2024年江苏省南通市中考一模数学模拟试卷含详解

南通市启秀中学2023—2024学年度第二学期单元练习

初三数学

一、单选题（每题3分）

1.在-括，-7,0,1四个数中，最大的数是（）

1L

A.1B.0C.—D.-^3

2.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的E4ST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证.新发现的脉冲星

自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一,将0.00519用科学记数法表示应为

)

A.5.19x10-2B.5.19x107C.519x10-5D.519xIO-6

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（)

A5cz3-4a2—1B.(-a2/?3)2=a%6

C.a94-a3=a3D.a-(6+c)=a-b+c

5.估计（7+J7）x弓的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

6.一个多边形的内角和等于1260°,则它是（）

A.五边形B.七边形c.九边形D.十边形

7.如图，直线AB//CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F,EG平分NBEF,交CD于点G,若

Nl=70。，则N2的度数是（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

8.如图，Rt-ABC中，NA5c=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）

超

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.NDAC=NC

9.如图，在等边三角形ABC中，8C=4,在RtADEF中,/EDF=90。,ZF=30°,DE=4,点3,C,D,E在

一条直线上，点C,。重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点3与点E重合时停止运动.设AABC运动的路程

为X,△ABC与M△。所重叠部分的面积为S,则能反映S与尤之间函数关系的图象是（）

10.已知实数机，〃满足疗+“2=2+机〃，则（2加—3〃）~+（根+2”）（机-2n）的最大值为（）

4416

A.24B.—C.—D.-4

363

二、填空题（11-12每题3分，13-18每题4分）

X

11.在函数y=-----中，自变量元的取值范围是.

x-2

12.因式分解：/_4/=.

BF

13.如图，在YABCD中，E是5C边上的点，连接AE交3。于点R若EC=2BE,则——的值是

FD

14.如图，已知圆锥的高为四，高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为

15.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,乙4=32。，点8、C在l。上，边AB、AC分别交于。、E两点，点

8是C。的中点，则/ABE=.

16.对于任意的一1<%<1,av+2a—3<0恒成立，则〃的取值范围是.

17.如图，A、8是反比例函数产8（k>0,x>0）图象上的两点，直线A5交y轴正半轴于点E.过点A,8分

X

3

别作％轴的平行线交y轴于点C,D,若点8的横坐标是4,CD=3AC,cosZBED=~,则％的值为

18.如图，腰长为8的等腰RtZXABC中，ZACB=90°,。是边5C上的一个动点，连接AD,将线段A。绕点4

逆时针旋转45°,得到线段AE,连接CE,则线段CE长的最小值是

三、解答题

x—2<2

19.（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上",,

x-2_16

（2）解分式方程:1

x+2x"-4

20.新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，泰江区某校开展了

“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百

分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A80<x<85,B.85<%<90,C.90<x<95,

D.95<x<100）,下面给出了部分信息:

七年级10名学生的竞赛成绩是：99,80,99,86,99,96,90,100,89,82.

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94,90,94

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

七年八年

年级

级级

平均

9292

数

中位

90b

数

众数C100

方差5250.4

八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

(1)直接写出上述图表中。，b,c值.

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即

可).

(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(尤290)的学生人数是多

少？

21.如图，在ABC中，AD平分NA4C,。为的中点.求证：AB=AC.

小芳同学解题过程如下：

解：

。为的中点，

:.DB=DC.第一步

平分

:.ZBAD=ZCAD.第二步

:.AB=AC.第三步

A

1

BDC

(1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第_____步；

(2)写出正确的解题过程.

22.有三把不同钥匙A,B,C和两把不同的锁。，E,其中钥匙A只能打开锁Q,钥匙B只能打开锁E,钥匙C

不能打开这两把锁.

(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是___；

(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

23.如图，CD是；。的直径，点8在:一。上，点A为。C延长线上一点，过点。作OE〃5C交A5的延长线

于点E，且ND=NE

(1)求证：AE是的切线；

(2)若线段0E与。的交点厂是0E的中点，。的半径为3,求阴影部分的面积.

24.水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为30天，平均每颗榴莲的售价为100元，由于榴莲需要冷藏保存，因此

成本也会逐日增加，设第X天的销售量加，每颗榴莲的成本为y元.V与X的函数关系如图所示.

兀

机与X之间的关系如表:

第X天1<%<1616<%<30

销售量加/颗15%+10

(1)求〉与X的函数表达式.

(2)若每天的销售利润为W元，求W与X的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润

是多少元？

25.(1)问题发现：如图1,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，点

B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)拓展探究：如图2,当aABC绕点A逆时针旋转6(0°<9<90°)时，BD=CF成立吗？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

(3)解决问题：当^ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.已知AB=2,AD=31L

求线段DH的长.

26.定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的

最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值.

(1)当—时，下列函数有界是(只要填序号)；

2

①y~2x—1；②y----；③y=—x2+2%+3.

X

(2)当根〈根+2时，一次函数y=(左+1)%—2的界值不大于2,求女的取值范围；

9

(3)当+2时，二次函数y=炉+2〃%一3界值为一，求〃的值.

4

南通市启秀中学2023—2024学年度第二学期单元练习

初三数学

一、单选题（每题3分）

1.在--7,0,1四个数中，最大的数是（）

1L

A.1B.0C.~~D.-^3

【答案】A

【解析】

【分析】根据实数大小比较判断即可；

【详解】Vl>0>--73-

4

•••最大的数是1,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键.

2.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的E4ST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证.新发现的脉冲星

自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为

（）

A.5.19x10-2B.5.19x10-3C.519xl0-5D.519X10-6

【答案】B

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO?与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负指数募，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.00519=5.19x107,

故选：B.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO-n,其中上间<10,n为由原数左边起第一个不为

零的数字前面的0的个数所决定.

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从

前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左

向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题.

【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为

故选：A.

4.下列运算正确的是()

A.5a3-4。2=1B.(-A2/?3)2=a%6

C.a94-a3=a3D.a-(6+c)—a-b+c

【答案】B

【解析】

【分析】根据同类项的定义判断选项A；根据积的乘方可以判断选项B；根据同底数累除法可以判断选项C；根据

去括号法则可以判断选项D.

【详解】解：选项A,5a3与-4届不属于同类项，不能合并，选项A错误，不符合题意;

选项B,(-a2b3)2=a4b6,选项B正确，符合题意；

选项C,选项C错误，不符合题意；

选项D,a-(6+c)=a-b-c,选项D错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了合并同类项的法则、同底数幕除法、积的乘方、去括号法则等知识点.掌握各计算法则是解

题关键.

5.估计（7+J7）x正的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】A

【解析】

【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出近的近似值，进而得解.

【详解】（7+4卜乎

=7义叵+出走

77

=V7+i

4<7<9,

，2〈近<3，

•••3<77+1<4,

估计（7+x弓的值应在3和4之间.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键.

6.一个多边形的内角和等于1260°,则它是（）

A.五边形B.七边形C.九边形D,十边形

【答案】C

【解析】

【分析】设这个多边形的边数为〃，根据多边形的内角和定理得到5-2）x180=1260,然后解方程即可.

【详解】解：设这个多边形的边数为〃，

5—2）x180=1260,

解得n=9,

故这个多边形为九边形.

故选：C.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握〃边形的内角和为("-2)x180°.

7.如图，直线A5//CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F,EG平分NBEF,交CD于点G,若

Nl=70°,则N2的度数是()

A.60°B.55°C.50°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出N2=NGE尸，再根据三角形内角和求出N2即可.

【详解】EG平分NBEF,

ZBEG=ZGEF,

AB//CD,

NBEG=Z2,

Z2=ZG£F,

AB//CD,

Zl+Z2+ZGEF=180°,

4+2/2=180。

Z2=-x(180°-70°)=55°

2

故选8.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出N2=NG砂是解题关键.

8.如图，RtABC中，NA5C=9O。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()

D

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ADAC=AC

【答案】D

【解析】

【分析】由尺规作图可知AD是NCAB角平分线，DELAC,由此逐一分析即可求解.

【详解】解：由尺规作图可知，AD是/CAB角平分线，DELAC,

在会AED^AABD中：

ZED=ZABD=90

,/|ZEAD=/BAD,：.AAED^AABD(AAS),

AD=AD

；.DB=DE,AB=AE,选项A、B都正确，

又在RtAEDC中，ZEDC=90°-ZC,

在RtAABC中，ZBAC=90°-ZC,

AZEDC=ZBAC,选项C正确，

选项D,题目中缺少条件证明，故选项D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了尺规作图角平分线作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键.

9.如图，在等边三角形ABC中，3C=4,在RfADEF中,NEDF=90。,//=30。，DE=4,点8,C,D,E在

一条直线上，点C,。重合，△ABC沿射线。E方向运动，当点B与点E重合时停止运动.设AABC运动的路程

为X,△ABC与MADE尸重叠部分的面积为S,则能反映S与尤之间函数关系的图象是()

【解析】

【分析】分三种情形：①当0＜立2时，重叠部分为ACDG,②当2〈烂4时，重叠部分为四边形AGDC,③当4

〈烂8时，重叠部分为△BEG,分别计算即可.

【详解】解：过点A作交BC于点

在等边AABC中，ZACB=60°,

在放△OEF中，ZF=30°,

ZFED=60°,

：.ZACB=ZFED,

：.AC//EF,

等边△ABC中，AM±BC,

：.BM=CM=^BC=,1,AM=4iBM=26

1J—

SAABC=-BC-AM=473，

①当0＜烂2时，设AC与DP交于点G,此时△ABC与放△重叠部分为△COG,

：.S=^-CD>DG^^-x2；

22

②当2V烂4时，设A3与。尸交于点G,此时△ABC与放△。所重叠部分为四边形AGOC,

由题意可得：CD=x,则8。=4-尤，DG=陋(4-x),

:・S=SAABC-SABDG=46-gx(4-x)x^3(4-x),

，s=-3/+4出广4月=-且(X-4)2+46

22

③当4c烂8时，设AB与斯交于点G,过点G作GML8C,交2C于点M,

此时△ABC马氏△尸重叠部分为△BEG,

由题意可得。。=%，贝!]CE=x-4,DB=x-4,

BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x,

：.BM=4-

在放△BGM中，GM=出(4-1x),

:.S=WBE・GM=：(8-X)x也(4-Jx),

221*2

.•.S=，E(x-8)2,

4

综上，选项A的图像符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多

边形的面积是解题的关键.

10.已知实数机，〃满足疗+/=2+M〃，则(2加一+(根+2〃)(机一2〃)的最大值为()

4416

A.24B.——C.——D.-4

363

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质.先将所求式子化简为10-7加，然后根

22

据(根+〃)=/+〃2+2加〃20及川+/=2+加〃求出加〃进而可得答案.

【详解】解：(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)

=4m2—12mn+9H2+m2—4n2

=5m2—12mn+5n2

=5(2+mn)-12mn

=10—7nm；

*.*(m+n)2=m2+n2+2mn>0,m2+n2-2+mn，

2+mn+2mn>G,

3mn>—2,

2

mn>——,

3

44

10—7mn«—9

3

244

(2m-3n)+的最大值为,

故选：B.

二、填空题(11・12每题3分，13・18每题4分)

Y

11.在函数y=——中，自变量x的取值范围是.

x-2

【答案】x#2

【解析】

【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为。.根据分式

有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式％-0,解得答案.

【详解】根据题意得X—220,

解得：x#2；

故答案为：x#2.

12.因式分解：a2-4Z?2=.

【答案】(a+2H(a—2丹

【解析】

【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：原式=(Q+2Z?)(〃-2Z?).

故答案为:(a+2b)(a-2b)

BF

13.如图，在YA5CD中，E是5C边上的点，连接交BD于点R若EC=2BE,则——的值是

FD

AD

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可.

【详解】•••YABCD,

BC=AD,BC//AD,

:.BEFs,DAF,

.BFBE

■,FD-AD'

-：EC=2BE,

.BE_1

••—―,

BC3

.BE_1

••一,

AD3

BF1

•••一-,

FD3

故答案为：—■

3

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

14.如图，己知圆锥的高为石，高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为

【答案】2兀

【解析】

【详解】试卷分析：如图,

ZBAO=30°,AO=5

在RtAABO中，•/tanZBAO=——，

AO

...BO=^tan3（r=l,即圆锥的底面圆的半径为1,

•••AB=M^7F=2,即圆锥的母线长为2,

圆锥的侧面积=Lx2»xlx2=27r.

2

考点：圆锥的计算.

15.如图，在R3ABC中，ZABC=90°,ZA=32°,点、B、C在（。上，边AB、AC分别交。。于。、£■两点，点

8是C。的中点，贝UNA2E=

【解析】

【分析】如图，连接。C先证明N3DC=NBCD,再证明NA5E=NACD,利用三角形的外角可得:

N3DC=NA+NACD=NA+NABE,再利用直角三角形中两锐角互余可得:

2ZBDC=90°-2（ZA+ZABE），再解方程可得答案.

【详解】解：如图，连接。C

3是c。的中点,

:.BD=BC,ZBDC=/BCD,

DE=DE,

ZABE=ZACD,

ZBDC=ZA+ZACD=ZA+ZABE,

ZABC=90°,ZA=32°,

2ZBDC=90。-2(NA+ZABE),

ZABE=45°—ZA=45°—32。=13°.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是

解题的关键.

16.对于任意的一iWxWl,av+2a—3<0恒成立，则a的取值范围是.

【答案】a<l

【解析】

【分析】本题主要考查解不等式和不等式的解集的应用.掌握分类讨论的思想是解答本题的关键.

由依+2。—3<0可得：分<3-2a,然后分a>0、。=0、a<0三种类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意

的—IWXWI,双+2a—3<0恒成立，即可列出关于。的不等式求解即可.

【详解】解：由<zx+2a—3<0可得：ax<3-2a,

当a>0时，不等式的解集为二乃，

a

对于任意的一1WxWl,ar+2a—3<0恒成立，

解得：a<1；

a

0<tz<1,

当Q=0时，—3v0恒成立，满足题意；

3-2a

当〃<0时，不等式的解集为

a

・・•对于任意的一1,ar+2a—3Vo恒成立，

3—2〃

・・・------<-1,解得：a<3,故〃<0符合题意；

a

综上所述，a<l.

故答案为：a<\.

17.如图，A、8是反比例函数产8(k>0,x>0)图象上的两点，直线A5交y轴正半轴于点E.过点A,8分

X

3

别作％轴的平行线交y轴于点C,D,若点3的横坐标是4,CD=3AC,cosZBED=~,则％的值为

y.

12

【答案】

【解析】

ED3

【分析】由cosN3ED=—=-,设DE=3a,BE=5a,则&)=4。，可求得a=l,设AC=A,CD=3b,由

EB5

血可得翳:4<412

A"H=一,求出b的值，再求出川二,二r+〃,3(4,n),利用A、8是图象上的两

3155

点，即可求出答案.

【详解】解：5。〃兀轴,

NEDB=90。,

FD3

cos/BED=——=-,

EB5

设DE=3a,BE=5a,

BD=4-at

,/点B的横坐标为4,

4a=4,

贝a=l,

DE=3,

CD=3AC,

设AC=b,CD=3b,

AC\\BD,

.ACBD4

EC~ED~3

3

:.EC=-b,

4

315

:.ED=3b+-b=—b,

44

15,0

—b=3

4

4

则b=W，

AC=-,CD=—

5

设5点的纵坐标为〃,

/.OD-n,

则OC=CD+OD=g〃,

"产+〃

,B（4,n）,

（55

A、B是反比例函数y="(k>0,%>0)图象上的两点,

X

左，X=4〃,

5

3

n=—,

5

12

k7——.

5

故答案为：—

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点A、3的坐标是

解题关键.

18.如图，腰长为8的等腰RtZkABC中，NACB=90。，。是边上的一个动点，连接AD,将线段AD绕点A

逆时针旋转45°,得到线段AE,连接CE,则线段CE长的最小值是

【答案】8-472

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，由“SAS”可证

AHAD^^CAE,可得HD=CE,时，印)有最小值，即CE有最小值，由等腰直角三角形的性质

可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【详解】解：：腰长为8的等腰RtZXABC中，ZACB=90°,

AAC^BC,ZBAC=ZABC=45°,

如图，在AB上截取AH=AC,连接HD，

A

线段AO绕点A逆时针旋转45°,得到线段AE,

AD=AE,

ZDAE=BAC=45°,

：.ABAC-ZDAC=ZDAE-ADAC即AHAD=ACAE,

在ZXHW与VC4后中，

AH=AC

</HAD=NCAE,

AD=AE

：.HAD^,CAE(SAS),

：.HD=CE,

.,.当时，HD有最小值，即CE有最小值，

AC=BC=AH=8,ZACB=9Q°,

"8=^/^寿=8应，^ABC=ABAC=45°,

BH=AB-AH=80-8，

DH1BC,

:"BHD=NDBH=45。,

:.BD=DH=—BH=8-4y[2,

2

故答案为：8-4A/2.

三、解答题

x—2<2

19.（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上,

2x-l>l

x-2-16

（2）解分式方程:

x+2x2-4

【答案】（1）l<x<4,数轴见详解；（2）原方程无解

【解析】

【分析】(1)分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示即可.

(2)先把分式方程化为整式方程求出无的值，再代入最简公分母进行检验即可.

x-2<2(1)

【详解】解：(1)<

②

解不等式①得x<4,

解不等式②得

故不等式的解集为：lWx<4；

在数轴上表示为：—~大—，：：—-丑

TOI2345

(2)方程两边同乘以(必-4)得，

(X-2)2-(X2-4)=16,

解得x=—2,

检验，当x=-2时，分母f-4=0,

.•.%=-2是原方程的增根，

故原方程无解.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组和分式方程的步骤是解题的关键.

20.新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，禁江区某校开展了

“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百

分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A80<%<85,B.S5<x<90,C.90<%<95,

D.95<x<100),下面给出了部分信息：

七年级10名学生的竞赛成绩是：99,80,99,86,99,96,90,100,89,82.

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94,90,94

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

七年八年

年级

级级

平均

9292

数

中位

90b

数

众数C100

根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述图表中。，b,c的值.

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即

可).

(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(尤290)的学生人数是多

少？

【答案】(1)a=40,b=94,c=99

(2)八年级的成绩较好，理由：八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高(理由不唯一)

(3)468人

【解析】

【分析】本题考查平均数、中位数、众数的定义以及意义、扇形统计图的相关信息.

(1)求出C组所占的百分比，再根据频率之和为1,即可求出。的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级

的中位数，和七年级的众数，确定b、c的值；

(2)通过比较平均数、中位数、众数得出答案；

(3)样本估计总体，用总体乘以七八年级中“优秀”占比即可得出答案.

【小问1详解】

解：3+10=30%,a%=l-30%-10%-20%=40%,

根据占比和总人数可知：A组有2人，8组有1人，C组有3人，。组有4人，

将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94,

因此中位数是94,即》=94,

七年级竞赛成绩出现次数最多的是99,共出现3次，因此众数是99,即c=99,

故a=40,>=94,c=99.

【小问2详解】

八年级成绩较好，

:七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，

•••八年级的成绩较好.

【小问3详解】

七年级(X>90)的学生有6人，八年级(%>90)的学生有7人,

720x^2=468人

20

21.如图，在中，A。平分N5AC。为的中点.求证：AB=AC.

小芳同学解题过程如下：

解：

。为5C的中点，

:.DB=DC.第一步

AD平分/B4C,

:.NBAD=NCAD.第二步

：.AB=AC.第三步

(1)小芳同学解题过程中，出现错误是第步；

(2)写出正确的解题过程.

【答案】(1)三(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：

(1)根据NB4O=NC4。不能推导出=明显跳步，可得第三步错误；

(2)过点。作。石工A3于点E,OEIAC于点E,根据角平分线的性质可得。石=。尸，再证

gRt£)FC(HL),可得N3=NC,进而可证AB=AC.

【小问1详解】

解：根据NR4T>=NC4D不能推导出A6=AC,

因此出现错误的是第三步，

故答案为：三；

【小问2详解】

解：正确的解题过程如下：

。为3c的中点，

DB=DC-

如图，过点。作。于点E,。尸于点尸,

AD平分/B4C,DE±AB,DF1AC,

DE=DF，

在RtZ\DEB和RtADFC中，

DE=DF

DB=DC'

RtADEB^Rt_DFC(HL),

ZB=ZC,

■■AB=AC.

22.有三把不同的钥匙A,B,C和两把不同的锁。，E,其中钥匙A只能打开锁。，钥匙8只能打开锁E,钥匙C

不能打开这两把锁.

(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率—；

(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

【答案】(1)-

3

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是工，

3

故答案为：—；

3

【小问2详解】

解：画树状图如图:

AAA

锁DEDEDE

,共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，

；•一次打开锁的概率为：2=—1.

63

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握画树状图或者列表的方法

是解题的关键.

23.如图，CD是。。的直径，点B在C0上，点A为DC延长线上一点，过点。作OE〃3C交A5的延长线

于点E，且"=/£

(1)求证：AE是。的切线；

(2)若线段0E与。的交点口是0£的中点，。的半径为3,求阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析

⑵迈_巫

28

【解析】

【分析】(1)连接根据圆周角定理得到根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到

NOBE=90。，根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)连接BF，根据直角三角形的性质得到BF=OF,推出，尸是等边三角形，得到ZBOF=60°，根据扇

形和三角形的面积公式即可得到结论.

【小问1详解】

证明：连接

V。的直径,

/.BCA.BD,即NCBD=90°,

OE//BC,

：.ZDGO=ZCBD=90°,

；.ZBGE=NDGO=90°,ZD+ZDOG^90°,

,/ZD=/E,

：.ZDOE=NDBE,

OD—OB,

ZD=ZOBD,

：.ZOBD+ZDBE=ZD+ZDOG=90°,

ZOBE=90°,

是C。的半径，

AE是＜O的切线；

【小问2详解】

解：连接月尸，

VZOBE=90°,歹是OE的中点，

:.BF=OF,

V。的半径为3,ZDGO=90°,

:.BF=OF=OB=3,ZBGO=1800-ZDGO=90°,

。叱是等边三角形，

ZB(9F=60°,

ZOBG=90°-ZBOF=30°,

/.OG=|OB=|,BG=^OB'-OG1=3233A/3

2

，阴影部分的面积为:

_60x71x3?1363_3n973

XX=

扇形°BF_屋°BG=-^52^-2T__F

阴影部分的面积为四-2叵

28

【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形

的面积的计算等知识点.正确地作出辅助线是解题的关键.

24.水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为30天，平均每颗榴莲的售价为100元，由于榴莲需要冷藏保存，因此

成本也会逐日增加，设第x天的销售量〃-每颗榴莲的成本为y元.y与x的函数关系如图所示.

〃2与X之间的关系如表:

第X天l<x<1616<%<30

销售量加/颗15%+10

(1)求y与x的函数表达式.

(2)若每天的销售利润为w元，求w与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润

是多少元？

【答案】(1)y=x+60

(2)第17天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是621元

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质,

增减性是解题的关键.

(1)根据题意，设y与x的函数表达式为丁=立+^亿*0),运用待定系数法即可求解；

(2)分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当16<x<3O时，根据二次函数图象的性质

即可求解.

【小问1详解】

解：设y与x的函数表达式为丁=近+可左wO),

把(10,70)和(30,90)分别代入y=履+可左W0)得：

10k+b=10

3Qk+b=9Q，

k=l

解得：<

b=60

/.)与x的函数表达式为y=x+60；

【小问2详解】

解：当时，W=15(100-y)=-15x+600,

V-15<0,

W随x的增大而减小，

...当x=l时，%大=585；

当16<xV30时，W=(x+10)(100-y)=-x2+30x+400=-(x-15)2+625,

：x=15不在16<x430范围内，当16<x430时，W随x的增大而减小，

，当％=17时，%大=621；

综上述，第17天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是621元.

25.(1)问题发现：如图1,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，点

B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)拓展探究：如图2,当AABC绕点A逆时针旋转6(0°<9<90°)时，BD=CF成立吗？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

(3)解决问题：当AABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.已知AB=2,AD=3^i，

求线段DH的长.

QJTO

【答案】(1)CF=BD,CFXBD；(2)成立，证明见解析；(3)DH=——

5

【解析】

【分析】(1)根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论;

(2)只需要证明△ABDgAACF即可得出结论;

(3)连接DF,延长AB,与DF交于点M.根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB,证

明4BDM^AFDH即可求得DH.

【详解】解：（1）•••四边形ABCD是正方形,

AAFXAD,AF=AD,即CFXBD,

•••△ABC是等腰直角三角形，

；.AC=AB,

；.CF=BD,

故答案：CF=BD,CFXBD；

(2)BD=CF成立.

FE

由(1)得AC=AB,AF=AD,

在△ABD和△ACF中，

AD=AF

V<ZBAD=ZCAF

AB=CA

.•.AABD^AACF,

；.BD=CF；

(3)如图，连接DF,延长AB,与DF交于点M.

FE

:四边形ADEF是正方形，

ZMDA=45°,

ZMAD=45°

AZMAD=ZMDA,/AMD=90。,

；.AM=DM,

：AD=36

在△MAD中，AM2+DM2=AD2,

AAM=DM=3,

AMB=AM-AB=3-2=1,

在R3BMD中，BM2+DM2=BD2,

・•・BD=y/BM2+DM2=V10.

在RtAADF中，AD=3后,

:.DF=42AD=6，

由(2)得，4ABD之AACF,

AZHFN=ZADN,

VZHNF=ZAND,ZAND+ZADN=90°

・•・ZHFN+ZHNF=90°

・•・ZNHF=90°,

ZDHF=ZDMB=90°,

VZBDM=ZFDH,

AABDM^AFDH,

.BDDM

**DF-DH?

.DFDM9A/W

BD5

【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定

理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴

题.

26.定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的

最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值.

(1)当一24尤41时，下列函数有界的是(只要填序号)；

2

(T)y—2x—1；(2)y—----；