2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.计算（-1）x（-2）的结果是（）

A.2B.1

C.-2D.-3

2.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络.截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千

米，其中6458（X）00用科学记数法可表示为（）

A.64.58x106B.6.458x107C.6.458x106D.0.6458x108

3.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝,是中国书法的必备用具.如图是一方寓意“规矩方圆”的砚

台，它的俯视图是（）

4.下列计算正确的是（）

235236

A.x+x=xB.x%=xC.%8+7=x2D.(—％3)4=%12

5.如图，把一个含30。角的直角三角板A8C的直角顶点C放在直尺上，乙4二30。，41=50。，则42的度数

是（）

C.15°D.20°

6.关于x的一元二次方程/+mx-5=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7.如图，△ABC中，Z.ACB=90°,分别以点B和点。为圆心，大于;BC的长为半径作弧，两弧相交于P,

。两点，作直线尸。，分别交C8于D,E两点，连接CD.则下列判断不一定正确的是（）

土4B,

AB

A.AC=2DEB.AB=2CD

C.AB=2ACD-S四边形ACED=3s△w

8.在平面直角坐标系中，点4（3,n），点8（-3,n）,点C（4,n+2）在同一个函数图象上，则该图象可能是（）

vD，4k

9.如图，用4个全等的RtZkADE,RtACBG,RtAGEH,Rt△EGF^2△ABH,Rt△DCF|)f

成如图所示的矩形ABC。，则筹的值为（）

AD

AB

a

DC

D

A|B]c.苧?

10.已知关于x的多项式a/+族+c（a*0）,当％=a时,该多项式的值为c-a,则多项式a2-/+3的

值可以是（）

7_9Dl

AyB.2C,-

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.分解因式：m2-4n2=____________________.

12.正十二边形的外角和为________.

13.用一个x的值说明“5M=x”是错误的，则x的值可以是

14.计算券十言的结果是

15.如图，是超立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，48=8米,

△MAD=45°,4MBC=30°,则警示牌的高CO为米（结果精确到0.L参考数据：/2=1.41，

/3=1.73)

C

多喜珞段

道情驾驻

D

VAB

16.如图，A,B,C,D,E是。。上的五个点，AB=CD.若。。的半径为6,NCED=30。，则图中阴影部

分的面积为一

17.如图，平面直角坐标系xOy中，函数y=：（%>0）的图象经过8（%2，月）两点.若AA8。的面

积为2,则尹卷的值为

18.如图，四边形ABC。是边长为2的正方形，石是平面内一点，AE=AB,将E8绕点E顺时针方向旋转

90°得到线段EF,连接力尸.当AF的长最小时，tanaDE的值为

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(木小题8分)

(1)计算：(m+3)(m—3)+m(l—m)；

(2)解方程：喜=+一2.

20.(本小题8分)

为了解A、8两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了这两款无人机

各10架，记录下它们运行的最长时间(单位：min),并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表

示，共分为三组：合格60WXV70；良好704%V80；优等工280),得到有关信息.

信息一：10架4款无人机充满一次电后运行的最长时间是：

60,64,67,69,71,71,72,72,72,82；

信息二：B款无人机运行最长时间统计图.

两款无人机运行最长时间统计表

类别平均数中位数众数方差

A70717230.4

B7070.56726.6

(1)你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由(写出一条即可)；

(2)若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多少

架？

合格

40%

优等

10%

21.(本小题8分)

如图，P是△ABC内一点，PB=PC,NABP=NACP.求证：Z.APB=Z-APC.

小虎的证明过程如下:

证明：在和△力CP中，•；PB=PC,Z.ABP=

Z.ACP,AP=APf.••△4BPgA4CP.・••第一步•••

/.APB=4力••第二步

(1)小虎同学的证明过程中，第——步出现错误;

（2）请写出正确的证明过程.

A

22.（本小题8分）

某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相

同的小球，把它们分别标号为2,3,4,5.摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为小

则所购商品总价打〃折.请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率.

23.（本小题8分）

日辱是我国古代较为普遍使用的计时仪器.如图，日展的平面是以点。为圆心的圆，线段8c是日展的底

座，点。为日展与底座的接触点（即8C与。。相切于点。）.点A在。。上，0A为某一时刻唇针的影长，

A0的延长线与0。相交于点E,与相交于点B,连接AC,OC,BD=CD=30cm,OA1AC.

（1）求乙8的度数；

（2）连接CE,求CE的长.

24.（本小题8分）

某公司今年推出一款产品.根据市场调研，发现如下信息.

信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价双元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线E尸和线段尸G组

成.

信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两

月的销售利润相同.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求该产品的生产成本；

(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%,同时继续降低销售价格，使得4月份的销售

利润不低于3月份.求4月份该产品销售单价的范围.

问题情境

如图，折叠矩形纸片48CQ,使点C的对应点尸落在边44上，得到折痕把纸片展平；继续沿过点七

的直线折叠，点4的对应点M落在边8。上，得到折痕EG,把纸片展平，AD的对应边MN交8于点P.

初步探究

(1)四边形8C"的形状是；

深入探究

(2)用等式表示线段PE,PM之间的数量关系，并证明；

拓展廷伸

(3)设MG交BE于点Q,BM=2CM=4,求△BGQ的面积.

26.(本小题8分)

已知抛物线y=m/+2mx+n(m,几为常数，771>0)与工轴交于4,8两点(点A在点3的左侧)，与y轴

交点C,顶点为。，AB=4.

(1)求3m+n的值；

(2)如图，连接BZ)交AC于点区求证：BE=2DE；

(3)设"是x轴下方抛物线上的动点(不与。重合)，过点“作MN〃x轴，交直线4c于点N.由线段MN长

的不同取值，试探究符合条件的点M的个数.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【答案】A

【分析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论.

【解答】解：（-l）x（-2）=2.

故选：A.

2.【答案】B

【解析】【分析】科学记数法的表现形式为QXion的形式，其中iw|a|vio,〃为整数，确定〃的值

时，要看把原数变成4时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大

干等干10时,〃是IF整数.当原数绝对值小于1时,〃是负整数：由此进行求解即可得到答案.

【解答】解：64580000=6.458x107.

故选：B.

3.【答案】C

【解析】【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上边看，可得如图：

故选：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】根据同底数昂的乘除法法则、合并同类项的方法、辱的乘方与积的乘方法则进行解题即

可.

【解答】解：A、/与％3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；

B、x2-x3=x5,故该项不正确，不符合题意；

C、必+/=%4,故该项不正确，不符合题意；

。、（-/）4二/2,故该项正确，符合题意；

故选：D.

5.【答案】D

【解析】【分析】过点8作BD〃E产交AC于。，则NCDB=41,在RMBCD中，乙CBD=90°—乙CDB,

又在RtA/BC中，AA=30°,则=90。一，4,从而求得N/BD=/4BC—，CBO,再证明

BD//MN,即可由平行线的性质求解.

【解答】解：过点5作BD〃EF交4C于D,

•••乙CDB=Z1=50°,

.•.在RM8C。中，“8。=90°-"08=40°,

在RtAABC中，乙4=30°,

:./.ABC=90°—乙4=60%

二Z.ABD=乙ABC-乙CBD=60°-40°=20°,

vBD//EF,MN//EF,

BD//MN,

:.Z2=Z.ABD=20°.

故选：D.

6.【答案】A

【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可.

【解答】解：•••4=m2-4Xlx(-5)=7n2+2U>u,

•••方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

7.【答案】C

【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判

断即可.

【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段BC,故选项4正确，

CE=BE,DE1BCi

NACB=90°,

AC1BC,

AC//DE,

AD=BD,

.•.DE是△ABC的中位线，AB=2CD,故8正确；

'.AC=2DE,故A正确；

•••BE=CE,AD=BD,

S^BDE=5sABCD，S&BDC=2s0叱

AS^ABC=4sABDE，

,0,S四边形ACED=3SABDE，故。正确，

只有当25=30°时，AB=2AC,故C错误，

故A、B、D不符合题意,C符合题意；

故选：C.

8.【答案】B

【解析】【分析】由点A(3,n),点8(-3,苑)，点C(4,n+2)在同一个函数图象上，可得A与B关于)，轴对

称；当x>0时，)，随x的增大而增大，继而求得答案.

【解答】解：•••4(3,九)，点3(-3,九),

•••4与8关于)，轴对称，

即这个函数图象关于y轴对称，故选项4不符合题意；

•­4(3.71),点C(4,n+2)

.・.当％(0时，y随x的增大而增大，故选项8符合题意，选项C、。不符合题意.

故选：B.

9.【答案】C

【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出4E=E"=GH,DE=EH=GF,DF=BH,AE=CF,进

而利用矩形的性质解答即可.

【解答】解：•.•用4个全等的RtAHDE,Rt&CBG,Rt^GEHfRt△EG尸和2个全等的R£△/IB，，RtX

DCF拼成如图所示的矩形ABCD,

.••设AE=EF=GH=a,DE=EH=GF=b,DF=BH=a+b,AH=CF=a-b,

•.•四边形ABC。是矩形，

:.乙ADC=4BAO=90°,AD=BC,AB=CD,

由勾股定理可得，BC2=AD2=AE2+DE2=a2+b2,AB2=AH2+BH2=(a+b)2+(a-b)2,

:段=。2+廿c,

ABJ2a2+2户2

故选：C.

10.【答案】A

【解析】【分析】先将X=Q代入多项式0%2+bx+c中得：。2=一6一1>0,则bv-L计算所求式并

配方与平方的非负性相结合即可求解.

【解答】解：把义=a代入多项式Q/+历:+c中得：ai+ab+c=c-a,

•••cP+。》+Q=o,

a工0,

•••a2+力+i=o,

a2=-b—1>0,

:.b<—1,

a2-b2+3

=—b2—b—1+3

=-b2-b+2

=_g+T1+■>,,9

-1<0,

.•.当b=-；时,a2-2+3有最大值踪

当b=-1时，—产+3=-(-1+g)2+3=2,

b<-1»

•••本题多项式Q2-4+3的值可以是(

故选：A.

11.【答案】(m+2n)(m-2n)

【解析】【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反.此题可用平方

差公式分解.

【解答】解：m2—4n2=(m+2n)(m—2n).

12.【答案】360°

【解析】【分析】根据多边形的外角和定理求解.

【解答】解：正十二边形的外角和是：360。.

故答案为：360°.

13.【答案】-2

【解析】【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案.

【解答】解：•:是错误的，

•••x的值可以是一2（答案不唯一）.

故答案为：-2（答案不唯一）.

14.【答案】3

【解析】【分析】根据分式的加减法法则进行计算.

【解答】解：原式=喈

a+1

3（。+1）

=a+1

=3.

故答窠为：3.

15.【答案】2.9

【解析】【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得。M=4M=4m,再根据勾股定理可得MC2+

MF=（2MC）2,代入数可得答案.

【解答】解：由题意可得：•••AM=4米，乙M4D=45。，

DM=4m,

•••4M=4米，AB=8米，

MB=12米，

•••乙MBC=30°,

BC=2MC,

/.MC2+MB2=（2MQ2,

MC2+122=（2MC>,

MC=4门（米），

则。。=4，5-4*2.9（米），

故答窠为：29

16.【答案】67r

【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出乙4。8的度数，再利用扇形

的面积公式即可解决问题.

【解答】解：=

AB=CD,

:./.AOB=2Z.CED=60°,

_60-7T-62_

:阴影=360=6兀

故答案为:67r.

17.【答案若

【解析】【分析】根据条件和攵值的几何意义得到SMOB=S榭%BCD=2,代入坐标整理得到“2%一

xxy2=9,依据%1%,X2、2=36,转化为%=36,可求出入2yl=12,将所求代数式化简后代入数

据即可得到结果.

【解答】解：如图，作40_L%轴，BCJ.K轴，垂足分别为。、C,

根据反比例函数上值的几何意义可得：

9

S008=S梯形ABCD=2*

19

—％1)=2，

整理得:x2y1-x1y2=9,

力力•x2y2=36,

•••xxy2-x2yi=36,

•••(%2%-9)必必=36,

解得%2%=12,

.।%=%出+十2七］=2卬］-9.24-9.5

“R耳一一6-6-2,

故答案为:

18.【答案】/2-1

【解析】【分析】通过证明可得4"二，70E,则当点Er在AC上时，OE有最小值为2—

72,即A尸的最小值为2，1-2,由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解.

【解答】解：如图，连接AC,BD,交于点0,连接0£BF,

•••四边形A8c。是正方形，

:.AO=BO,Z.AB0=45°,AC1BD,

:.AB=>TiB0=2,

:.BO=AO=V_2,

•••将EB绕点E顺时针方向旋转90。得到线段EF,

BE=EF,4BE尸=90°,

BF=ZF5F=45°,

:.乙FBE=乙ABO,

...Z.ABF=Z.OBEf

/.△ABF^>h.OBE,

:.AF=yTlOE,

,:AB=AE=2,

.••当点七在AC上时，OE有最小值为2-，Z

・•.4"的最小值为2/1—2,

此时，如图，过点E作EHJ.CD于"，

•••Z.ACD=45°,

.•.△CEH是等腰直角三角形，

•••CE=2\[2-2,

:.EH=CH=2—<2,

:.DH=<2,

•••tanzCDF=需==y/~2-1,

UnVL

方法二：连接EC,AC,

AB=AE,

Z.ABE=Z.AEB,

•••将EB绕点E顺时针方向旋转90。得到线段EF,

:.BE=EF,乙BEF=90°=乙ABC,

-LAEF=LCBE,

又•••4B=4E=8C,

:AAEFQACBEGAS）,

:.AF=EC,

••・当点E在AC上时，4尸有最小值，

此时，如图，过点E作EH1CD于"，

vLACD=45°,

.•.△CEH是等腰直角三角形,

•••CE=2/2-2,

...EH=CH=2-y[2,

DH=y[2,

•••tanzCDF=需==沉-1，

Unv/

故答案为：y/~2—1.

19•【答案】【解答】解：（1）原式=血2-9+血一加2

=m-9；

(2)解：原方程去分母得：2x=3-4(x-l),

整理得：2%=7-4%,

解得：x=/，

检验：当％=时，2(x—1)工0,

故原方程的解为“=O

【解析】【分析】(1)利用平方差公式及单项式乘多项式法则计算即可.

(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

20.【答案］【解答】解:(1)4款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：

虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但4款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均

高于3款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；(答案不唯一)；

(3)200x4+120X(1-40%)=120+72=192(架)，

答：估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架.

【解析】【分析】(1)可比较中位数，众教与方差得出结论；

(2)利用样本估计总体可求解.

21.【答案】【解答】解：(1)全等的判定方法用错了，

故答案为：一；

(2)PB=PC,

"BC=Z-PCB.

vLABP=NACP,

:.Z.ABP+乙PBC=乙4cp+乙PCB.

即心力BC=乙4cB.

:.AB=AC,

在A/BP和△ACP中，

AB=AC

AP=AP,

PB=PC

•SABP丝AACP(SSS),

LAPB=乙APC.

【解析】【分析】(1)由全等三角形的判定方法可得出结论:

(2)证明△ABP^hACP(SSS),得出乙4PB="PC.

【解析】【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个球上的数字和为7的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

23.【答案］【解答】解：(1)如图，连接0D.

•••BC与。。相切于点D,

:.OD±BC,

•••BD=DC,

OB=0C,

:.Z.OCB=Z.B.

v0A1AC,0A为半径，

&4与。。相切于点4

而8C与。0相切于点。,

Z.ACB=2/.BCO,

•••ZB+乙4cB=90°,

3"=90°,

•••乙B=30°；

(2)由(1)知乙4co=^ACB=30°,乙OAC=90°,

vCA,。。与00相切，

•0.CA=CD=30.

:.OA=/ICtan30°=30x年=10/3,

:，AE=20/3,

=J(20/3)2+302=10/21(cm).

在RCA4CE中，CE=\/AE2+AC2

【解析】【分析】(1)证明OB=OC,再利用切线的性质证明/N8=△。。8=乙4。。，再利用三角形内角和

定理求解;

(2)求出AC,AE,利用勾股定理求解.

24•【答案】【解答】解：(1)由图象得曲线E尸解析式为丫=竺3竺=噌(0〈工工45).

令％=45,则y=^^=400,

即3月份销售量为400件,

设该产品的生产成本为a元/件，则(66-a)x100=(45-a)x400,

解得a=38,

答：该产品的生产成本为38元/件：

(2)3月份利润为：(45—38)x400=2800元.

由题意得4月份成本为(1-40%)X38=22.8元/件,

则^£2(%-22.8)>2800,

解得力227,

4月份该产品销售单价的范围是27<x<45.

【解析】【分析】(1)根据题意得到丫=当竺="詈(0<、W45).把％=45代入解析式得到、=曙=

400,设该产品的生产成本为。元/件，列方程即可得到结论;

(2)根据题意得到3月份利润为(45-38)x400=2800元.由题意得4月份成本为(1-40%)X38=22.8

元”牛，列不等式即可得到结论.

25.【答案］【解答】解：(1)・.♦折叠矩形纸片ABCD,使点C的对应点尸落在边AB上，

:.乙ECB=乙EFB=90°=乙FBC,

四边形是矩形，

vBC=BF,

.••四边形BCEF是正方形;

故答案为：正方形；

(2)PE=PM.

证明：连接EM,

•••四边形A8CO是矩形，

AD=BC.

:.LD=LC=90°

由折叠知，MN=AD,ZJV==/C=90°.

•.•四边形4C"是正方形，

:.EC-BC.

:.EC=MN.

在RC△ENM和Rt△MCE中，

(EM=ME

^MN=EC>

Rt△ENMzRt△MCE(HL),

Z.EMN=NMEC,

PE=PM；

(3)vRt△ENM三Rt△MCE,

EN=CM=2,EC=MN.

DE=EN=2.

♦.♦正方形BCEF中,EC=BC=6,

•••AB=DC=8.

设=则GM=AG=8-%.

由勾股定理得，GB2+BM2=GM2,即(8—％)2=/+16,

解得％=3,

即G8=3.

过点2作Q”1