2024年高考押题预测卷-数学（全国卷文科2）（全解全析）

2024年高考押题预测卷【全国卷02】

文科数学•全解全析

第一部分(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4={引X2—X-2N0},3={X|y=lnx},贝!!(24)门3=()

A.0<%<11B.(x|0<%<2j

C.{尤|-1<》<2}D.{x|尤>2}

【答案】B

【详解】因为A={xlX2-X-2>0]={X\X>2^X<-1},

则加4={R-l<x<2},又8={尤|y=Inx}={x|x>0},

所以(*A)cB={x[0<x<2}.

故选：B

2.已知复数2满足z(2-i)-i=2(i为虚数单位)，则z的虚部为()

4444

A.—B.——C.—iD.——i

5555

【答案】A

【详解】由z(2-i)-i=2可得2(2；[=唱,

2—1(2—i)(2+i)5

4

故虚部为不，

故选：A

x—y—2<0

3.若实数％,>满足约束条件3x+y-220,则z=2x+3y的最小值为()

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

x-y—2<0

【详解】由约束条件卜x+y-220作出可行域如图,

x-2y>0

3%+y—2=0,；二\，则AO"

联立…一2=0，解得

21

化目标函数z=2x+3y为y=_§x+,z.

21

由图可知，当直线尸一y+?过A时，直线在>轴上的截距最小,

贝!|z有最小值为2xl+3x(-l)=-l.

故选：C.

sin(a+£)i/、

4-已知即画=2,8sasin£=%,则sin(a+0=()

ABc

-1-1-ID•-1

【答案】B

sin(a+尸)/、z

【详解】由'i-----=2,可得sin(&+/?)=2sin(a-")=>3cosasin^=sinacos/?,

因为cosasin分=',所以sinacos/=L

62

112

所以sin(a+尸)=sinacos(3+cosasinjS=—+—=—.

故选：B.

5.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）

A,史C100n101

B.----C.—D.-----

99101101102

【答案】C

222

【详解】当S=0欢=1时，进入第一次循环，得S=「；,％=3；进入第二次循环，^S=-+--9k=5；

1x31x33x5

222222

进入第三次循环,得5=百+而+a，A=7；L'S=-----+------+------++—-一次=99；

1x33x55x797x99

22222

S=-----+------+------+H---------------1--------------,^=101,此;时因左=101>100,退出循环，输出

1x33x55x797x9999x101

22222

S=-----+------+------++----------1------------

1x33x55x797x9999x101

-2222211111J___J_____1__]__1100

而5=——+-----+------+H---------------1--------------=1-----1-----------1-----------F++

1x33x55x797x9999x10133557979999101101101

故选：C.

6.某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考

试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图（分成[40,50）,[50,60）,

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六组）,下列结论中不正确的是（）

频率

B.若从成绩在［70,80),［80,90),［90,100］内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在［80,90)内

的有3人

C.这100名学生成绩的中位数约为65

D.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2

【答案】C

【详解】由(0.008*2+4+0.02x2+0.032)x10=1,得。=0。12,所以A正确;

这100名学生中成绩在［70,80),［80,90),［90,100］内的频率分别为0.2,0.12,0.08,所以采用分层抽样抽

取的10名学生中成绩在［80,90)内的有10*/=3人，故B正确；

根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在(60,70)之间，设中位数为x,则

(x—60)x0.032=0.22,所以x=66.875,故C错误；

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得

元=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正确.

故选：C

7.若“=(_!_],b=ln且空,c=log，7强，则()

U2J202427

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【详解】因为c=log”W==log32>!log3>^='>0，.=△¥=卜[=^=>0,

336(⑵认12J24A/3

因为g〉心〉。，

可知C>">0,

2023

又因为b=ln、^vlnl=。，所以b<a<c.

故选：D

8.已知函数满足〃x+3)=l-〃l-x),且函数/(x+1)为偶函数，若/(1)=1,则

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

【答案】B

【详解】由题意函数/（X+1）为偶函数，所以/（X+1）=〃T+1）,“X）的图象关于直线x=l对称，

所以〃x+3）=l-〃l-x）=l-〃l+x）=l-[l-〃3-x）]=〃3-x）=〃x-l）,

所以函数〃x）的周期为4,在/（x+3）=l—/（l—x）中，分别令x=0和1,

得〃1）+八3）=1,/（0）+/（4）=1,即/（2）+/（4）=1,

所以〃1）+〃2）+*3）+〃4）=2,

所以/⑴+/（2）+L+/（2024）=506x2=1012.

故选：B.

9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建

筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图1,它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥

P-ABCD,其中底面边长和攒尖高的比值为若点E是棱的中点，则异面直线PB与CE所成角的正

切值为（）

【答案】C

【详解】解：如图,连接2。，设。为80的中点，.

•••异面直线尸3与CE所成角为NOEC或其补角.

连接OC,OP,

所以，在正四棱锥P—ABCD中，OP±OC,BD±OC,OPcBD=O,

.•.OC_L平面依

s.OC^OE,设==则由题意得3=JL,OB=OC=也〃，

h22

OE=-BP=-y/OB2+OP2=-

222

oc\[la2

••在R/OEC中，tanZOEC=—

UHj3'

2

故选：C.

10.已知点尸为直线4:机+6=0与直线4：2x+my-机-6=0(〃zeR)的交点，点。为圆

C:(x+3y+(y+3)2=8上的动点，贝力尸。1的取值范围为()

A.[2A/2,8A/2]B.(2鱼,8近]C.卜区66D.(应,6形]

【答案】A

【详解】因为点尸为直线4：〃吠一2丁一%+6=0与直线4：2x+〃9一加一6=0的交点，

所以由2机+(-2)机=0可得乙,心且4过定点(1,3),'过定点(3,1),

所以点尸的轨迹是以点(L3)与点(3,1)为直径端点的圆，圆心为(2,2),半径一业-叱二-1)?=与

2

而圆。:(工+3)2+。+3)2=8的圆心为(一3,-3),半径为R=2后，

所以两个圆心的距离d="(2+3『+(2+3)2=5拒,S.d>r+R,所以两圆相离，

所以IPQI的最大值为：d+r+E=80，IPQI的最小值为：d-r-R=2^2,

所以I尸。I的取值范围是[20,80].

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线/垂直以及过定点得到点尸的轨迹是圆，从而得解.

11.设等比数列｛4｝中，%，%使函数〃x)=x3+3a3x2+a7X+d在尤=T时取得极值。，则的的值是()

A.±石或±3五B.6或3后C.±372D.372

【答案】D

,2

【详解】由题意知：/(x)=3x+6o3x+a7,

f(-1)=-1+3a3-%+a；=0

/⑺在x=-l处取得极值0,

/'(―1)=3—6a3+%=0

4=：或a=2

解得:3

%=3%=9

当%=1,%=3时，/'(尤)=3x。+6x+3=3(x+l)~W0,

\/(X)在R上单调递增，不合题意；

当为=2,%=9时，(x)=3f+12x+9=3(x+l)(x+3),

.•.当xe(—,—3)一(一1,+®)时，/^x)>0；当xe(-3,-1)时，/(%)<0；

\/(x)在(—,-3),(-1,+0))上单调递增，在(-3,-1)上单调递减，

."=-1是/(力的极小值点，满足题意；

aj=a3a7=18,又%与。3，％同号，:.%=3近.

故选：D.

12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为％=一1,A(-l,0),p,。为C上两点，且AP=4AQ(X>1),

则下列选项簿误的是()

A.OPOQ=5B.APAQ>8

C.若2=2,则|尸@=半D.若S&QO=4也，则|尸。|=16石

【答案】C

【详解】由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-L,可得-5=-1,解得p=2,

所以抛物线口y=4尤，

设直线PQ：x="-l,且P，

联立方程组，整理得产-40+4=0,

贝UA=16/-16>0,解得/>1,且必+%=小，yry2=4,

由OPOQ=（"%）+%%=1+4=5,所以A正确；

16

由=+g+1+%为=6+门*>6+；y%=8,所以B正确;

当4=2时，由AP=2AQ,可得弘=2y2,

则乂=2夜，力=血■或丹=-2亚,%=-忘，所以|尸。|=卑，所以C错误；

由SPQO=|sPOA-S,20Al=+%/-4%.必=2A/产-1=4®,

解得r=±3,所以帆-为|=8忘,则|PQ|=&7再仅［-%|=16君,所以D正确.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数/(x)=4e'f(O)x+2(尸(尤)是〃x)的导函数)，则曲线y=/(x)在x=0处的切线方程

为.

【答案】2x-y+6=0.

【详解】由题意设切点尸(0,/(。))，因为/'(x)=4e"f(O),

令x=0,得"(O)=4e。-尸(0),

由导数几何意义知：k=f'(O)=2,

X/(O)=4e°-r(O)xO+2=6,所以尸(0,6),

故曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为：y—6=2(%-0),

整理得：2x-y+6=0.

故答案为：2x-y+6=0.

丫2V22

14.已知尸是双曲线。：1-?=2（九＞0）上任意一点，若尸到C的两条渐近线的距离之积为:，则C上的

点到焦点距离的最小值为.

【答案】

22

【详解】所求的双曲线方程为亍q—O）,则渐近线方程为］±凡=0,

设点P（%几），则今-0=4=考-2y；=82，

o4

点P到C的两条浙近线的距离之积为1-I".=W-2=阴=2

3、33

7FTW

1丫2

解得：2=4,故双曲线C方程为：—-/=1,

42-

故a=0,c=石，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=石-0.

故答案为：A/3-A/2.

15.已知长方体A8CD-AgCR中，侧面8CG4的面积为2,若在棱AD上存在一点/,使得，M3C为等

边三角形，则四棱锥M-3CG及外接球表面积的最小值为.

【答案】还口

3

点M是AD的中点，设BC=x,则A8=^x,Cq=2,点N是BC的中

【详解】如图，由对称性可知,

2x

点,

由底面矩形BCG用的对角线的交点H作底面BCG4的垂线，过等边三角形的中心G作平面AffiC的垂

线，两条垂线交于点。，点。是四棱锥外接球的球心,

笈=0笈=0才+折=片+小+且]3+与22、^7^="

22

124（x）3xV3尤23

当卜2=±,即.%时，等号成立，则炉的最小值为友，

-3x3

所以四棱锥M-BCG4外接球表面积的最小值为正兀.

3

故答案为：越兀

3

16.若ABC的内角ABC的对边分别为〃,6,c,tan匹叱-sin],”=缶，点。在边5c上，且

cosC+smC

_ADB的面积为三叵，则8=.

2

【答案】3-73

cosC-sinCsinB_cosC-sinC

【详解】因为tanB=,所以

cosC+sinCcosBcosC+sinC

所以cosCcosB—sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC,所以cos（3+C）=sin（B+C）,

即—cosNMC=sinNBAC,所以tanNBAC=—l,

因为的Ce（O,兀），所以ZBAC=Y，

因为皿^二指

csinABAC

所以sinC=

a2

JrTT

又°<c<“所以c二'

TT

因为点。在边5c上，AD=b,所以C=/AOC=7，

6

jTVT^JJI

因为ZADC=N3+NBAD,ZB=71----------=—,所以NBAO=—,

461212

所以短）=8D=6,

所以SMM=，A»DB-sin/Ar»B=，b2xsin&=^^，得b=6-l,

△ADB2262

在A4DC中，ZDAC=--—=—,

4123

由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosZDAC=2b1-2b1、［一；］=3b。,

得CD=®=3-6

BDC

故答案为：3-6

【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中

若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注

意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语,

“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、

生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理

的统计数据如下表所示:

历史物理合计

男生12425

女生91625

合计104050

附：/其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；

(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一

名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.

【详解】(1)

将表中的数据带入，得到

,n(ad-bc]250x(216-16)2八

7——、/'、/~~------r=——-------------=8>7.879.....................................................................3分

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)25x25x10x40

所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.........................................5分

(2)

由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A,B,C,女生2名，设为E,........6分

从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共计10种基本情况，且每种情况的发生是等

可能的，...............................................................................8分

其中至少有一名女生的情况有A。，AE,BD,BE,CD,CE,DE,共计有7种情况，...10分

7

所以尸(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.设等差数列｛%｝的公差为d,记S"是数列｛a.｝的前”项和，若S5=%+20,Sl5=a2a3as.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

4s1

Q)若d>0,b.=—数列也,｝的前〃项和为T“，求证：Tn<n+~.

aa

n'n+\2

【详解】(1)由1=%+20,怎=5(4；-)=5a3,得5《=%+20,解得%=5,.............1分

由5]5=。2/4，几=15("；=]5,,所以15a8=5。2a8，所以氏=0或。2=3,.............3分

当〃8=。时d=~~—=—1,止匕时〃〃=q+(〃-3)d=8—〃；.................................4分

8—3

当出=3时d=〃3一生=2,止匕时％=%+(〃-3)d=2〃-1；..................................5分

综上可得数列｛an｝的通项公式为=8-九或%=2〃-1；....................................6分

(2)因为d>0,所以%=2〃-1,则S/1+2〃7)"=〃2,................................7分

22

4Sn4n4M-1+1

a」%=（2〃-1）⑶+1）=（2〃-1）（2w+1）

19.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABC。为菱形，/948=巳，侧面SCO是边长为4的正三角形，SA=2y/10.

s

(1)证明：平面SCO_L平面ABC。；

(2)求点A到平面SBC的距离.

【详解】(1)证明：取C。中点区连接SE,AE,BE,1分

所以CE=2,ZBCD=j,ZABE=|,故BE=SE=26,.................................................................3分

y.AE2AB2+BE2-28,SA=2A/10,

所以SA2=AE2+SE2,故AE_LSE,4分

因为AEu平面ABCD,CDu平面ABC。，AEcCD=E,

所以SE_L平面ABC。，又因为SEu平面SCO,

所以平面SCD_L平面A8CD6分

(2)由(1)知SE_L平面ABC。，且5万=2如,

在，ABC中，AB=BC=4,

所以SBC=gABxBCxsinNABC=gx4x4xsing=4有，

=|X5AABCX*S，£=|X4V3X2A/3=8.................................................................................8分

在△SBC中，SC=BC=4,SBNSE^+BE。=2底,

所以SB边上的高h=小不一（厨=710,

所以打cjx2AM=2厉........................................................1。分

设点A到平面SBC的距离为d,

则匕。=匕-诬，即35刀品'4=8,解得“=平，

所以点A到平面SBC的距离为生叵.....................................................12分

5

22

20.已知椭圆C的方程会+齐=1(〃>6>0),右焦点为“1,0),且离心率为g

⑴求椭圆C的方程；

(2)设A3是椭圆C的左、右顶点，过尸的直线/交C于O,E两点(其中。点在x轴上方)，求力即与△AEF

的面积之比的取值范围.

【详解】(1)设椭圆焦距为2c,

1_________

由题意可得c=l,e=/r=5，;.a=2]=77^7=6，......................................3分

22

故椭圆方程为上+二=1.................................................................4分

43

(2)当/斜率不存在时，易知^^^=衿曾=三*=；；......................................5分

SAEFIAFIa+c3

②当/斜率存在时,设/：x=?+l«w0）,。（芭，％）（%〉0）,石区，%）（%〈。），

x=ty+l

由y2，得（3〃+4）/+69—9=0,显然△=36〃+36（3〃+4）>0，

—+—=1

143

-6/9

所以》+为=门'必%=一罚’.....................................................7分

1311

因为S.=]IA用"%1=耳•（—%），SBDF=-\BF\-\yi\=--yl9

1

所以菱=4=44

..........................................................9分

36”

禺为（%+%）2（3/+4）24r44

,AJ十*2

所以<。,

又（M+%）2=4+23%+£=乂|%]2,

10分

%%%%%y

设2=3则左<0,--<k+-+2<0,解得一3<Z<一!且左片一1,

%3%3

C1

综上可得产的取值范围为(R1).......................................................12分

».AEF9

21.已知函数〃x）=lnx+x2-2办,aeR,

（1）当。〉0时，讨论“力的单调性;

（2）若函数“X）有两个极值点%,%2（不<%2），求2/（再）-/（%2）的最小值.

【详解】(1)因为/(%)=lnx+x2—2双,%>0,

所以尸(幻=)+2彳_24=2厂—24犬+1,.................................................................................................1分

XX

令g(%)=2/-2tzx+l,贝!JA=4〃-8=4(〃2—2)，

因为a>0,

当时，A<0,则g(%)20,BPAx)>0,

此时了(九)在(0,+8)上单调递增，..........................................................3分

=

当。时，A>0?由g(X)=°，得---3-~~~Z，且％3<%4，

当0<%<%3或%>%4时，g(x)>0,Bpf\x)>0；

当时,g(九)<。,BPf\x)<0,

所以/⑴在（0,马），（孙位）上单调递增，在（七，乂）上单调递减；............................5分

综上，当0<[4五时，/⑴在（0,+8）上单调递增，

当近时，，（龙）在（0,毛）,（岑y）上单调递增，在（不，龙4）上单调递减，

a—J/2Q+y—2

其中$=6分

2----，/2

（2）由（1）可知，%，%为了⑺的两个极值点，且％3<%4,

所以玉=x3,x2=x4,且4马是方程2%2一2分+1=0的两不等正根,

此时。〉下，x1+x2=a>0,xrx2

(亚、

所以玉£0,2

r.£-------,+00且有2axx=2x；+1,lax2=+1,......................8分

I2)I2J

则2/(%1)—/(%2)=2(in%+x：-2ax1)—(inx2+x；—2%)

=2(in尤]+尤；—2芍—1)—(lnx»+x；—2尤；—1)=—2x；+2In占—Inx,+x：—1

1,13,

+21n----lnx?-l=x"——-——lnx；-21n2-l................................10分

2X2--2-

令/=¥，则fe[g,+ooi3

,令g[)=/------In"21n2—1,

''It2

则/…

当re时，g,(r)<0,则g⑺单调递减,

当，«L+8)时，g'⑺>0,则g⑺单调递增,

所以g(%=g(l)=-寸，

所以2/($)-/(%)的最小值为一号吧.................................................12分

(-)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知在平面直角坐标系宜刀中，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

%=jfi+J3cosa

极坐标方程为O=2sin0；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(a为参数),

y=，3sina

点A的极坐标为［而,：］且点A在曲线C之上.

(1)求曲线G的普通方程以及曲线C?的极坐标方程;

(2)已知直线/:x-gy=0与曲线G，Cz分别交于p,Q两点，其中尸，。异于原点。，求△AP。的面积.

【详解】⑴因为曲线G的极坐标方程为。=2sin0,所以"=2psin。，

X-QCOS。

由y=/7sin0,得曲线G的直角坐标方程为f+尸一2y=0；

y=%2+/

x=m+Jicosa

由曲线。2的参数方程为r,(。为参数)，又cos2°+sin2a=1,

y=yj3sina

得+y2=3,...........................................................................2分

22

因为P.9,所以(pcos。一根y+(psin8)2=3,gpp-ImpcosO+m=3,

即曲线C2的极坐标方程为p2-Impcos0+m1=3.

又点在曲线G上，所以6-2y/3m+m2=3