2024年山东省淄博市博山区九年级中考一模数学试题(解析版)

初四数学试题

本试卷分第I卷和第n卷两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，

将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答

题卡和试卷的相应位置.

2.第I卷每小题选出答案后，用26铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案不能答在试卷上.

3.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡

上作图时，可用25铅笔，但必须把所画线条加黑.

4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改.不按以上要求作答的答案无效.不允许使

用计算器.

第I卷（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题

4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.

1.下列各式中，多项式》2—36的因式是（）

A.x-3B,x-4c.x-6D,x-9

【答案】C

【解析】

【分析】将原多项式分解因式即可得解.本题主要考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式

是解题的关键.

［详解］VX2-36=（x+6）（x-6）,

.,.多项式X2—36的因式是x+6或x—6,

故选：C.

2.从3.1415926,3.3,0,,-邪,、件中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，直接利用概率公式计算得出答案.

【详解】解：/=2,6=3

36LLL

从尸，3.1415926,3.3,®F,一邪,中随机抽取一个数，抽到的无理数的有-邪,2

种可能，

..•抽到的无理数的概率是2:，

故选：A.

3.下列运算正确的是（）

B.（-或）=a6

A.^/3+2^/3=276

1121b1

C.—+—=——D.-----.—=—

2aa3a3ab3ab2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式加减的运算性质、积£、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性

质判断即可.

【详解】A、73+273=373,运算错误，该选项不符合题意;

B、（―或）=—06,运算错误，该选项不符合题意；

113

C、-+-=—,运算错误，该选项不符合题意；

2（7a2a

D、运算正确，该选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次根式加减、积的乘方、分式的加减、分式的乘除，牢记二次根式加减的运算性

质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质是解题的关键.

4,计算绢」■土3+八4匈二4的结果是（

）

mn

A.3加+“4B.加3+4〃C.3m+4nD.3m+4”

【答案】D

【解析】

【分析】根据乘法的定义：加个3相加表示为3加，根据乘方的定义：〃个4相乘表示为4”，由此求解即

可.本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键.

3+3t1+3+4x44Lx4=3m+4«

【详解】

故选：D.

5.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使

棋子“帅”位于点（-2,-1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解

析式为（）

A.y=x+lB.y=x-lC.y=2x+lD.y=2x-l

【答案】A

【解析】

【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点（L2）,

和)

昨去+b过点(-2,-1)(1,2,

2=k+b

-1=-2左+b'

k=\

解得八1-

b=1

•••经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为＞=x+i,

故选A.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键.

6.如图，在正方形网格内，线段尸。的两个端点都在格点上，网格内另有4瓦。,£）四个格点，下面四个

结论中，正确的是（）

A,连接48,则48〃？。B.连接则5c〃pQ

C.连接80,则D.连接ZD,则尸0

【答案】B

【解析】

【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可.

【详解】解：如图，连接48,取夕。与格线的交点K,则4P〃8K,

而APwBK,

/.四边形ABKP不是平行四边形，

AB,尸。不平行，故A不符合题意;

如图，取格点N,连接QC,BN,

由勾股定理可得：QN=F=BC,QC=^=BN,

...四边形QCBN是平行四边形，

BC//PQ,故B符合题意；

如图，取格点M，7,

根据网格图的特点可得：BM±PQ,ATlQPt

根据垂线的性质可得：BDVPQ,ADLPQ,都错误，故c,D不符合题意；

故选B

【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与

基本图形的性质是解本题的关键.

7.在AA8C和△HB'C中，ZB=ZB'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C=4,已知NC=〃。，则

NC'=()

A.30°B,〃°C,〃。或180。—〃。D.30。或150。

【答案】C

【解析】

【分析】过/作于点。，过©作HQ'LB'C'于点求得4D=HD'=3,分两种情况讨论,

利用全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：过/作ZO,BC于点。，过H作/'。'，"。’于点。方

•/NB=/B'=30°,AB=A'B'=6,

AD=A'D'=3,

当&C在点。的两侧，B'、C在点/X的两侧时，如图，

•/AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,

Rt^ACD^Rt^A'C'D'（HL）,

ZC=AC=n°.

当&C在点。的两侧，B'、C在点。C的同侧时，如图,

•/AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,

RtA^C2）^RtA^,C,D,（HL）,

ZA'C'D'=ZC=n°,即N4'C'5'=180°—N4C'0'=18O。—〃°；

综上，NC的值为〃。或180。-〃。.

故选：C.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关

键.

8.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数了的几组对应值：

X-3035

y16-5-80

则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）

A.图象的顶点在第一象限B.有最小值-8

C.图象与x轴的一个交点是（一1,0）

D.图象开口向下

【答案】c

【解析】

【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果.

【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

由题意知

9a-3b+c=16

<c=-5,

9a+36+。=-8

a=1

解得b=—4,

c=-5

二二次函数的解析式为y=X2—4x—5=（x—5）（x+l）=（x—2）2—9,

.•・函数的图象开口向上，顶点为（2,—9）,图象与x轴的一个交点是（—1,0）和（5,0）,

顶点在第四象限，函数有最小值—9,

故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式

9.一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展开图如图①所示.在一张不透

明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最

小是（）

图①图②

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看

得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答.

【详解】解：由图①可知：1的相对面是3,2的相对面是4,5的相对面是6,

由图2可知：

要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，

上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6,

能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；

左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4,5,6,

能看见的面数字之和为：1+2+3=6；

右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4,6,

能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；

•••能看得到的面上数字之和最小为:15+6+11=32,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面“，是解题的关键.

10.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2,个球放入乙袋，再从

乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出"个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，

则2x+y的值等于（）

丙袋

B.64C.32D.16

【答案】A

【解析】

【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2工，2》，最后逆

用同底数能相乘法则求出答案.

【详解】调整后，甲袋中有（292x+2y）个球，29+2x—2x—2y=29—2y,乙袋中有（29—2y）个

球，5+2x+2y-2y=5+2x,丙袋中有（5+2x）个球.

..一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同,

调整后每只袋中有63+3=21（个）球，

•■-5+2x=21,29-2y=21,

2x=16,2V=8,

2x+y=2%,2y=16x8=128.

故选：A.

【点睛】本题考查了嘉的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键.

第n卷(非选择题共no分)

二、填空题：本题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分.

11.若七边形的内角中有一个角为100°,则其余六个内角之和为.

【答案】8000##800度

【解析】

【分析】根据多边形的内角和公式180°(〃-2)即可得.

【详解】解：•••七边形的内角中有一个角为100°,

，其余六个内角之和为180。x(7-2)—100。=800。，

故答案为：800°.

【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键.

12.设有边长分别为。和6(°>6)的/类和3类正方形纸片、长为。宽为b的C类矩形纸片若干张.如

图所示要拼一个边长为6的正方形，需要1张/类纸片、1张3类纸片和2张C类纸片，若要拼一个

长为3。+6,宽为2a+26的矩形，则需要C类纸片的张数为张.

【解析】

【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键.利用矩形的面

积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案.

【详解］解.+b)2=Q2+Z?2+2ab，即S=S+S+2s

•大正方形ABc

二要拼一个边长为a+6的正方形，需要1张A类纸片、1张3类纸片和2张C类纸片.

+81S，

（3。+6）（2。+2b）=6a2+2b2+Sab,即S矩无=6S〃+2sBC

，若要拼一个长为3a+b,宽为2a+26的矩形，则需要C类纸片的张数为8张,

故答案为：8

13.如图，/BC为等边三角形，点。，£分别在边上，ZADE=60°,若

BD=4DC,DE=2.4,则4D的长为.

【解析】

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质.先根据“两角对应相等，两三角

4

形相似”证明则可得即可求解.

【详解】解：•..-8C为等边三角形，

•/8=NC=60°,8C=ZC

•；NADB=ZADE+ZBDE=/CAD+ZC?/ADE=ZC,

.・.ZBDE=ACAD,

/.Z\BDEs^CAD,

BDDE

"AC~AD'

•/BD=ADC,

4

：.BD=_BC,

ADAC_BC_5

二/一防_-4,

—£)C

5

•/DE=2.4,

•AD=-xDE=3

4

故答案为：3.

14.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点aB,C,D,E均在小正方形方

格的顶点上，线段48，C。交于点G若NCFB=a,则/4BE的度数为

D

r-

r-44r--r-r-;-r-j

：：：：：：A;

【答案】90°+a

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定.如图，证明△CG0gAAfffi(SAS),得到

ZGCD=ZHBE，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

由图可知：GD=EH=1,CG=BH=4,ZCGD=ZBHE=90°,

KGDaBHE&AS),

：.ZGCD=ZHBE,

•/CG//BD,

：.ZCAB=ZABD,

•;ZCFB=ACAB+ZGCD=a,

ZABD+ZHBE=a,

/.ZABE=ZABD+ZDBH+ZHBE=90°+a；

故答案为：900+a.

x+3.1.

-----<4a-l4.

15.若关于X的一元一次不等式组2，至少有2个整数解，且关于了的分式方程+2

2x-a>2'?

有非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是

【答案】4

【解析】

【分析】先解不等式组，确定。的取值范围再把分式方程去分母转化为整式方程，解得了=

由分式方程有正整数解，确定出。的值，相加即可得到答案.

①

【详解】解:2

2x-a>2②

解不等式①得：x<5,

解不等式②得：x>\+~,

2

・•.不等式的解集为1+2/X45,

2

•••不等式组至少有2个整数解,

YQ,

1+—〈4,

2

解得：a<6;

a-14

・•・关于了的分式方程一+—=2有非负整数解,

y—L~y

a-1-4=2（j>-2）

a—1

解得：y=~2~^

Cl八Q-].

即亍20且亍W2,

解得：且aw5

.•0的取值范围是1<。46,且a#5

■■a可以取：1,3,

...1+3=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键.

三、解答题：本大题共8小题，共90分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

【答案】一5

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根、二次根式的性质、负整数指数得、绝对值分别化简,

再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=3+6-2-9+3-/

=一5.

17.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,一8。的顶点均在小正方形的格点上.

（1）将“8。向下平移3个单位长度得到△qqq,画出△qqq.

（2）将“8。绕点。顺时针旋转90度得到△NBC,画出△N8C；

222222

（3）在（2）的运动过程中请计算出“8。扫过的面积.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先作出点/、B、C平移后的对应点4，BrC,然后顺次连接即可；

（2）先作出点/、2绕点C顺时针旋转90度的对应点/,B然后顺次连接即可；

22

（3）证明/BC为等腰直角三角形，求出S=；48xBC=l，§-'单义（河）_#,根

ABC22扇形%—360—T

据旋转过程中扫过的面积等于“8。的面积加扇形的面积即可得出答案.

【小问1详解】

解：作出点/、B、。平移后的对应点q,c,顺次连接，则即为所求，如图所示:

【小问2详解】

G

解:作出点4府绕点C顺时针旋转90度的对应点汽,‘顺次连接，则△续q即为所求,如图所

【小问3详解】

解：AB=712+22=75,AC=6+12=回,3C=J12+22=*,

AB=BC,

-：G)+G)=io=Qm),

：.AB2+BC2=AC2,

：.为等腰直角三角形,

•S=LABXBC=5-

△4BC22

根据旋转可知，NNC4,=90°

9(Px

■■S£

扇形-360~2

5+53

二在旋转过程中“5。扫过的面积为S=S.+S扇形4=一

【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计

算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点.

18.已知关于X的一元二次方程X2-(2m-l)x-3m2+m=0

(1)求证：无论加为何值，方程总有实数根;

xx5

（2）若X,X是方程的两个实数根，且^+萨=一求加的值.

12XX2

12

2

【答案】（1）见解析（2）5或1.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定A20即可得到答案；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到=2机T,xx2=-3m2+m,整体代入得到

加2+2加-3=0求解即可得到答案.

【小问1详解】

证明：：关于X的一元二次方程X2-Q机-l）x—3制2+m=0,

a=1,b=-（2m-1）（0=一3掰2+加,

22

/.A=&2-4ac=[-（2机-1）]I-4x1x（-3根2+m）=（4m-1）,

,,1（4m-1）2>0,即A±0,

...不论加为何值，方程总有实数根;

【小问2详解】

解：.••、，X2是关于X的一元二次方程X2—（2机—l）x—3仙+机=°的两个实数根,

x+x=2加一1xx=-3加2+加

1212

XXX2+X2u+xJ2-2xx5

-2-+—U=—I---2—=—1----2-------1—2_=——,

xxxxxx2

121212

（x+%>1

xx2

12

（2m-1）2142

二二——L=—整理,得5加2-7冽+2=0,解得m^=—,加2—1

-3m2+m2

,2

•-m的值为5或

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方

程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.

19.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形45c0,斜面坡度，=3:4是

指坡面的铅直高度/尸与水平宽度AF的比.已知斜坡S长度为20米，ZC=18°,求斜坡AB的

长.（结果精确到米）（参考数据：sinl8°«0.31,cosl8°«0.95,tanl8°«0.32）

【答案】斜坡的长约为10米

【解析】

【分析】过点。作于点E,在Rt^DEC中，利用正弦函数求得£>£=6.2,在RS48/中，利

用勾股定理即可求解.

【详解】解：过点。作。于点E,则四边形/。跖是矩形，

在Rt^DEC中，CD=20,ZC=18°,

=C£>­sinZC=20xsinl80-20x0.31=6.2.

/.AF=DE=6.2.

AF3

~BF4

.•.在RtA/BP中，AB=yjAF2+BF2=^AF=£x6.2»10（米）.

答：斜坡48的长约为10米.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

20.某中学八年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：

分）如下：

81908289999591839293

879294889287100868596

（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；

频数分布表：

成绩分80<x<85

组

划记

频数

A频数

7-

6-

5・

4.

3-

2-

I-

-1-------1-------1—►

频数分布直方图------网以

（2）求这组数据的中位数；

（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校八年级学生在同等难度的信息技术操作考

试中达到优秀等次的人数.

【答案】（1）见解析（2）90.5

（3）480人

【解析】

【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，中位数，理解中位数的定义，掌握频数分布直方图的绘

制方法是正确解答的前提.

（1）根据频数分布直方图的画法画出相应的条形统计图即可；

（2）根据中位数的定义，计算出排序后第10、11两个数的平均数即可；

（3）求出样本中“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再根据频率=专专进行

计算即可.

【小问1详解】

列出频数分布表如下,

成绩分组80<x<8585<x<9090<x<9595<x<100

划记iF|正一正丁T|

频数4673

画出频数分布直方图如下:

【小问2详解】

90+91…

将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为——=90.5,因此中位数是

90.5；

【小问3详解】

600X—=480(人),

20

答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约刈80人.

k

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数"=加工+〃与反比例函数歹二一的图象在第一象限内交于

x

N（a,4）和8（4,2）两点，直线AB与x轴相交于点C,连接。4.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式;

k

(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式加工+〃>—的解集;

X

(3)过点3作8。平行于x轴，交。4于点。，求梯形的面积.

8,

【答案】（1）反比例函数为：y=—,一次函数为v=-x+6.

X

(2)2<x<4

(3)9

【解析】

【分析】⑴利用3（4,2）可得反比例函数为尸］再求解“（2,4）,再利用待定系数法求解一次函数的解

析式即可；

（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x＞0可得答案;

（3）求解。4的解析式为：V=2x,结合过点2作8。平行于x轴，交。/于点。，台（4,2）,可得

£＞（1,2）,80=4—1=3,由4B为了=—x+6,可得C（6,0）,0C=6,再利用梯形的面积公式进行计

算即可.

【小问1详解】

解：...反比例函数＞=£过3（4,2）,

X

:・k=8,

8

，反比例函数为：y=—,

X

把/（凡4）代入歹可得：a=l=29

x4

/./（2,4）,

2m+n=4fm=-1

二",C，解得：1A，

4m+n=2[〃=6

：.一次函数为y=-x+6.

【小问2详解】

由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合＞0可得

k

不等式加x+〃巳一的解集为：2Kx＜4.

x

【小问3详解】

•.•4（2,4）,同理可得。4的解析式为：y=2x,

•.・过点8作3。平行于x轴，交。4于点。，8（4,2）,

y=2

D'

二”=1,即£）（1,2）,

：,BD=4-1=3,

：45为V=-x+6,

当y=0,则x=6,即。（6,0）,

：.OC=6,

二梯形OCBD的面积为：l(3+6)x2=9,

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与

图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

22.如图，48为。。的直径，ZX4和。。相交于点尸，AC平分ND4B,点。在。。上，且

CDLDA,AC交BF于点、P.

(2)求证：ACPC=BC2；

AF

(3)已知BC2=3FP-DC,求KB的值.

【答案】(1)见解析(2)见解析

1

(3)y

【解析】

【分析】(1)连接℃,由等腰三角形的性质得NCMC=NOCN,再证ND4c=/℃/,则

DA//OC,然后证OCLCZ),即可得出结论；

(2)由圆周角定理得NZCB=90°,NDAC=NPBC,再证=然后证

BC

"CBs^BCP,得阮=同,即可得出结论；

(3)过P作尸于点及证/C-PC=3EP-£)C,再证A/CDSAAP。，得

ACPC=BPDC,则BP-℃=3EPZ)C,进而得=然后由角平分线的性质和三角形面积

即可得出结论.

【小问1详解】

证明：如图1,连接。。，

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

■：AC平分/DAB,

：.ZDAC=AOAC,

：.NDAC=/OCA,

：,DA//OC,

•.­CDVDA,

：.OCLCD,

.•.CO是。。的切线；

【小问2详解】

证明：48为。。的直径,

/.ZACB=90°,

­：AC平分NDAB,

；.ZDAC=ABAC,

■：ADAC=/PBC,

4BAC=/PBC,

又：ZACB=ZBCP,

：."CBSABCP,

AC_BC

"~BC~~PC'

：.AC-PC=BC2；

【小问3详解】

如图2,过尸作于点E,

D

由（2）可知，AC-PC=BC2,

•：BC2=3FPDC,

ACPC=3FPDC,

■：CDVDA,

：.ZADC=9Q°,

,：AB为OO的直径，

/.ZBCP=9Q°,

：.ZADC=ZBCP,

■：NDAC=NCBP,

：.AACDSABPC,

ACDC

"~BP~~PC'

：.ACPC=BPDC,

：.BPDC=3FPDC,

：.BP=3FP,

,-1ZB为OO的直径，

/.ZAFB=90。,

：.PFLAD,

,:AC平分/DAB,PEVAB,

：.PF=PE,

CLAFFPLAF-FP

______=2_______

•cT1

LPB-ABPE-BP-AF

22

AF_FP_FP

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判

定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角

定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键.

23.在平面直角坐标系X0V中，已知点/在y轴正半轴上.

（1）如果四个点（0,0）、（。,2）、（1,1）、（一1,1）中恰有三个点在二次函数y=0X2（°为常数，且的图

象上.

①";

②如图1,已知菱形/BCD的顶点2、C、。在该二次函数的图象上，且ND,y轴，求菱形的边长；

③如图2,已知正方形NBC。的顶点2、。在该二次函数的图象上，点2、。在y轴的同侧，且点2在点

。的左侧，设点2、。的横坐标分别为加、n,试探究〃一加是否为定值.如果是，求出这个值；如果不

是，请说明理由.

（2）已知正方形48CD的顶点反。在二次函数y=ax2（。为常数，且a>0）的图象上，点3在点。

的左侧，设点3、。的横坐标分别为m、”，直接写出加、〃满足的等量关系式.

【答案】（1）①1；②孚；③是，值为1

（2）a（"一根）=1或加+〃=0

【解析】

【分析】（1）①当x=0,y=0,可知（0,2）不在二次函数图象上，将（1,1）代入y=G2,求解。值即

可；②由①知，二次函数解析式为了=心，设菱形的边长为。，则=?，D（p,p2）,由菱形的性质

得，BC=p,BC//AD,则BC'y轴，C,根据0。2=/。2,即

、2

D2

+夕2--交息为过

I4=P2,计算求出满足要求的解即可;③如图2,连接BDE,B

7

作Wy轴于这C作CNLMN于N,由正方形的性质可知，E为AC、AD的中点,

AB=BC,/ABC=90°,则ZABM=ZBCN,证明/△8NC(AAS),则■=BN,

(、，、(m+Hm2+〃2।/)

BM=CN,由题意知，Bln,m2),D"”),m>Q,n>Q,则E——,---,MW,m2),

I22)

设N(0,q),则C(m+〃，加2+〃2-q),N&+〃，加2),AM=q-m2,BN=n,BM=m,

CN=m-q,则q-相2=〃，m=n?—q,即“2-加一加2=〃，计算求解即可1；

(2)由题意知，分①当在了轴右侧时，②当AO在了轴左侧时，③当B在了轴左侧，。在了轴右侧

时，三种情况求解；①当A。在了轴右侧时，y=ax2,同理(1)③，AM=BN,BM=CN,由题

((m+na&2+〃2)]/\

意知，),DSan?),m>0,〃>0,则E—-—,-------------,M\0,arn2Jt设

I7

A(0,q\则c(〃+〃，a&2+〃2)-q),N，+n,am),AM=q—anu,BN=n,BM-m,

CN=am-q,则q-a机2=〃，m=am-q,即口磔_