2024海南省高三下学期学业水平诊断（五）数学试题及答案

海南省2023－2024学年高三学业水平诊断（五）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a(2,mb，若(ab)b，则m（）A．－1B．0C．1D．22．已知复数z满足i)z|2i|，则z在复平面内对应的点位于（A．第一象限B．第二象限C．第三象限）D．第四象限n3．已知等比数列a的公比不为1，若a2，且a,a,a成等差数列，则a（）n11232n1B．3(a2)的展开式中，a3的系数为（B．20C．10nC．2(3)n1D．(nA．(a5）4．在A．30D．－105．在△ABC中，ACB的平分线与对边AB交于点D，若CAD的面积为CBD的2倍，且CDACB120，则BC（B．4）A．3C．6D．86．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立．现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（A．0.125B．0.1C．0.075D．0.057．如图，在直三棱柱ABCABC中，点D，E分别在棱AA,CC上，ABACAD）111112ADCECE2，点F满足BFBD(0，若BE∥平面ACF，则的值为（）11123121314A．B．C．D．x22y228C:ab0)F，F,P为C12ab右支上的一点，满足0，以点O为圆心、b为半径的圆与线段PF相交于A，B两点，且121|ABb，则C的离心率为（A．2B．）C．2D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若正实数a，b满足ab1，则（）b1A．的最小值为122abB．b(2ab)的最大值为1D．(ab的取值范围为2)12ab2的最小值为C．310C:y2px(p0)的焦点为FC上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10P2位于第一象限，以线段PF为直径的圆记为，则下列说法正确的是（A．p4）B．C的准线方程为y2C．圆的标准方程为(x6)2(y25)362D25)OPOl与圆相交于AB|4511．在四面体ABCD中，△ABDCBD都是边长为6的正三角形，棱AC与平面所成角的余弦值3为，球O与该四面体各棱都相切，则（）3A．四面体ABCD为正四面体B．四面体ABCD的外接球的体积为27C．球O的表面积为D．球O被四面体ABCD的表面所截得的各截面圆的周长之和为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)log2(2x)2，则f(______．13．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移y与时间t满足函数yAt)A0,0,,，点PQ在该函数的图象上，且位置如图所示，22则______．14．若对任意的x0，不等式(xa)exa恒成立，则a的最大整数值为______．10四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）已知函数f(x)axxaR．（I）当a1时，求曲线yf(x)在点(,f(e处的切线方程；（II）若函数g(x)f(x)2x3f(x)为f(x)g(x)的单调性．1615分）某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为X~N32只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功．（I）估计10000名应聘者中初试成绩位于区间86]内的人数；432（II）若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为,，，且每次闯543关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率P．附：若随机变量X~N,2，则P(X)0.6827,P(X)P(X)0.9973．1715分）如图，已知线段,,CC为圆柱OO的三条母线，AB为底面圆O的一条直径，D是母线BB的中点，11111且ACCBAA12．（I）求证：O平面DOC；（Ⅱ）求平面AOC与平面ACD的夹角的余弦值．111817分）x22y222已知椭圆C:ab0)的离心率为k且在y轴上的截距为1的动直线l与C交于ab21,B两点，当k时，直线l过C的右顶点．2（I）求C的方程；（II）设P为线段AB的中点，过P作直线交x轴于点Q，直线l交x轴于点MQAB，的面积1分别记为S,S，若1k5，求的取值范围．121kS221917分）aj,ij的元素个数为card(M)．已知数列a的各项均为正整数，记集合Mxxni（I）若a为1，2，3，6，写出集合M，并求card(M)的值；n（II）若a为1，3，a，b，且3ab,M)3，求a和集合M；nnn（III）若a是递增数列，且项数为k，证明：“card(M)k1”的充要条件是“a为等比数列．n海南省2023～2024学年高三学业水平诊断（五）数学・答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．Bꢀ2．Aꢀ3．Cꢀ4．Cꢀ5．Aꢀ6．Dꢀ7．Cꢀ8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BCꢀ10．ACDꢀ11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．212．－113．14．23四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析（I）当a1时，fxxx，所以fxx11x，所以fefee10，所以曲线yfx在点处的切线方程为y01xe，即．feyxe1ax，（II）因为fxaxx1，所以fxax1axxaa2x(x0)．所以gxax2x3，所以gx2xx①若a0，则gx0，所以gx在上单调递减；a2a2a2②若a0，则当x时，gx0，所以gx在上单调递增，当x,时，a2a0gx0gx在,a0时，gx在a时，gx在上单调递增，在,2a2上单调递减．16．解析（I）因为P0.6827,P0.9545，XX0.95450.6827所以P(X)0.1359．2因为估计10000名应聘者中初试成绩位于86内的人数为0.1359100001359．（II）设复试时小王通过第一关的概率为p，通过第二关的概率为p，通过第三关的概率为p．XN32，所以PX86)0.1359，1232245242531541623由题意可得p11,p11,p，12324152．251633所以小王应聘成功的概率Pppp123517．解析（I）连接AB．因为AB为底面圆O的直径，所以O为AB的中点，ACBC．11又因为ACCB，所以COAB．由圆柱的性质知AA平面，而CO平面，所以CO．11又A，且AA,AB平面AABB，所以平面AABB．111111因为AO平面AABB，所以OCAO．1111因为ACCBAAD为母线BB的中点，11所以ABAC2BC222,OA12AA6,21223,ADBD21B213，所以1D2OD2，则OOD．1211又OC,平面，且O，所以O平面．（II）连接OO，易知平面ABC,，所以以O为坐标原点，11以OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0,A2,0,2,C2,0,D2,0,1，1所以AC2,2,2,2,0,AD22,0,1．11设平面AOC的法向量为mx,y,z，1mAC2x2y2z1令z1，得m则2,0,1．m2ynAC2ab2ca,b,c，则1设平面ACD的法向量为n1nAD22ac1令c22，得n22．设平面AOC与平面ACD的夹角为，11mn则cos,n3233，故平面AOC与平面ACD的夹角的余弦值为．3323113mn118．解析（I）设C的半焦距为c(c0)，当k时，21直线l的方程为yx1，令y0，得x2，所以a2．22，所以cc2又C的离心率为，所以c2．2a22x2y2因为a2b2c2，所以ba2c22，故C的方程为1．42（II）由题可知直线l的方程为y11k5，设Ax,y,Bx,y．112222xy消去y并整理，得2k21x2420，联立42y则Δ(4k)2422k4k232k80，22xx,xx，12212212k12k22k1所以1y2kxx2，则线段AB的中点P的坐标为,．1222k12k1222k11对于直线y1，令y0，可得M,0，k2k11k22xPxM1k2所以PM1k，21kk2k22kxx41221k2xx1k21212214k8221k24k121k22k212k212k21AB22k4k213224k217．所以2k11k2S21k2PMk2133令tk21，则t2,6,y4k217t，7k21t3353522而y40，所以yt7在2,6上单调递增，所以y,，t2t1．故的取值范围为25,2351kS22236336619．解析（I）因为,2，111222332．所以集合M,2,3,6,M431ab（II）因为a为a,b，且3ab，所以a,b互不相等，n11ab3，解得ab27，所以a,b都是集合M中的元素．因为M3，所以3a所以a为1,3,9,27，所以M3,9,27．najqi，（III）充分性：若a是递增的等比数列，设a的公比为q(q，当ijk时，jnnik1，故充分性成立．Mq,q2,q3,,qk1，且M所以aaaak1必要性：若a是递增数列，且Mk1，则234，n111