202020212022

A.2022B.2021C.2020D.2021

1；2

设等比数列｛“"｝的前"项和为S",若耳。：',则$：$5等于（）

5.*=

A.3:4B.2:3C.1：2D.1：3

（।=1--------22）

6.已知数列汹/中，％=2,%.,则4。21等于（）

J_

A.-1B.2C.2D.2

%+%

在等比数列｛%｝中，％=1,a2a3=8,贝°/+%()

A.8B.6C.4D

8.如果数列包｝满足为=2,%=1,且%-%%-%,那么此数列的第1。项为（）

111J

A.210B.29C.10D.5

、多选题

9.已知等差数列｛"J是递增数列，其前〃项和为S，，，且满足%=3%,则下列结论正确

A.d>0

C.当"=5时，S"最小D.当时，〃的最小值为8

10.已知等比数列｛为｝中，满足q=1应=2,则（）

A.数列他”｝是等比数列

B.数列是递增数列

C.数列｛唾2%｝是等差数列D.数列卜"｝中，'。々。应。仍成等比数列

11.数列｛""｝的前〃项和为邑，已知$"=-二+7",贝ij（）

A.｛“/是递增数列

当〃〉4时，?<0

当"=3或4时，£取得最大值

12.已知数列｛""｝的前”项和为邑，4=1,"12%_|+1,〃=2上+1.则下列选项正

确的为（）

R=16

B.数列）是以2为公比的等比数列

C.对任意的左eN*,=2/，+1-3

D.工>1°0°的最小正整数”的值为15

13.若数列｛%｝满足q=L"向一丁"+1,则.”

s“_2"a6

14.等差数列｛"/和也｝的前〃项和分别为£与J若（3/7+1,则a等于.

15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数

学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16只，且雌雄各半.1个月后,

有一对老鼠生了16只小老鼠，一共有18只；2个月后，每对老鼠各生了16只小老鼠，一共

有162只.以此类推，假设〃个月后共有老鼠%只，则氏=.

16.设数列满足%",%=6,且%+2-2%+/=2,若IKI表示不超过x的最大整数，

-20212021202f

----+----+…+----=

则。2。2021」

答案：

1.B

【分析】根据数列的特征求出通项，可得2石所在的位置.

【详解】数列"后,2"布，…，即叵后血被开方数是首项为2公差为3的

等差数列，

可得原数列通项为%=历""eN*,

275=720=73x7-1,所以2石是这个数列的第7项.

故选：B

2.C

【分析】利用31，2S",成等差数列，求出公比再利用等比数列通项公式求解.

【详解】因为3sI,2星，S3成等差数列，所以3品+5=4邑，所以

3%+%+%+%=4（%+。2）,将％=3代入得，%=3/，所以4=3,所以%=3".

故选：C.

3.C

【分析】根据等差数列基本量运算知识进行计算即可.

【详解】因为公差为"的等差数列｛4｝的首项为为,且满足2%=%+5,

所以2（%+4d）=％+2d+5即4+6d=5

斤以%=13%+只鲁4=13（%+6d）=65

故选：C

4.A

【分析】根据等差数列性质求出｛"」通项公式，继而求出通项公式，最后用裂项相

消解出答案.

Jq+4d=5Jq=1

【详解】设首项为外,公差为d,由题意可得15%+l°dT5,解得[d=l,

111__]

包｝的通项公式为得%%+「〃（〃+1）〃“+L

1111112021

1——i————1-«••-|--------------------------—-----------

数列U%+iJ的前2021项和为223202120222022.

故选：A.

5.A

【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.

【详解】等比数列｛""｝的前"项和为S”，则35再。一$5,九一九成等比数列，

「-若

q_巴v_v__生q_e2Je一网

设。5-7”，则2,2,所以m4,所以4,

3m

45_4_3

m

所以‘54；即&:工=3:4.

故选：A.

6.C

【分析】根据给定的递推公式，求出数列｛“"｝的周期，再借助周期性计算即得.

【详解】数列｛%｝中，当"'2时，“"1«„-i,则

Q=l_j_=l____\=1__"〃-11

U1

n+\1111

%1__L%Tan-\~1

an-X

an+2=1-------=1---------\----=an-\

%+l______L_

,因此当〃GN"时,%+3=%，即数列｛"/是以3为周期的

周期数列，

aa=1

2021=3x673+2=«2--=!

所以q2

故选：C

7.A

【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设该等比数列的公比为九

因为四=L

所以由02%=8=>l・q・l・q2=8nq3=8nq=2

%+%=+?)=/=23=8

因止匕"i+24+a[%+a?

故选：A

8.D

1_X1_1

【分析】由已知的递推式取倒数，得到新数列1""构成以出为为首项，以1为公比

的等比数列.求出该等比数列的通项后利用累加法可得数列｛%｝的第10项.

。〃,a〃一1=%，。〃+1%—%=%—%+1

【详解]由"〃%一%+1得％"-Ian'an+l,

%+1%=]

J__1__J___1_J__1_

即%%+1an,所以%%-1

所以数列146-J构成以出生为首项,

以1为公比的等比数歹U,

1

又

4=2a2=1%22

所以可得%生2,

a3a22

J__1__£

%%5,

111,1、1n?

------=—一=—Q=W

累加得％%2，所以％2,即“八

1

Q］。=—

所以5.

故选：D.

9.ABD

【分析】由递增的等差数列可知d>°;由结合等差数列通项公式可得q=%-4"=-3d<0

最后根据等差数列求和公式与">°可求得最值，即可判断CD

【详解】因为｛"/是递增数列，所以4>0.因为%=3%,

所以%+2"=3%,所以"=%,所以％=%-44=-3"<0,故人，B正确；

又因为%=%-"="々=0,所以S3="，且为S”的最小值，故C错误；

Ss=8（"；"J=4Q+%）=4%=4">0§==0

又22故D正确.

故选：ABD

10.AC

【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确,

从而得出结论.

【详解】等比数列｛%｝中，满足q=1国=2,则%=2",有々“=221,

由%=2,a2n,数列｛&」是首项为2公比为4的等比数列，故A正确;

Mr

而见⑺,则数列10"是递减数列，故B不正确；

又bg2%=〃-l,log2%=0,log2an+1-log2a„=n-（77-1）=1

故数列｛10g2。"｝是首项为o公差为1的等差数列，故C正确；

10

S=lzZl=2-l邑修2L

数列｛（｝中，|01-2,且o=2J,邑0=23°-1,4。S20,故D错误

故选：AC.

11.BCD

回〃=1

a—<

【分析】A选项，根据“〔邑一$5"22求出通项公式，进而得至包｝单调

递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据

二次函数的开口方向和对称轴可得D正确.

［详解］A选项，当,22时，4,=S“_S,T=_2〃+8

又〃i=S］=6=-2xl+8所以4=-2n+8

因为%+「%=-2（"+1）+8+2"-8=-2<0

则."｝是递减数列，故A错误；

B选项，由%=-2"+8可得阳=-12,故B正确；

C选项，令为=-2"+8<0,解得〃>4,故c正确；

7

D选项，因为夕=一X+7工的对称轴为2,开口向下，

又“eN*,所以当"=3或4时，E,取得最大值，故D正确.

故选：BCD.

12.BD

【分析】根据题设的递推关系可得出=%一1=1，％田-2%=1,从而可得叫2-2海=2,由

此可得｛的J的通项和｛出1｝的通项，从而可逐项判断正误.

[详解]由题设可得=1，%+「2%=1,

因为"1=1,%_%=1,故4=4+1=2,

aa

所以2k+2~Q2Hl=1，％+1_2a2k=1,所以2k+2_2a2k=2,

所以。2*+2+2=2(%+2),因为9+2=4彳0,故%+2w0,

-2左+2+2_2

所以勾+2,所以3"+2｝为等比数列，

所以%+2=4x2-即/*=21-2,故&=16-2=14,故A错，C错.

i+,

又=2-2-l=2"「3,故a2t_,+3=2封，

出《+1+3=2

所以&i+3,即｛*+3｝(左")是以2为公比的等比数列，故B正确.

S[4=Q]+%+…+%4=%+(4+1)+。3+(。3+1)。13+("13+1)

=2(q+%+/+%+〃9++%3)+7=2x62—3+2,-3+…+2*-3)+7=981

S]5=S14+%5=981+509=1490〉1000,

故S〃>1000的最小正整数〃的值为15,故D正确.

故选：BD.

关键点点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递

推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑儿的值.

【分析】由2可化简为2、，,从而得数列""分为等比数列从而可

求解.

【详解】由题意得2,从而可得2、),

%+i-2-1

所以见一25,所以数列包一2｝为等比数列,

又因为％=1,所以％一2=-1

1_

所以数列｛""一2｝首项为一1,公比为5的等比数歹I],

所以通项公式为“T=»出，得见

故答案为.12)

11

14.17

S=〃(%+%)1二帅+4)-+%

【分析】在等差数列中，"一2'"一2，得出方4+6■，结合通项公式,

即可得到4的值.

【详解】等差数列｛“■｝和也｝中，

&_"(%+%)T_帅+“)

"-2，"-2,

S"

所以《4+2，设等差数列m｝和也｝的公差分别为

Sn_ax+au2%+104%+54a6Sn2n

则112Z)1+10d24+5d24,且北3〃+l,

a6_2x1111

所以%3x11+117.

11

故答案为.17

15.2x9'

【分析】依题意得出第九个月老鼠与第〃+1个月老鼠总数的关系，再根据等比数列的定义求

出数列的通项公式即可.

【详解】假设"个月后共有老鼠为只，则”+1个月后共有老鼠只，

%+i=%+16x2=9%6?eN,）

所以2、

又6=18,所以％,

所以数列｛“■｝是以18为首项9为公比的等比数列，

所以%=18x91=2x9"

故答案为.2x9"

16.2020

【分析】根据题意，得到（%+2一%+|）一9向一为）=2,得到｛%+「％｝为等