2024河南省TOP二十名校高三下学期4月冲刺一数学试卷及答案

2024届高三年级TOP二十名校冲刺一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．4．本卷命题范围：高考范围．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1iz1izz（1.若复数满足，则）A2iB.2iC.iD.i1A{x∣x2B,AB，则中元素的个数为（2.已知集合）2A.9B.8C.5D.4a,bRab3.若，则“”是“ab2b2a”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2与直线相切于点A，则点A的横坐标为（）fxxxxy04.函数1eD.A.B.1C.2eab33,c22,d20.49，则（）5.设332A.abcdB.dcbaC.adbccadbD.aBbA，则6.在中，若A.等腰三角形的形状是（）B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形第1页/共5页yts）与时间（单位：）之间的函数关系式是7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：ππ22Kt,A,B，振幅为2，则前3秒该质点走过yK，其中的路程为（）D.5373A.B.C.8.已知点P在水平面P出发的三条两两垂直的线段位于到Q,R,S的PQ,PR,149距离分别为2,3，则的值为（2）PQ2PR2PSA.1B.2C.3D.2二多选题：本题共小题，每小题分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符､36合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的22列联表，其中b12a，则（）患疾病A不患疾病A合计过量饮酒不过量饮酒合计abab400n(adbc)22参考公式与临界值表：abcdacbd0.1002.7060.0503.8410.0106.6350.00110.828A.任意一人不患疾病A的概率为0.9第2页/共5页38B.任意一人不过量饮酒的概率为24C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为25D.依据小概率值0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关x2y2ab0)的左，右焦点分别为F,FΓ10.已知椭圆1:，将上所有点的横坐标与纵坐标分121a2b2k(kkΓ，则下列说法正确的是（2别伸长到原来的倍得到椭圆）babtatA.若t0，则Γ,Γe,eee，则12B.若C.若的离心率分别为12121kΓ,Γ的周长分别为1,C，则C212221F2ΓΓ122，则的离心率为D.若的四个顶点构成的四边形面积为142的下底面圆1置于球O的一个水平截面内，恰好使得O11.将圆柱与水平截面圆的圆心重合，圆柱12的上底面圆OO的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱OOO的半径为3，2231R为上底面圆ORO与圆柱2的下底面所成的角为222的体积为V，则（）πA.B.可以取到中的任意一个值227πV122C.V的值可以是任意小的正数πD4三填空题：本题共小题；每小题分，共15分．､353,4a,ba,b，则的值为__________．12.若13.､下底的面积分别为2和9cm2.现.（降雨量等于集雨器中积水在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为______体积除以集雨器口的面积）第3页/共5页14|AC|2By2C0上运动，，则14.若点A在抛物线值为__________．E:y24x上运动，点在圆(x2的最小|AB|､四解答题：本题共小题，共577､分．解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤．ABCD1AB3ADa,AA1h，O,E15.在直四棱柱分别为底面的中111心和CD的中点，连接OE,AO,AE,DB,DC．1111AOE1C（1）求证：平面平面；1ha6，求平面AOE1与平面1BC所成角的余弦值．（2）若216.1计难度相同的甲､乙､丙､丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为2合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：,B,C在三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序11,B,C合格的概率分别为,员．已知每位普通程序员设计，同一普通程序员不同的设计相互不影响．24,B,C设计合格的得分分别为80,90,100B,C的得（1）已知，不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率．22,0,22,0FE17.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，F点H是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点P．（1）求P的轨迹的方程；（2）已知A0，点Q是轨迹在第一象限内的一点，R为QA的中点，若直线的斜率为5，第4页/共5页求点Q的坐标．xkx1xk18.已知函数fx.,k（1）讨论函数的单调性；fxnN*时，求证：n1（2）当n.4中，已知a37,a,a,4a成等差数列．219.在等差数列n45（1）求数列的通项公式；ann是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由；2an（2）数列n1a10q，且kNq的所有取值．dn*,nN,ddddk2，求knk1*（3）设qnn22第5页/共5页2024届高三年级TOP二十名校冲刺一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．4．本卷命题范围：高考范围．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1iz1izz（1.若复数满足，则）A.2iB.2iC.iD.i【答案】C【解析】【分析】利用复数除法法则计算出答案.1i1ii1i1i【详解】因为1iz1i，所以zi．故选：C．1A{x∣x2B,AB，则中元素的个数为（2.已知集合）2A.9B.8C.5D.4【答案】B【解析】【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解.3≤x≤3A{x3x9，得，【详解】依题意，解不等式x2，11B,AB}而，因此，22第1页/共18页所以A故选：BB中元素的个数为8．a,bRab3.若，则“”是“ab2b2a”的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】fx3【分析】构造函数xx22xx，根据函数单调性得到a2ab2b，故ab.【详解】构造函数fx3fx，则在R上单调递增，所以3a3b2b2a3a2a3b2fafbab．b故选：C．2与直线相切于点A，则点A的横坐标为（）fxxxxy04.函数1eA.B.1C.2D.e【答案】B【解析】【分析】设出，求导，直线0xy0的斜率为1，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标Ax,y0【详解】设函数fxxx2与直线xy0相切于点Ax,y，00直线xy0的斜率为1，11fx201，所以01．2x，所以0x故选：B．ab33,c22,d20.49，则（）5.设332A.abcdB.dcbaC.adbccadbD.【答案】C【解析】a,,,d【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得的取值范围，即可求解.第2页/共18页332a23b33,c22,120d20.52【详解】由，3332232即1d2，所以adbc．故选：C．aBbA，则B.直角三角形6.在中，若A.等腰三角形【答案】D的形状是（）C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【解析】a2b2c2a2b2c2acBbcA【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.aba2c2b2b2c2a2acBbcAacbc【详解】由，得，2acbca2b2c2a2b2c2化简得，ab当a当a22bb22cc20时，即a2b2c2，则为直角三角形；为等腰三角形；20时，得ab，则综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.yts）与时间（单位：）之间的函数关系式是7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：ππ22Kt0,A,B，振幅为2，则前3秒该质点走过yK,，其中的路程为（）D.5373A.B.C.【答案】D【解析】第3页/共18页π2π32323yt，分别令t、t和t3【分析】根据题意，求得，求得相应的函数值，进而求得前3秒该质点走过的路程，得到答案.yKt的图象，可得K2，周期为T4，【详解】由函数2πππyt可得，所以，42212因为在函数图象上，可得2cos1，即cos，A0,1ππ22π,，所以又因为，3πytπ3π因为t1时，y0，所以，所以，32ππ2t,kZt2k+,kZ，令，则233283y故函数图像在轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为t,t,323π2π83π8πy令t，则y2；令t，则2；233233π2π3令t3，则y2cos33，2288333323223，所以质点在,,,,3211,2的路程分别73所以前3秒该质点走过的路程为故选：D.8.已知点P在水平面P出发的三条两两垂直的线段位于到Q,R,S的PQ,PR,149距离分别为2,3，则的值为（2）PQ2PR2PSA.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】PQ,PR,PS为空间的一个基底，由此表示出平面第4页/共18页解即得.PQ,PR,PQ,PR,PS，【详解】由两两垂直，取空间的一个基底､､设n是平面的一个单位法向量，依题意，可使n与PQPRPS的夹角都是锐角，(x,y,z)，使得nxPQyPRzPS，则存在唯一的有序实数组显然PQ,PR,PS在n方向上的投影向量的长度分别为2,3，1(xPQyPRzPS)PQ121，即x于是n1，即，则xPQ，2|PQ|PQPR231232y,znPS同理，因此，||2||2|PQ|2|PR|2|PS|2123n1PQPRPS而，所以2，|PQ|2|PR|2|PS|2222123PR1，因此PQPS|PQ|2|PR|2|PS|214921．所以|PQ|2|PR|2|PS|故选：A【点睛】关键点点睛：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的关键，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．二多选题：本题共小题，每小题分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符､36合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的22列联表，其中b12a，则（）患疾病A不患疾病A合计过量饮酒不过量饮酒合计abab400第5页/共18页n(adbc)22参考公式与临界值表：abcdacbd0.1002.7060.0503.8410.0106.6350.00110.828A.任意一人不患疾病A的概率为0.93B.任意一人不过量饮酒的概率为824C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为25D.依据小概率值【答案】ACD【解析】0.001A有关ab120【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出2的观测值，即可判断D.【详解】由已知得4ab400，又b12a，所以bab120.0.9任意一人不患疾病A的概率为，所以A正确；400ab58任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误；400b24任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为对于D，22列联表如下：，所以C正确；ab25患疾病A不患疾病A合计过量饮酒不过量饮酒合计3010401202403601502504004003024012010403601502502803则2的观测值2，由于26.6710.828，26.67依据小概率值0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.第6页/共18页故选：ACDx2y2ab0)的左，右焦点分别为F,FΓ10.已知椭圆1:，将上所有点的横坐标与纵坐标分121a2b2k(kkΓ，则下列说法正确的是（2别伸长到原来的倍得到椭圆）babtatA.若t0，则Γ,Γe,eee，则12B.若C.若的离心率分别为12121kΓ,Γ的周长分别为1,C，则C212221F2ΓΓ122，则的离心率为D.若的四个顶点构成的四边形面积为14【答案】AB【解析】【分析】利用糖水不等式判断选项AB断出选项C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项D即可.xxyxk(x,y)ΓΓ，即【详解】设点为椭圆上任意一点，则由题意知，代入椭圆的方程得21yyk2222xyxyΓ2的方程为(ab0).1.所以椭圆122k2a2k2b2k2a2kbbabtatabt0因为，所以，所以A正确；a2b2ka2b2由已知得，1,21，所以B正确；aC1Γ∽Γ，其相似比为1:k1，所以Ckk1C，所以错误；由已知得，，所以，因为12C2k212(2c)21F21Γ设ca2b2，因为的四个顶点构成的四边形的面积为，所以2ab，所以1424442442abc2，所以2aa2c2c2，所以e44e240，所以e2221(负2舍)，所以D错误．故选：．第7页/共18页2的下底面圆1置于球O的一个水平截面内，恰好使得O11.将圆柱与水平截面圆的圆心重合，圆柱12的上底面圆OO的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱OOO的半径为3，2231R为上底面圆ORO与圆柱2的下底面所成的角为222的体积为V，则（）πA.B.可以取到中的任意一个值227πV122C.V的值可以是任意小的正数πVD.4【答案】BCD【解析】3【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径r，高为3sin，代入圆柱体积公式求解，再2令tsin，利用导数求最值.【详解】过R作圆柱O的轴截面O，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，22由RO与圆柱的下底面所成的角为，则OM,，所以27πVπ27π2π)2OO1)，2227π1sin2)即V)2，故B正确；2232π当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时OO2，所以，16第8页/共18页ππ62a,所以，故A错误；1令sinat,1，所以V27π27π1t2t)t3tt，2227π22t2t2，另所以Vtt202，2113113解得两根1,t2，22227π27π1127πVtt2)26220，所以2222427π12t3tt在t所以V2,1时单调递减，2131227π1ππ所以V220V，，故CD正确；222244故选：BCD．【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面3图，得到圆柱的底面半径r，高为3sin，代入圆柱体积公式求解，再令tsin，利用导2数求最值.､三填空题：本题共小题；每小题分，共3515分．a,b3,4a,b，则的值为__________．12.若33【答案】【解析】65【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.ab5,1245312433a,b【详解】．2514491613565ab3365故答案为：13.､下底的面积分别为2和9cm2.现在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为______.（降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）第9页/共18页45516【答案】【解析】OABCOABCOABC的体积为8cm3，再设和000【分析】将三棱台补成三棱锥，求得三棱锥1113108hVVOABCV,VV0和V，根据1的体积分别为，结合则，求得，即可求解.11101304h2OABC，设三棱锥OABC【详解】如图所示，将三棱台补成三棱锥的高为h，111hh34913h6，所以三棱锥OABC46，3则，解得的体积为OABC,OABCV,V，01再设的体积分别为00011133638h8125V03则，所以V，所以，380h6022338663323同理，所以V827cm，1V11V09145516.所以该地的降雨量为432455故答案为：.1614|AC|2By2C0上运动，，则14.若点A在抛物线E:y24x上运动，点在圆(x2的最小|AB|第10页/共18页值为__________．【答案】2【解析】【分析】设，根据抛物线焦半径得到As,tAFs1，利用两点间距离公式得到|AC|2s243，变形得到12|AC|2(s2)2t2s24，根据ABAF得到ABs2s243253，利用基本不等式求出最小值.4s2【详解】抛物线y4x的焦点F的坐标为0，准线方程为x1，214122为圆的圆心，圆的半径为，1,0(x2y2设点，则由抛物线的定义得AFst4s，As,t||2(s2)2t2s24s44ss4，21ABAF,B,F共线时，等号成立，由三角形三边关系得到，当且仅当2||所以2||2s4213，s22333ss令，则，222324s243225254所以3232，4s2254532|AC|2当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2．2AB故答案为：2【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．第11页/共18页､四解答题：本题共小题，共577､分．解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤．ABCDAB3ADa,AA1h，O,E15.在直四棱柱1分别为底面的中111心和CD的中点，连接OE,AO,AE,DB,DC．1111AOE1C（1）求证：平面平面；1ha6，求平面AOE1与平面1BC所成角的余弦值．（2）若2【答案】（1）证明见解析22（2）3【解析】1）由线面垂直得到线线垂直，即DD1C1，进而得到OE平面，证明出面面垂直；,0,3，利用法向量的夹角6n6,3,n（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量122余弦公式求出答案.【小问1详解】因为O,E分别为底面的中心和CD的中点，所以OECD，DD1ABCD，OEDD1ABCD因为平面平面，所以，又因为DD1CDD，DD1,CD平面，所以OE平面CC，11因为OE平面AOE1AOE，所以平面1平面C．1【小问2详解】以A为空间坐标原点，,,1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．第12页/共18页aa3由已知得1A0,0,h,Da,h,O,,0,Ca,a,0,Da,0,Ea,a,0，1222AOaaa,0,h,,h,DC所以，1122aBCADa,0,,0又，2设平面与平面的法向量分别为x,y,z，2AOE11BCnx,y,z,n1111222aa1yhz2h1122y10z13x1所以，解得，令，则，aa122han,0,3故，1axhzh22y0z3x1所以，解得，令，则，ay222ahan,0,3故，26ha6n6,3,n,0,3因为，所以与平面，1222所成角的大小为，AOE1BC设平面166,3,0,3nn233223所以cos12．nn3232126333216.1计难度相同的甲､乙､丙､丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为2第13页/共18页合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：,B,C在三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序11,B,C合格的概率分别为,员．已知每位普通程序员设计，同一普通程序员不同的设计相互不影响．24,B,C设计合格的得分分别为80,90,100B,C的得（1）已知，不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为70（2）【解析】1）X的可能取值为90,100,190，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；（2）综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可.【小问1详解】X的可能取值为90,100,190，112483112483PX011由题意知，,PX901，1124181118100，PX1,PX19024X的分布列为X0901001901818338P831119070EX90100．888【小问2详解】因为同一普通程序员不同的设计相互不影响，所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为43111111111342496PC141112．223222,0,22,0FE17.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，F第14页/共18页点H是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点P．（1）求P的轨迹的方程；（2）已知A0，点Q是轨迹在第一象限内的一点，R为QA的中点，若直线的斜率为5，求点Q的坐标．x2y21【答案】（1）44（2）5【解析】1）利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案；（2）利用中点公式和的斜率为5建立方程组，求解方程组可得答案.【小问1详解】PHPE由题意可知，点P在线段的垂直平分线上，所以，FH4又点H是圆F上一动点，所以．PEPFPHPF4；①当②当时，时，PFPEPFPHFH4，PFPE4EF42所以P的轨迹Γ满足，根据双曲线定义可知，P点的轨迹是以F,E2a4为左右焦点，实轴长为的双曲线，､x2y2可得c22,abc【小问2详解】2a22，所以P的轨迹Γ的方程为1．44x2yQx,y,xy0设R0,0,0204，2，所以0000220025502，y0因为直线的斜率为5，所以，即x20y024x2与联立解得（舍去）或3．0所以点Q的坐标为5．第15页/共18页xkx1xk18.已知函数fx,k.（1）讨论函数的单调性；fxnN*时，求证：n1（2）当n.4【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】1）求出导函数，然后根据k2和k2分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；3xx31m134x1mN*x得（2）根据（1）的结论知可证明.，令，结合对数运算累加法即mm【小问1详解】xkfxx1的定义域为.2kxxk21k2，fx2x1(xk)x1(x