湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题

湖南师大附中2023～2024学年度高一第一学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：__________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分﹐共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1.的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数求解.【详解】，故选：B2.已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项【详解】如图，因为，所以，故A错误；因为，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D3.下列命题为真命题的是（）．A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令即可判断.【详解】对于AC，若，则，故AC错误；对于B，令，则，故B错误；对于D，若，则，即，故D正确.故选：D.4.下列命题正确的是（）．A.小于的角是锐角 B.第二象限的角一定大于第一象限的角C.与终边相同的最小正角是 D.若，则是第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定所在象限判断D.【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误；是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误；因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确；且，所以是第三象限角，故D错误.故选：C5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当时，即可确定大概函数图象.【详解】根据题意，设，其定义域为，有，则为奇函数，其图象关于原点对称，排除C､D，当时，，，必有，排除B，故选：A.【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象.6.在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（）．A.在区间上是增函数﹐在区间上是增函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是减函数【答案】B【解析】【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解.【详解】因为，所以函数关于成轴对称，所以区间与区间，区间与关于对称，由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，故选：B7.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8.设方程，的根分别为，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程得，得：，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论.【详解】解：由方程得，得：，分别画出左右两边函数的图象，如图所示.由指数与对数函数的图象知：，于是有，得，所以，故选：B.二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列选项中，下列说法正确的是（）．A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”必要不充分条件C.“，”的否定是“，”D.与是同一函数【答案】AC【解析】【分析】根据不等式性质及反例可判断A，由正弦函数性质及反例判断B，由全称命题否定C，由函数的定义域判断D.【详解】当时，由不等式性质可知成立，而当时，不一定成立，如，故“”是“”的充分不必要条件，故A正确；因为时，成立，而时，不一定成立，如，故“”是“”的充分不必要条件，故B错误；由全称命题的否定知，“，”的否定是“，”，故C正确；因为，定义域为，定义域为，故函数不是同一函数，故D错误.故选：AC10.下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据均值不等式判断AB，根据特例可判断CD.【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确；，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当时，，故C错误；因为时，，所以不成立，故D错误.故选：AB11.已知函数．下列结论是假命题的是（）．A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是增函数C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】首先根据同角三角函数关系式，二倍角公式和辅助角公式对函数的解析式进行化简，然后利用函数的周期判断A，利用单调性判断B，根据对称中心、对称轴判断CD.【详解】，因为，函数的最小正周期是，选项A正确；由，得，所以区间不是函数的单调递增区间，选项B错误；由，得，所以点不是函数的对称中心，选项C错误；由，得，当时，，当取函数图象上点时，关于对称点，但由于函数定义域为，故不在函数图象上，所以不是函数的对称轴，选项D错误.故选：BCD.12.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．【详解】解：∵，，∴，，因为，又由，所以，选项A正确；，，则，，所以，选项B正确；因为，，则，，此时，所以，故选项C不正确；由和知与均递减，再由，的大小关系知，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．三、填空题（本大题共4个小题﹐每小题5分﹐共20分．）13.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为奇函数，则m的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据图象平移与伸缩变换得出函数解析式，再由奇函数及诱导公式求解.【详解】由题意可得，因为为奇函数，所以，即，，所以时，正数有最小值.故答案为：14.若函数在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为，分别判断外函数和内函数的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子集即得.【详解】对于函数，不妨设，则在上递减，而的对称轴为直线，故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数.根据复合函数的“同增异减原则”可得：函数在上递增，在上递减.故依题意可知，区间可取区间任何子集，如.故答案为：.（答案不唯一）15.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．【答案】【解析】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．16.已知函数的定义域为R，且满足，则在上的整数值零点的个数为__________．【答案】674【解析】【分析】根据函数当时的周期，及，即可求出整数值零点.【详解】当时，由可得，，所以，所以，即时，周期为.当时，，，此时函数无零点，由于，则，，所以，所以，由于，故在上的整数值零点个数为674.故答案为：674四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.设全集，集合，．（1）求；（2）已知集合，若，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算得解；（2）讨论，由建立不等式求解即可.【小问1详解】，，所以.【小问2详解】由（1）知，因为，当时，，解得，当时，则或，解得，综上，实数的取值范围为.18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求角的大小．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据同角平方关系即可求解；（2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解；（3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解.【小问1详解】因为，所以.又，所以，所以.而，所以，所以.【小问2详解】由且，得，所以.又，所以.【小问3详解】由（2）知，所以，所以.又，所以，所以.19.已知关于的不等式．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式仅有一个解，求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）把代入，解不等式即可；（2）根据条件可得，可得，，再利用基本不等式1的妙用求解即可.【小问1详解】当时，不等式可化为，即，，解得，故不等式的解集为.【小问2详解】若不等式仅有一个解，则，即，由，两边除以得，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.20.已知函数（且）的图象过点．（1）求a的值及的定义域；（2）求的单调区间；（3）若，比较与的大小．【答案】（1），（2）单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域；（2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间；（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．【小问1详解】因为在函数的图象上，所以，即，解得.由，解得，所以的定义域为.【小问2详解】由，令，当时，单调递增，时，单调递减，又单调递减，由复合函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，故的单调增区间为，单调减区间为.【小问3详解】，，，，，，所以，，则，，因为，所以，，即，，，所以，，由（2）知，在上是减函数，所以．21.某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．【答案】（1）（2）14或（3）【解析】【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析；（2）由（1）中的解析式得出，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；【小问1详解】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，，所以依题意，所以，当时，所以，故；【小问2详解】令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或时1号座舱与地面的距离为17米；【小问3详解】依题意，，所以令，解，所以当时取得最大值，故，解得，所以.22.已知函数.（1）若函数为奇函数，求a的值，并求此时函数的值域；（2）若存在，使，求实数a的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求，分离常数后可求函数的值域.（2）由题设可得故在上的取值集合与在的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范