2024届广东省韶关市乐昌县中考数学考前最后一卷含解析

2024届广东省韶关市乐昌县中考数学考前最后一卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这

个几何体的主视图是（）

俯视图

2.菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则它的面积是（）

A.6cm2B.12cm2C.24cm2D.48cm2

3.某市今年1月份某一天的最高气温是3℃,最低气温是一4℃,那么这一天的最高气温比最低气温高

A.—7℃B.7℃C.—1℃D.1℃

4.关于x的一元二次方程x2—4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

5.已知抛物线y=x2+%+c的部分图象如图所示，若yVO,则x的取值范围是（）

A.-l<x<4B.-l<x<3C.或x>4D.或x>3

6.如图，已知AB是。O的直径，弦CD1.AB于E,连接BC、BD、AC,下列结论中不一定正确的是（）

A.ZACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD・AD=AC

7.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档

的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上

一年的年用水量（单位：ml）,绘制了统计图，如图所示.下面有四个推断：

柒数/万户

1.2

1.0

0.8

06

04

02

306090220ISO180210240270330用水量/•

①年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量不超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180mi之间；

④该市居民家庭年用水量的众数约为llOmL

其中合理的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

8.有理数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）

①b<0<a；②|b|V|a|；③ab>0；@a-b>a+b.

―1------------11---------------->

h0a

A.①②B.①④C.②③D.③④

x-2y=a+l

9.方程组，的解x、y满足不等式2x-y>L则a的取值范围为

x+y=2a-l

1123

A.a>一B.a>—C.a<—D.a>一

10.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中，这家商店

（）

A.赚了10元B.赔了10元C.赚了50元D.不赔不赚

11.若x-2y+l=0,贝!J2*+4丫*8等于（）

D.-16

12.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将-ABC沿AC折叠，使点3落在点E处，CE交于点厂，

则。歹的长等于（)

E

D

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：.

14.如图，在AABC中，AB=4,AC=3,以5c为边在三角形外作正方形BCZ>E,连接AD,CE交于点。，则线段

AO的最大值为_____.

15.如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=幺(x<0)的图象上，顶点B,C在x轴上，对角线AC的延

长线交y轴于点E,连接BE,△BCE的面积是6,则k=

3

16.如图，直线y=-/x+3与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C(0,-1)为圆心、1为半径的圆上一动点,

过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小是.

17.化简：«=;

18.如图，将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周

长有最小值8,那么菱形周长的最大值是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）阅读材料：已知点和直线>=丘+6,则点P到直线、=履+力的距离d可用公式1=

计算.

例如：求点尸（-2,1）到直线丫=尤+1的距离.

解：因为直线y=x+l可变形为x—y+l=O,其中左=13=1,所以点P（-2,l）到直线y=x+l的距离为:

_\kx-y+b\_|lx(-2)-l+l|_2

Q0=3.根据以上材料，求：点尸（1」）到直线y=3x-2的距离，并说明点p与

(A/I+FVi+i2一国

直线的位置关系；已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离.

20.（6分）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上，且NECF=45。，CF的延长线交BA的

延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.

ZACG；（填“〉”或“〈”或“=”）线段

备用图

AC,AG,AH什么关系？请说明理由；设AE=m,

①aAGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.

②请直接写出使4CGH是等腰三角形的m值.

21.（6分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价.商品

房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报.某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价

对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以

每平方米4050元的均价开盘销售.求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发

商还给予以下两种优惠方案发供选择：

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？

22.（8分）已知边长为2a的正方形对角线AC、50交于点Q,对于平面内的点尸与正方形A5CZ）,给出如

下定义：如果则称点尸为正方形A3。的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若A（-l,1）,B

-1,-1),C(1,-1),D(1,1).

⑴在g,o],4gdi月（0,3）中，正方形ABC。的“关联点”有；

（2）已知点E的横坐标是山，若点E在直线y=而;上，并且E是正方形A5CZ>的“关联点”，求机的取值范围;

（3）若将正方形A3C。沿x轴平移，设该正方形对角线交点。的横坐标是小直线y=J§x+l与x轴、y轴分别相交

于M、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABC。的“关联点”，求”的取值范围.

23.（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有

任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；甲从中任取一球,

不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.

24.（10分）如图，在△ABC中，ZABC=90°,以AB为直径的。。与AC边交于点D,过点D的直线交BC边于点

E,ZBDE=ZA.

A

j'o\\y判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由.若。O的半径R=5,tanA4=3,求线段CD

VIRJ<E\C

的长.

25.（10分）（1）如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,AD±,AELBF于点G,求证：AE=BF；

（2）如图2,矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E,F分别在边CD,AD±,AE,BF于点M,探究AE与BF的数

量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的基础上，若AB=m,BC=n,其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；

26.（12分）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已

知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

⑴若苗圃园的面积为72平方米，求x；

苗圃园

⑵若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没

有，请说明理由

⑶当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.

27.（12分）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-+交y轴于点A（0,1）,交x轴于点B.直线x=l交AB

于点D,交x轴于点E,P是直线x=l上一动点，且在点D的上方，设P（l,n）.求直线AB的解析式和点B的坐标;

求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；当SAABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出点C的

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

根据俯视图可确定主视图的列数和每列小正方体的个数.

【题目详解】

由俯视图可得，主视图一共有两列，左边一列由两个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成.

故答案选B.

【题目点拨】

由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图.

2、C

【解题分析】

已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积.

【题目详解】

根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=—ab=—x6cmx8cm=14cm1.

22

故选：C.

【题目点拨】

考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.

3、B

【解题分析】

求最高气温比最低气温高多少度，即是求最高气温与最低气温的差，这个实际问题可转化为减法运算，列算式计算即

可.

【题目详解】

3-(-4)=3+4=7℃.

故选B.

4、C

【解题分析】

对于一元二次方程a/+bx+c=O,当A="2_4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

即16-4k=0,解得：k=4.

考点：一元二次方程根的判别式

5、B

【解题分析】

试题分析：观察图象可知，抛物线y=x2+bx+c与X轴的交点的横坐标分别为(-1,0)、(1,0),

所以当y<0时,x的取值范围正好在两交点之间，即-1<X<1.

故选B.

考点：二次函数的图象.106144

6,B

【解题分析】

根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可.

【题目详解】

；AB是。O的直径，

.,.ZACB=90°,故A正确；

••,点E不一定是OB的中点，

.•.OE与BE的关系不能确定，故B错误；

VAB1CD,AB是。。的直径，

•*-BD=BC，

；.BD=BC,故C正确；

•*.AD=AC>故D正确.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

7、B

【解题分析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案.

【题目详解】

①由条形统计图可得：年用水量不超过180ml的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万)，

4

二'100%=80%,故年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②•••年用水量超过240ml的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(万)，

.•.殍X100%=7%R5%,故年用水量超过240ml的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为UOmi有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110ml,因此正确,

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键.

8、B

【解题分析】

分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系.

解析：由图知，b<O<a,故①正确，因为b点到原点的距离远，所以例>|矶故②错误，因为方<0<“，所以而<0,故③错

误，由①知a-b>a+b,所以④正确.

故选B.

9、B

【解题分析】

方程组两方程相加表示出2x-y,代入已知不等式即可求出a的范围.

【题目详解】

x-2y=。+1①

<_

x+y=2a-1(2)

①+②得：2x-y=3a>1,

解得：4Z>—•

3

故选:B.

【题目点拨】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知

数的值.

10、A

【解题分析】

试题分析：第一个的进价为：80+(1+60%)=50元，第二个的进价为：80+(1—20%)=100元，则80x2—(50+100)=10元,

即盈利10元.

考点：一元一次方程的应用

11,B

【解题分析】

先把原式化为2x+22yx23的形式，再根据同底数塞的乘法及除法法则进行计算即可.

【题目详解】

原式=2*+22丫*23,

=2x-2y+3,

=22,

=1.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查的是同底数塞的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2S22，X23的形式是解答此题的关键.

12、B

【解题分析】

由折叠的性质得到AE=AB,ZE=ZB=90°,易证RtAAEF^RtACDF,即可得到结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,

则FC=x,FD=6-x,在RSCDF中利用勾股定理得到关于x的方程炉=4?+(6-x)2,解方程求出x即可.

【题目详解】

,矩形ABCD沿对角线AC对折，使小ABC落在△ACE的位置，

.\AE=AB,NE=NB=90°,

又•••四边形ABCD为矩形，

/.AB=CD,

；.AE=DC,

而NAFE=NDFC,

；在4AEF.^ACDF中，

ZAFE=ZCFD

<ZE=ZD,

AE=CD

/.△AEF^ACDF(AAS),

；.EF=DF；

•.•四边形ABCD为矩形，

；.AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

；.FC=FA,

设FA=x,贝!|FC=x,FD=6-x,

13

在RtACDF中,CF2=CD2+DF2,BPx2=42+(6-x)2,解得x=—,

3

贝！)FD=6-x=-.

3

故选B.

【题目点拨】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与

性质以及勾股定理.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、y=-X?等

【解题分析】

根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到aVO,b=O,c=O,所以解析式满足a<0,b=O,c=O即可.

【题目详解】

解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到aVO,b=O,c=O,

例如：y--x2.

【题目点拨】

此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.

14、述

2

【解题分析】

过O作OF_LAO且使OF=AO,连接AF、CF,可知△AOF是等腰直角三角形，进而可得AF=0AO,根据正方形

的性质可得OB=OC,ZBOC=90°,由锐角互余的关系可得NAOB=NCOF,进而可得△AOB^^COF,即可证明

AB=CF,当点A、C、F三点不共线时，根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时可得

AC+CF=AC+AB=AF=7,即可得AF的最大值，由AF=J^AO即可得答案.

【题目详解】

如图，过O作OFLAO且使OF=AO,连接AF、CF,

ZAOF=90°,AAOF是等腰直角三角形，

，AF=0AO,

,/四边形BCDE是正方形，

.\OB=OC,ZBOC=90°,

,/ZBOC=ZAOF=90°,

ZAOB+ZAOC=ZCOF+ZAOC,

ZAOB=ZCOF,

XVOB=OC,AO=OF,

/.△AOB^ACOF,

，CF=AB=4,

当点A、C、F三点不共线时，AC+CF>AF,

当点A、C>F三点共线时，AC+CF=AC+AB=AF=7,

/.AF<AC+CF=7,

.,.AF的最大值是7,

,\AF=V2AO=7,

.-.AO=2^.

2

故答案为述

2

【题目点拨】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键.

15、-1

【解题分析】

先设D(a,b),得出CO=-a,CD=AB=b,k=ab,再根据△BCE的面积是6,得出BCxOE=l,最后根据AB〃OE,

得出—=—,即BC«EO=AB«CO,求得ab的值即可.

OCE0

【题目详解】

设D(a,b),则CO=-a,CD=AB=b,

k

•・•矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=—(x<0)的图象上，

x

:.k=ab,

,/△BCE的面积是6,

，-xBCxOE=6,即BCxOE=l,

2

；AB〃OE,

/.——=——，即BC«EO=AB«CO,

OCE0

l=bx(-a),即ab=-l,

:.k="l,

故答案为-1.

【题目点拨】

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核

学生分析问题，解决问题的能力.解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方

法.

V231

1Rb、-----

5

【解题分析】

解：过点C作CPJ_直线A5于点尸，过点尸作。C的切线PQ,切点为。，此时尸。最小，连接CQ,如图所示.

当x=0时，y=3,.,.点5的坐标为(0,3)；

当y=0时，x=4,.,.点A的坐标为(4,0),.'.OA=4,OB-3,.".AB-+QB2=5,sinB=.

''AB5

VC(0,-1),：.BC=2>-(-1)=4,：.CP=BC»sinB=—.

5

；尸。为。C的切线，.•.在RtACQ尸中，CQ=1,ZCQP=90°,PQ=^CP--CQ2=-

故答案为叵I.

5

【解题分析】

根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x,使得x2=a,则x就是a的算术平方根，特别地,

规定0的算术平方根是0.

【题目详解】

V22=4,A74=2.

【题目点拨】

本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.

18、1

【解题分析】

画出图形，设菱形的边长为x,根据勾股定理求出周长即可.

【题目详解】

当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm,

在RtAABC中，

由勾股定理：x2=（8-x）2+22,

AS17

解得：X=—,

4

:.4x=l,

即菱形的最大周长为1cm.

故答案是：1.

【题目点拨】

解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）点P在直线y=3x-2上，说明见解析；（2）0.

【解题分析】

解：（1）求：（1）直线y=3元-2可变为3x-y-2=0,d=r-——d=o

VI+32

说明点P在直线y=3x-2上；

（2）在直线y=—x+1上取一点（0,1）,直线y=—x+3可变为x+y—3=0

|0+1-3|

则1==V2,

.•.这两条平行线的距离为0.

20、(1)=；(2)结论：AC1=AG*AH.理由见解析；(3)①△AGH的面积不变.②，〃的值为|或2或8-46'..

【解题分析】

(1)证明NDAC=NAHC+NACH=43。，ZACH+ZACG=43°,即可推出NAHC=NACG；

(2)结论：AC2=AG»AH.只要证明4AHC^AACG即可解决问题；

(3)①AAGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

【题目详解】

(1)I•四边形A3C。是正方形，

：.AB=CB=CD=DA=4,ZD=ZDAB=9Q°ZDAC=ZBAC=43°,

•,-AC=J42+42=4^/1，

'：ZDAC^ZAHC+ZACH^43°,ZACH+ZACG^43°,

：.ZAHC=ZACG.

故答案为=.

(2)结论：AC1=AG*AH.

理由：VZAHC^ZACG,NCA〃=NC4G=133。，

:.AAHC^AACG,

.AHAC

••一9

ACAG

/.A^AG»AH.

(3)①△AGH的面积不变.

理由：VSAAGH=-*AH*AG=-4(?=-x(4亚)2=1.

222

.•.△AGH的面积为1.

②如图1中，当GC=GH时，易证△AHG丝△3GC,

可得AG=8C=4,AH=BG^8,

•:BC〃AH,

.BCBE

"AH-AE-2

28

：.AE=-AB=

33-

如图2中，当CH=HG时,

易证AH=BC=4f

9

：BC//AHf

BEBC

------.........=X

AEAH

：.AE=BE=2.

如图3中，当CG=CH时，易证N£Cb=NDC斤=22.3.

在3C上取一点拉，使得

:.ZBME=ZBEM=43°9

,:NBME=ZMCE+ZMEC9

：.NMCE=ZMEC=22.3°,

：.CM=EM,设bM=5E=m,贝!|CM=£M夜修,

/.m+y/2m=4,

/.m=4(72-1)，

-AAE=4-4(72-1)=8-4拒，

Q

综上所述，满足条件的m的值为§或2或8-4行.

【题目点拨】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

21、(1)每次下调10%(2)第一种方案更优惠.

【解题分析】

(1)设出平均每次下调的百分率为X,利用预订每平方米销售价格X(1-每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格

列方程解答即可.

(2)求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答.

【题目详解】

解：(1)设平均每次下调的百分率为X,根据题意得

5000x(1-x)2=4050

解得x=10%或x=L9(舍去)

答：平均每次下调10%.

(2)9.8折=98%,

100x4050x98%=396900(元)

100x4050-100x1.5x12x2=401400(元)，

396900<401400,所以第一种方案更优惠.

答：第一种方案更优惠.

【题目点拨】

本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键.

22、(1)正方形的“关联点”为尸2,尸3；(2)2_<加W《1或—受三冽<—2_；(3)—<n<V2-—.

222233

【解题分析】

(1)正方形的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间(包括两个圆上的点)，由此画出图形即可判断；

(2)因为E是正方形ABC。的“关联点”，所以E在正方形A3CZ)的内切圆和外接圆之间(包括两个圆上的点)，因

为E在直线y=瓜上，推出点E在线段尸G上，求出点尸、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；

(3)因为线段MN上的每一个点都是正方形的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小。。相切于点F,

求出此时点。的横坐标；②”如图4中，落在大。。上，求出点。的横坐标即可解决问题;

【题目详解】

（1）由题意正方形ABC。的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点）,

八y

*

X

B、、

图1

观察图象可知：正方形A3。的“关联点”为尸2,尸3；

（2）作正方形ABCZ）的内切圆和外接圆,

y

//\

*

花PX

B》-一

图2

/.OF=lf0Q—y/29.

是正方形ABCD的“关联点”,

...E在正方形A5C。的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点）,

•.•点E在直线y=gx上,

...点E在线段尸G上.

分别作尸F'J_x轴，轴,

*OF=lfQQ=y/29

：.0F'=~,OG'=—

22

22

根据对称性，可以得出—正!

22

1叵f721

—<m<或-----<m<——.

2222

/

(3)VM-右、…,

3y

0M^―,ON=1.

3

:.NOMN=60°.

•.♦线段上的每一个点都是正方形ABCD

的“关联点”，

①MN与小。。相切于点尸，如图3中，

A

[3'J

②M落在大。。上，如图4中,

/.0Q=®—与.

Q2V2-^-,0.

综上：-<n<y[2-—.

33

【题目点拨】

本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置

解决数学问题，属于中考压轴题.

11

23、（1）-；（2）、

【解题分析】

（1）一共4个小球，则任取一个球，共有4种不同结果，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为上；

4

（2）列表或画出树状图，根据一共出现的等可能的情况及恰能组成“美丽”或“光明”的情况进行解答即可.

【题目详解】

（1）•.•“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，

任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率P=-

⑵列表如下:

美丽光明

美——（美，丽）（光，美）（美,明）

丽（美,丽）——（光,丽）（明,丽）

光（美，光）（光,丽）——（光，明）

明（美，明）（明，丽）（光，明）....

根据表格可得：共有12中等可能的结果，其中恰能组成“美丽”或“光明”共有4种，故

取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率P=1.

【题目点拨】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数

之比.

9

24、（1）DE与。O相切；理由见解析；（2）

2

【解题分析】

（1）连接OD,利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出ODLDE,进而得出答案;

（2）得出ABCD-AACB,进而利用相似三角形的性质得出CD的长.

【题目详解】

解：（1）直线DE与。O相切.

理由如下：连接OD.

VOA=OD

,\ZODA=ZA

又；NBDE=NA

.\ZODA=ZBDE

；AB是。O直径

:.ZADB=90°

即NODA+NODB=90°

:.ZBDE+ZODB=90°

/.ZODE=90o

AODIDE

，DE与。O相切；

(2)VR=5,

/.AB=10,

在RtAABC中

BC3

.tanA=-----=—

AB4

315

..BC=AB»tanA=10x—=—,

42

,.,ZBDC=ZABC=90°,ZBCD=ZACB

.,.△BCD^AACB

.CDCB

"'~CB~~CA

【题目点拨】

本题考查切线的判定、勾股定理及相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理灵活应用是本题的解题关键.

25、(1)证明见解析；(2)AE三BF,(3)AE="BF；

3II

【解题分析】

(1)根据正方形的性质，可得NABC与NC的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得NAMB的度数，根

据直角三角形锐角的关系，可得NABM与NBAM的关系，根据同角的余角相等，可得NBAM与NCBF的关系，根

据ASA,可得AABEg^BCF,根据全等三角形的性质，可得答案；(2)根据矩形的性质得到NABC=NC,由余角

的性质得到NBAM=NCBF,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)结论：AE=«，BF.证明方法类似(2)；

【题目详解】

(1)证明:

•••四边形ABCD是正方形，

/.ZABC=ZC,AB=BC.

；AE_LBF,

，NAMB=NBAM+NABM=90。，

VZABM+ZCBF=90°,

/.ZBAM=ZCBF.

在AABE^DABCF中，

14AE=^CBF,

AB=CB

、＜4BE=^BCF

/.△ABE^ABCF(ASA),

；.AE=BF；

(2)解：如图2中，结论：AE=2BF,

理由：•.•四边形ABCD是矩形，

.\ZABC=ZC,

VAE±BF,

:.NAMB=/BAM+NABM=90。,

VZABM+ZCBF=90°,

，NBAM=NCBF,

/.△ABE^ABCF,

・••包__2，

BF=BC=3

AAE=2BF.

3

(3)结论：AE="BF.

n

理由：•・,四边形ABCD是矩形，

AZABC=ZC,

VAE±BF,

:.ZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

■:ZABM+ZCBF=90°,

/.ZBAM=ZCBF,

/.△ABE^ABCF,

AEABm9

BF=BC=n

/.AE=«fBF.

n

【题目点拨】

本题考查了四边形综合题、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练

掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键.

26、(l)x=2；(2)苗圃园的面积最大为12.5平方米，最小为5平方米；(3)6Wx*.

【解题分析】

(1)根据题意得方程求解即可；

(2)设苗圃园的面积为y,根据题意得到二次函数解析式y=x(31-2x)=-2x2+31x,根据二次函数的性质求解即可；

(3)由题意得不等式，即可得到结论.

【题目详解】

解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31—2x)米.依题意可列方程

x(31-2x)=72,即x2