河北省石家庄2024届中考数学最后一模试卷含解析

河北省石家庄四十二中学2024年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃。的直径，且ABLCD.入口K位于AD

中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函

数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是（）

■0j

X

miffl2

A.A-O—DB.C—A一O一BC.D-O—CD.O―D-B—C

m

2.如图，函数y=kx+b(k#))与y=—(m#))的图象交于点A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b>—的解集为()

XX

A.%<-6^0<x<2B.-6<x(0^x>2C.x>2D.x<-6

3.剪纸是水族的非物质文化遗产之一,下列剪纸作品是中心对称图形的是()

A.B.

C.S

D.

4.如图已知。。的内接五边形ABCDE,连接5E、CE,若NEOC=130。，则NA3E的度数为（）

E

A.25°B.30°C.35°D.40°

5.已知关于x的方程x2-4x+c+l=0有两个相等的实数根，则常数c的值为)

A.-1B.0C.1D.3

6.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入

一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是

()

J一

TO

7.如图，尸为。。外一点，PA.分别切。。于点A、B,CZ＞切。。于点E,分别交R4、于点C、D,若丛=

b

8.已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数丫=1«和反比例函数y=—在同一坐标系中的图象的形状大致是

x

9.如图，PA,PB分别与。O相切于A,B两点，若NC=65。，则NP的度数为（)

C.50°D.100°

10.如图，在△ABC中，以点3为圆心，以A4长为半径画弧交边3c于点。，连接AO.若N3=40。，ZC=36°,则

NZMC的度数是（）

A.70°B.44°C.34°D.24°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，直线a〃b,正方形ABCD的顶点A、B分别在直线a、b上.若N2=73。，则Nl=

13579

12.观察下列一组数：;，小7,二，二，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第"个数是.

49162536

13.在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上

走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n被3除，余数为

2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是

14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则

CF的长度为

15.在矩形ABCD中，AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A，，若点A，

到矩形较长两对边的距离之比为1：3,则AE的长为.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩

形ABCD的边CD上，连接CE,则CE的长是.

X________p

----------jC/

£

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）解方程：2（x-3）=3x（x-3）.

18.（8分）如图,CZ＞是一高为4米的平台,45是与CZ＞底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角6Z=30°,

从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角/?=60。，求树高A项结果保留根号）.

A

19.（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQLBE于点Q,DPLAQ于点P.求证：AP=BQ；

在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.

20.（8分）如图，在AABO中，AB＞AC,点D在边AC上.

（1）作NADE,使NADE=NACB,DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若BC=5,点D是AC的中点，求DE的长.

21.（8分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC

于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.

(1)判断直线EF与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若NA=30。，求证：DG=4DA；

2

(3)若NA=30。，且图中阴影部分的面积等于26-,求。O的半径的长.

3

22.(10分)某初中学校组织200位同学参加义务植树活动.甲、,乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并

将收集的数据进行了整理，绘制成统计表1和表2：

表1：甲调查九年级30位同学植树情况

每人植树棵数78910

人数36156

表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况

每人植树棵数678910

人数363126

根据以上材料回答下列问题：

(1)关于于植树棵数，表1中的中位数是棵；表2中的众数是棵；

(2)你认为同学(填“甲”或“乙”)所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况;

(3)在问题(2)的基础上估计本次活动200位同学一共植树多少棵？

23.(12分)如图，已知函数y=&(x>0)的图象经过点A、B,点B的坐标为(2,2).过点A作AC，x轴，垂

x

足为C,过点B作BDLy轴，垂足为D,AC与BD交于点F.一次函数y=ax+b的图象经过点A、D,与x轴的负半

轴交于点E.

3

若AC=—OD,求a、b的值；若BC〃AE,求BC的长.

2

24.正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A,B重合），连接DP,将DP绕点P旋转90。得到EP,

连接DE,过点E作CD的垂线，交射线DC于M,交射线AB于N.

问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1,线段AD,AP,DM之间的数量关系为；

题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2,线段AD,AP,DM之间的数量关系为

②当点P在线段AB的延长线上时，如图3,请写出线段AD,AP,DM之间的数量关系并证明；

问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=G，NDEM=15』。，则DM=

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

【分析】观察图象可知园丁与入口K的距离先减小，然后再增大，但是没有到过入口的位置，据此逐项进行分析即可

得.

【题目详解】A.A-O-D,园丁与入口的距离逐渐增大，逐渐减小，不符合;

B.C-ATO-B,园丁与入口的距离逐渐减小，然后又逐渐增大，符合；

C.D-O-C,园丁与入口的距离逐渐增大，不符合；

D.O-D-B-C,园丁与入口的距离先逐渐变小，然后再逐渐变大，再逐渐变小，不符合，

故选B.

【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图象，看懂图形，认真分析是解题的关键.

2、B

【解题分析】

根据函数的图象和交点坐标即可求得结果.

【题目详解】

解：不等式kx+b>—的解集为：-6<x<0或x>2,

X

故选B.

【题目点拨】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.

3、D

【解题分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,

这个点叫做对称中心进行分析即可.

【题目详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

4、B

【解题分析】

如图，连接OA,OB,OC,OE.想办法求出NAOE即可解决问题.

【题目详解】

如图，连接04,OB,OC,OE.

E

；NEBC+NEZ>C=180°,NE£)C=130°,

：.ZEBC=50°,

.../EOC=2NE3C=100。，

,：AB=BC=CE,

...弧AB=MBC=MCE,

，ZAOB=ZBOC=ZEOC=100°,

:.NAOE=360°-3xl0(r=60°,

•\ZABE=-ZAOE=3Q°.

2

故选：B.

【题目点拨】

本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5、D

【解题分析】

分析：由于方程7-标+。+1=0有两个相等的实数根，所以A="-4ac=0,可得关于c的一元一次方程，然后解方程求

出c的值.

详解：由题意得，

(-4)2-4(C+1)=0,

c=3.

故选D.

点睛：本题考查了一元二次方程(a/0)的根的判别式A="-4ac：当△>()时，一元二次方程有两个不相等

的实数根；当△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.

6、A

【解题分析】

根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案.

【题目详解】

八

该几何体的俯视图是:

7

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键.

7、C

【解题分析】

由切线长定理可求得出=尸5,AC=CE,BD=ED,则可求得答案.

【题目详解】

'：PA,尸B分别切。。于点A、B,C。切。。于点E,

：.PA^PB^6,AC^EC,BD=ED,

：.PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=6+6=12,

即4PCD的周长为12,

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得出=尸8、AC=CE和BO=EZ>是解题的关键.

8、C

【解题分析】

试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k>Lb<l.因此可知正比例函数y=kx

b

的图象经过第一、三象限，反比例函数y=—的图象经过第二、四象限.综上所述，符合条件的图象是C选项.

故选C.

考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系

9、C

【解题分析】

试题分析：VPA.PB是。O的切线，.,.OA_LAP,OB_LBP,.,.NOAP=NOBP=90。，又•.,NAOB=2NC=130。，则NP=360。

(90°+90°+130°)=50°.故选C.

考点：切线的性质.

10、C

【解题分析】

易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出NZMC

【题目详解】

VAB=BD,ZB=40°,

.,.ZADB=70°,

VZC=36O,

/.ZDAC=ZADB-ZC=34°.

故选C.

【题目点拨】

本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、107°

【解题分析】

过C作d〃a,得到a〃b〃d,构造内错角，根据两直线平行，内错角相等，及平角的定义，即可得到N1的度数.

【题目详解】

过C作d〃a,二a〃b,；.a〃b〃d,

:四边形ABCD是正方形，AZDCB=90°,VZ2=73°,/.Z6=90°-Z2=17°,

；b〃d,/.Z3=Z6=17°,AZ4=90°-Z3=73°,/.Z5=180°-Z4=107°,

；a〃d,.,-5=107。,故答案为107°.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质以及正方形性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等.解决问题的关键是作辅助

线构造内错角.

2n-l

12、（^17

【解题分析】

2n—1

试题解析：根据题意得，这一组数的第〃个数为：：~~八7・

（72+1）

2n—\

故答案为一（,

（九+1）

点睛：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第九个数即可.

13、（672,2019）

【解题分析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除,

就可以得到棋子的位置.

详解：

解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，

；2018+3=672…2,

二走完第2018步，为第673个循环组的第2步，

所处位置的横坐标为672,

纵坐标为672x3+3=2019,

二棋子所处位置的坐标是（672,2019）.

故答案为:（672,2019）.

点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数（一般是一个很大的数）除以最小正周期，余

数是几，就是第几步，特别余数是1,就是第一步，余数是0,就是最后一步.

18

14、—

5

【解题分析】

分析题意，如图所示，连接BF,由翻折变换可知,BF，AE,BE=EF,由点E是BC的中点可知BE=3,根据勾股定理即可求得

AE；根据三角形的面积公式948><85=94"8//可求得1511,进而可得到BF的长度;结合题意可知FE=BE=EC,进

而可得NBFC=90。,至此，在RtABFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可

【题目详解】

如图，连接BF.

,/△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的,

；.BFJ_AE,BE=EF.

•；BC=6,点E为BC的中点，

.*.BE=EC=EF=3

根据勾股定理有AE2=AB2+BE2

代入数据求得AE=5

根据三角形的面积公式=

22

始12

WBH=y

24

即可得BF=

由FE=BE=EC,

可得/BFC=90°

再由勾股定理有BC2-BF2=CF2

1Q

代入数据求得CF=M

1Q

故答案为晟

【题目点拨】

此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质

15、也或巫

75

【解题分析】

EFA'FA'F1A'G1

由NBA'G=ZA'EF,ZBGA'=ZEFA1，得AE4fF〜AA'BG,所以=——.再以①--=—和②=-两种情

A'GBGA'G3A'F3

况分类讨论即可得出答案.

【题目详解】

因为翻折，所以AB=AB=4,ZBAE=90°,过A'作AF_LAD,交AD于F,交BC于G,根据题意，

BC//AD,:.AF±BC.

若A点在矩形ABCD的内部时，如图

典IGF=AB=4,

由NEA'B=90°可知ZEA'F+/BAG=90°.

又ZEAF+ZAEF=90°.

：.ZBAG=ZAEF.

又/BGA—NEFN.

AE4'/〜AA'BG.

AEA'E〜AA'BG.

.EF_A'F

^G~~BG"

*AN1

若----=-

A'G3

则4G=3,AE=1.

BG=-AG2=A/42-32=A/7•

:.EF=^-

7

AE=AF—EF=BG-EF=&=^~

77

廿AG_1

A,F~3

则AG=LA'F=3.

2

BG=JAE-AG="2—12二岳.

EF3

则T=无.

:.EF=叵

5

AE^AF-EF^BG-EF=715.

55

故答案记或生45.

75

【题目点拨】

本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键

错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于

点A，A，到矩形较长两对边的距离之比为1:3,需要分A，M:A，N=1:3,A，M:A，N=1:3和A，M:A，N=3:1,A，M:A，N=3:1这

两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长.

3A/10

l1bC、-----

5

【解题分析】

解：连接AG,由旋转变换的性质可知，ZABG=ZCBE,BA=BG=5,BC=BE,由勾股定理得，CG川BG?-BC：=%

：.DG=DC-CG=1,贝！|AG=y/Alf+DG2=710，

,BABG

•-----=------，NABG=NCBE,

BCBE

.•.△ABGsACBE,

.CEBC3

"AG"AB"5"

解得，CE=^2,

5

故答案为之叵.

5

【题目点拨】

本题考查的是旋转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关

键.

三、解答题（共8题，共72分）

c2

17、xx=3,X2=—.

【解题分析】

先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.

【题目详解】

2（x-3）=3x（x-3）,

移项得：2（x-3）-3Mx-3）=0,

整理得：（x—3）（2—3x）=0,

%—3=0或2—3x=0,

2

解得：占=3或彳2=§.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.

18^6+—A/3

2

【解题分析】

如下图，过点C作CFLAB于点F,设AB长为x,贝1］易得AF=x-4,在RtAACF中利用Na的正切函数可由AF把

CF表达出来，在RtAABE中，利用/£的正切函数可由AB把BE表达出来，这样结合BD=CF,DE=BD-BE即可

列出关于x的方程，解方程求得x的值即可得到AB的长.

【题目详解】

解：如图，过点C作CFLA5,垂足为F,

设AB=x,则AF=x-4f

AF

•・•在RtAACT中，tan/。

~CF

x-4

：.CF==BD

tan30°

同理，RtAABE^,BE=----------

tan60°

9：BD-BE=DE,

x-4x

：.---------------------=3,

tan30°tan60°

3L

解得x=6+：后.

3r-

答：树高AB为您+^61)米.

【题目点拨】

作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF和BE分别用含X的式子表达出来是解答本题的关键.

19、(1)证明见解析；(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

【解题分析】

试题分析：(1)利用AAS证明△AQB丝Z\DPA,可得AP=BQ；(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等可

写出4对线段.

试题解析：(1)在正方形中ABCD中，AD=BA,ZBAD=90°,/.ZBAQ+ZDAP=90°,VDP1AQ,/.ZADP+ZDAP=90°,

/.ZBAQ=ZADP,；AQ_LBE于点Q,DP_LAQ于点P,/.ZAQB=ZDPA=90°,.,.AAOB^ADPA(AAS),

；.AP=BQ.(2)①AQ-AP=PQ,②AQ-BQ=PQ,③DP-AP=PQ,④DP-BQ=PQ.

考点：(1)正方形；(2)全等三角形的判定与性质.

20、(1)作图见解析；(2)-

2

【解题分析】

(1)根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；

(2)由作法可得DE〃BC,又因为D是AC的中点，可证DE为AABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求

解.

【题目详解】

解：（1）如图，NADE为所作;

（2）VZADE=ZACB,

，DE〃BC,

••,点D是AC的中点，

ADE为4ABC的中位线，

15

,\DE=-BC=-.

22

21、（1）EF是。。的切线，理由详见解析；（1）详见解析；（3）。0的半径的长为1.

【解题分析】

（1）连接OE,根据等腰三角形的性质得到NA=NAEO,NB=NBEF,于是得到/

OEG=90°,即可得到结论；

（1）根据含30。的直角三角形的性质证明即可；

（3）由AD是。O的直径，得到NAED=90。，根据三角形的内角和得到NEOD=60。，求得

ZEGO=30°,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【题目详解】

解：（1）连接OE,

/.ZA=ZAEO,

VBF=EF,

:.ZB=ZBEF,

VZACB=90°,

.•.NA+NB=90°,

AZAEO+ZBEF=90°,

/.ZOEG=90°,

JEF是。O的切线；

(1)VZAED=90°,ZA=30°,

1

AED=-AD,

2

VZA+ZB=90°,

.\ZB=ZBEF=60o,

VZBEF+ZDEG=90°,

AZDEG=30°,

VZADE+ZA=90°,

:.ZADE=60°,

VZADE=ZEGD+ZDEG,

:.ZDGE=30°,

AZDEG=ZDGE,

Z.DG=DE,

1

.\DG=-DA；

2

(3)TAD是。O的直径，

:.ZAED=90°,

VZA=30°,

/.ZEOD=60°,

.\ZEGO=30o,

・・•阴影部分的面积=」x〃x石——四士二24—2兀

23603

解得：r1=4,即r=l,

即。O的半径的长为1.

【题目点拨】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

22、(1)9,9；(2)乙；(3)1680棵；

【解题分析】

(1)根据中位数定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位

置的数就是这组数据的中位数可得答案；(2)根据样本要具有代表性可得乙同学抽取的样本比较有代表性；(3)利用

样本估计总体的方法计算即可.

【题目详解】

(1)表1中30位同学植树情况的中位数是9棵，表2中的众数是9棵；

故答案为：9,9；

(2)乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况；

故答案为：乙；

(3)由题意可得:(3x6+6x7+3x8+12x9+6x10)4-30x200=1680(棵),

答：本次活动200位同学一共植树1680棵.

【题目点拨】

本题考查了抽样调查，以及中位数，解题的关键是掌握中位数定义及抽样调查抽取的样本要具有代表性.

3

23、(1)a=~,b=2；(2)BC=E

【解题分析】

试题分析：(1)首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值，再得出A、D点坐标，进而求出a,b的值；

44

4___2—

(2)设A点的坐标为：(m,—),则C点的坐标为：(m,0),得出tan/ADF=A尸—根，tanZAEC=ACm,

m~DF=~nTEL2

进而求出m的值，即可得出答案.

试题解析：(1)••,点B(2,2)在函数y="(x>0)的图象上，

X

E4

k=4,则丫=一,

x

・・・BD_Ly轴,・・・D点的坐标为：(0,2),OD=2,

3

VAC±xtt，AC=-OD,AAC=3,即A点的纵坐标为：3,

2

44

二,点A在y=—的图象上，，A点的坐标为：(一，3),

X3

•・,一次函数y=ax+b的图象经过点A、D,

47个

—〃+/?=3

工｛3,

b=2

3

解得：tz=—,b=2；

4

4

(2)设A点的坐标为：(m,-),则C点的坐标为：(m,0),

m

VBD/7CE,且BC〃DE,

・•・四边形BCED为平行四边形，

ACE=BD=2,

VBD/7CE,AZADF=ZAEC,

.--2

・

••在RtAAFD中，tanNADF=AF_m,

DFm

£

在RtAACE中，tanZAEC=AC,

EC

.4—2