2024年新高考数学一轮复习-常用逻辑用语

专题02常用逻辑用语

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.

2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.

3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.

【考点预测】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若片q,则。是。的充分条件,。是一的必要条件

。是。的充分不必要条件gq且H0

夕是0的必要不充分条件中q且gp

P是q的充要条件-q

0是g的既不充分也不必要条件中q且呻p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“旦”

表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“m”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对〃中的任意一个X,有夕(X)成立存在〃中的元素X,夕(X)成立

简记YxRM,夕(x)mxGM,p(x)

否定Bx^M,非p{x)非夕(x)

【常用结论】

1.区别/是夕的充分不必要条件(48且理/),后A的充分不必要条件是BgA且An用

两者的不同.

2.充要关系与集合的子集之间的关系，设4={x|p(x)},B={x\q{x)},

(1)若HE,则7;是1的充分条件，。是0的必要条件.

(2)若/是6的真子集，则°是g的充分不必要条件，。是0的必要不充分条件.

⑶若4=8,则。是g的充要条件.

3.0是g的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.

4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.

6.命题。和非。的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真

假.

【方法技巧】

1.充分条件、必要条件的两种判定方法：

(1)定义法：根据kg,Ro进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据0,g对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

⑵要注意区间端点值的检验.

3.量词的否定注意事项

(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

⑵判定全称量词命题“VxGMHx)”是真命题，需要对集合〃中的每一个元素x,证明

p(x)成立；要判定存在量词命题FXGM,p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x,

使0(x)成立即可.

(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二

是利用等价命题，即O与非O的关系，转化成非O的真假求参数的范围.

二、【题型归类】

【题型一】充分、必要条件的判定

【典例1】已知0：q：log2xo,则°是(?的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由弓)<1知x>0,所以。对应的x的范围为(0,+8),

由log2X0知0<Xl>

所以g对应的x的范围为(0,1),

显然(0,1)是(0,+8)的真子集，

所以P是<7的必要不充分条件.故选B.

【典例2】等比数列｛4｝的公比为q,前〃项和为S.设甲：力0,乙：⑹｝是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解析】当囱〈0,q>l时，a产取『'<0,此时数列{S}单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列{£}单调递增时,有£+「S=a〃+产ad>0,若团>0,则“0(〃GN*),即g〉0；若团<0,

则/〈0(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.故选B.

【典例3]在△48C中，"A#+Bd=AC”是“△/8C为直角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】在△/a'中，若/#+/=/△

则/6=90°,

即△/8C为直角三角形，

若为直角三角形，推不出/8=90°,

所以44+初不一定成立，

综上，“A#+BG=AG”是“△♦勿为直角三角形”的充分不必要条件.故选A.

【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围

【典例1]已知集合/={x|V—8x—20W0},非空集合6={x|1—.若xG4是

的必要条件，求勿的取值范围.

【解析】由*-8x—20W0,得一2W启10,

二―2WE0}.

由xG4是xd6的必要条件，知医4

1—rWI+r,

则11一0三一2,...0WrW3.

、1+RW10,

.•.当0W/W3时，xd/是xd6的必要条件，

即所求⑷的取值范围是[0,3].

【典例2】已知0：x2a,q：|x+2a|<3,且0是g的必要不充分条件，则实数a的取值范

围是()

A.(—8,—1]B.(—8,—1)

C.[1,+°°)D.(1,+°°)

【解析】因为g：|x+2a|<3,

所以<7：—2a—3〈水一2a+3,

记A—{x|—2a—3〈水一2a+3},

p：x^a,记为B=｛x\x2a｝.

因为夕是O的必要不充分条件，所以/是8的真子集，

所以dW—2a—3,解得aW—1.

故选A.

【典例3]若不等式（x—a）?。成立的充分不必要条件是1<X2,则实数a的取值范围是

【解析】由（x—乃）2<1得3一

因为l<x<2是不等式（x—a/。成立的充分不必要条件，

[a.—1W1,

所以满足,、且等号不能同时取得，

卜+122

a&2,

即解得

心1,

【题型三】充要条件的探求与证明

【典例1】数列｛4｝的前〃项和2=加+物（/,方是常数）是数列｛品｝是等差数列的什么条件?

【证明】当〃>1时，an=Sn—Sn-i=2An+B-A；

当n=l时，句=S=Z+8,适合an=2An+B-A.

所以显然｛2｝是等差数列，故充分性成立.

反之，若｛2｝是等差数列，则有♦=〃4+"或d为公差）,即2=1+,一力

设Z=*B=aL；,即得S=4/+劭，

因此，必要性成立.

所以S=4/+物（48是常数）是数列｛a｝是等差数列的充要条件.

【典例2】已知勿£Z,关于x的一元二次方程

4x+4勿=0,①

*—4RX+4宫-4刃一5=0,②

求方程①②的根都是整数的充要条件.

【证明】方程①有实数根=4=16—16刃20,即/W1,

5

方程②有实数根0/=16%+2020,即/三一“

・•・方程①②都有实数根Q--^^1.

,:mGZ,m=—1,0,1.

当勿=—1时，方程①可化为*—4x—4=0,无整数解；

当勿=0时，方程②可化为V—5=0,无整数解；

当勿=1时，方程①②都有整数解.

综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是0=1.

【典例3］求方程a*+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.

【证明】（1）当a=0时，方程为一元一次方程，其根为x=一,符合题目要求；

（2）当aWO时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式即4—4a》0,

从而aWL

21

设方程3*+2x+l=0的两实根为Xi,莅，则由韦达定理得荀+氏=—，XiX—~.

a2a

①方程a*+2x+l=0恰有一个负实根的充要条件是得a<0；

-<0,

a

7W1,

2

②方程a*+2x+l=0有两个负实根的充要条件是彳--aV0'得OVaWL

1

->o,

la

综上，方程aV+2x+l=（）至少有一个负实根的充要条件是aWl

【题型四】全称量词与存在量词

【典例11下列四个命题中真命题是（）

A.n^n

B.377^R,m•n=m

C.m/nGR,m<n

D.VT?£R,#<〃

【解析】对于选项A,令A=；，即可验证其不正确；对于选项c,D,可令〃=—1加以验证,

均不正确，故选B.

【典例2］下列命题中的假命题是（）

A.Vx£R,2—〉0B.Vx£N+,（x—1了>0

C.lgx<lD.tanx=2

【解析】当入讣+时，x—1eN,可得（x—I）?》。，当且仅当x=l时取等号，故B不正确；

易知A,C,D正确，故选B.

【典例3】已知命题夕：Vxi,莅£&"（莅）一/1（小）］（莅一荀）20,则「夕是（）

A.3^ri,为£R,"（质）一广（乂）］（王一天）W0

B.Vx”也£七"（莅）一F（xi）］（七一小）W0

C.3^i,莅£匕［/1（毛）一广（荀）］（质一石）〈0

D.YX\,为£R,"OS—Ax）]（也一为）<0

【解析】已知全称命题,：VAi,吊环，"（㈤一人/）]•（彭一为）20,则「夕：3^ri,国£R,

"（X2）—f（xj]（否一为）<0,故选C.

【题型五】命题中参数的取值范围

【典例1】已知f（x）=ln（V+l）,g（x）=1）一%，若对VX1G[O,3],[1,2],使得

F（荀）2久至），则实数力的取值范围是.

【解析】当[0,3]时，f（^）min=/（0）=0,当x£[l,2]时，

g(x)min=g(2)=彳一勿，由FC^min2g(X)

得02；一口，所以勿

15

【典例2]已知命题“Vx£R,*―5入+万分o”的否定为假命题，则实数a的取值范围是

【解析】由"Vx£R,V—5x+5於0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式

15

x~5x+—a>0对任意实数x恒成立.

15

设F（x）=*—5x+万a,则其图象恒在x轴的上方.

155

故A=25~4X—a<0f解得眇不

即实数a的取值范围为（，，+8）

【典例3]若命题"VxG[l,4],V—4x—〃W0”是假命题，则勿的取值范围是（）

A.-4W辰一3B.欣一4

C."2—4D.—4WmW0

【解析】若命题"Vx£[l,4],*一或一％W0”是假命题，

则命题0—f_4x—力=0”是真命题，

贝！Jm=x—4x,

设y=x—4x=（^―2）2—4,

因为函数y=/—4x在（1,2）上单调递减，在⑵4）上单调递增，

所以当x=2时，/in=-4；

当X=4时，入ax=O，

故当时，一4Wj<0，则一4W0.故选D.

三、【培优训练】

【训练一】已知函数广(x)=--------(x22),g(x)=d(a>l).

x—1

(1)若mx£[2,+8),使广(才)="成立，则实数力的取值范围为；

(2)若Vxi£[2,+°°),[2,+8),使得人荀)=g5),则实数a的取值范围为.

V-Y~\~111

【解析】一—一=x+--=^-1+^-+1^2+1=3,当且仅当x=2时等号

X一1X一1X-1

成立.

若mxG[2,+8),使/'(工)=0成立，则实数勿的取值范围为[3,+°°).

(2)当x22时,f(x)23,g(x)>a2,

若Vxid[2,+8),[2,+8),

72V3

使得f(xj=g(及)，则，、'

a>l,

解得

【训练二】(多选)下列说法正确的是()

A."ac=bc”是“a=6”的充分不必要条件

B.是"a<b”的既不充分也不必要条件

ab

C.若“xe/”是“xGB”的充分条件，则AQB

D.“a>6>0”是"a">8"(〃>N,〃22)”的充要条件

【解析】A项，ac=6c不能推出a=6,比如a=l,6=2,c=0.而a=6可以推出ac=6c,

所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件，故错误；

B项，不能推出a<6,比如:>一，但是2>—3；a<6不能推出!>]比如一2<3,

ab23ab

一1<4,所以是“a〈b”的既不充分也不必要条件，故正确；

23ab

C项，因为是的充分条件，所以可以推出即ZG氏故正确；

D项，〃22)不能推出己>6>0,比如己=1,6=0,1">0"(刀£N,〃22)满足，

但是否>6>0不满足，所以必要性不满足，故错误.

【训练三】F(x)=—/—6x—3,记max{a，q}表示,，°二者中较大的一个，函数g(x)=

,log2x+3〔，若成一2,且VxP[勿，-2],[0,+°°),使人为)=g(*2)成

立，则〃的最小值为.

【解析】y=[)T为减函数，y=log,(x+3)为增函数，

观察尝试可知当且仅当X=1时，Q)r=log2(x+3).

由题意得，,3」位T

0W/1,

」og2x+3,

，在［0,+8)上，g(x)min=g(l)=2,g(x)的值域为［2,+°°),F(x)=—(x+3)?+6W6.

“Yx£\jn,-2],[0,+°°),使/l(荀)=gG)成立”等价于F(x)在[如-2]上的函

数值域是g(x)在[0,+8)上的值域的子集，作函数y=f(x),y=g(x)的图象，如图所示,

令f{x)=—/—6x—3=2,解得x=~5或x=—1,

则m的最小值为-5.

XV一

【训练四】已知,：实数历满足3水水4a(a>0),q：方程----+----=1表示焦点在y轴上

m—1Z-m

的椭圆，若夕是,的充分条件，则a的取值范围是.

33

【解析】由2—勿>/一i>o,解得1〈水]，即0：1〈冰].因为夕是。的充分条件，

(3心1,

1Q13

所以4解得所以实数a的取值范围是.

38L38J

【训练五】设函数f(x)=lg(V—X—2)的定义域为集合4函数g(x)=\J|=的定义域为

集合6.已知a：x^AQB,£：x满足2x+0W0.且a是£的充分条件，求实数°的取值

范围.

【解析】依题意，得/={x|V—x—2>0}=(-8,-1)u(2,+8),

3

B=\x一一120=(0,3],・・・ZG8=(2,3].

x

设集合C={x|2x+pW0},则xe1—8,

,:a是S的充分条件，；.(/C®UC则需满足3W—，庐一6.

实数。的取值范围是(一8,-6].

【训练六】(多选)已知aGR,则使命题“VxG停，f―sinx—aNO”为真命题的一

个充分不必要条件是（）

A.水1B.*2

JI2—4JI2—4

C.a〈一D.aW—■—

4

【解析】兀）令/'（x）=x2—sinx,

则f'（x）=2x—cosx>0,

则函数f（x）=x—sinx在（亍，兀）上单调递增,

4

所以原命题为真命题的充要条件为aW

JI——4JI—4JI—4Ji—4

而1<^—<2,则满足A选项、C选项的a均有aWf一,aW一1一时a<l和a<f—都

不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A,C.

四、【强化测试】

【单选题】

1.设〃为全集，A,8是集合，则“存在集合C使得/UG医是“406=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由犯G医［Q,易知406=0,但力06=0时未必有医如图所示，

所以“存在集合C使得傕G医（6是的充分不必要条件.

2.命题0：存在常数列不是等比数列，则命题「。为（）

A.任意常数列不是等比数列

B.存在常数列是等比数列

C.任意常数列都是等比数列

D.不存在常数列是等比数列

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，命题0：存在常数列不是等比数列的否定命题］

P：任意常数列都是等比数列，故选C.

3.设平面向量a,b,c均为非零向量，则“a・（6—c）=0”是“b=c”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由6=c,得6—。=0,得a・(6—。)=0；反之不成立.故ua•(A—。)=0”是“b

=c”的必要不充分条件.故选B.

4.已知广(x)=sinx—x,命题,：mx£(O,5)，f^x)<0,则()

A.A是假命题，一>夕：Wx日f(x)20

B.夕是假命题，一>夕：三万£(aA，f(x)20

C.0是真命题，一7?：1。/|,f(x)>0

D.0是真命题，一>,：三太日，f{x)20

【解析】易知/(x)=cosx—1<0,所以Hx)在［。，最上是减函数，因为/'(0)=0,所以

/(^)<0,所以命题夕：三万£(0,宁)，f(x)〈O是真命题，一•〃：Vx£(O,―1,F(x)20,故选

C.

5.已知命题“电引，使2#+(a—Dxo+^WO”是假命题，则实数a的取值范围是()

A.(-8,-1)B.(-1,3)

C.(—3,+°°)D.(—3,1)

【解析】原命题的否定为VxCR,2，+(a-l)x+g〉O,由题意知，其为真命题，则/=(a

-l)2-4X2xj<0,则一2<a—1<2,则一l〈a<3.故选B.

6.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中

“攻破楼兰”是“返回家乡”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻

破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件.故选B.

7.“ln(x+l)〈0”是“*+2x〈0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由ln(x+l)<0得0<x+l<l,—l〈x<0,由/+2x〈0得一2〈水0,所以“ln(x+l)<0"

是“，+2*〈0”的充分不必要条件，故选A.

8.“a〈l”是“Vx>0,——Na”的（）

x

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】当x>0时，工里=£+±由均值不等式可得x+122、/xX】=2,当且仅当x=L

XXXNXX

即x=1时等号成立.

所以的充要条件为aW2.（实质就是条件的等价转化）

X

显然“a<l”是“aW2”的充分不必要条件，

所以“a〈l”是“Vx〉O,——》a”的充分不必要条件.故选A.

X

【多选题】

9.已知a,b,c是实数，则下列结论中正确的是（）

A.“4>产是“a>6”的充分条件

B."W是“a>6”的必要条件

C."ac?〉6c2"是"a>6"的充分条件

D.a|〉|b\n是“a>6”的既不充分也不必要条件

【解析】对于A,当a=-5,6=1时，满足a?〉氏但是a〈6,所以充分性不成立；对于B,

当a=l,6=—2时，满足a〉6,但是我氏所以必要性不成立；对于C,由a/〉/;/得

则有a>6成立，即充分性成立，故正确；对于D,当a=-5,6=1时，|a|〉|引成立，但是

a<b,所以充分性不成立，当a=l,b=-2时，满足a〉6,但是所以必要性也不

成立，故引”是“a〉6”的既不充分也不必要条件.故选CD.

10.下列说法正确的是（）

JI

A.“王=丁”是“tanx=l”的充分不必要条件

B.定义在［劣6］上的偶函数=f+（a+5）x+6的最大值为30

C.命题'勺为仁!?，照H—22”的否定是"Vx£R,x-\"一>2"

X）X

D.函数夕=$1_11x+cos£一/无零点

JIJIJI

【解析】由x=1,得tanx=l,但有tanx=l推不出入=丁，所以“彳=了”是“tanx

1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在［46］上的函数”入）=f+生+5）丫

[<3+5=0,年=—5,9

+6是偶函数，贝U-得，则〃x)=/+5,在[—5,5]上的最大值为30,所

[a+b=0,[b=5,

以B是正确的；命题“mx°GR,为+二22”的否定是“VxGR,X+42"，所以C是错误的；

XQX

当工=了时，尸sinx+cosx—y[2=0f故D是错误的.故选AB.

11.下列命题的否定是全称命题且为真命题的有()

A.—^+~<0

B.所有的正方形都是矩形

C.f+2x+2=0

D.至少有一个实数x,使f+l=0

【解析】由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x+；=

(x—；)2对，/+2X+2=(X+1)2+1>0,所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.

12.已知两条直线/,而及三个平面a,£,Y，则的充分条件是()

A./uQ,/_L£B./_L。，ml8,ILm

C.q_Ly,BIIYD.lua,忙£,l_\_m

【解析】由面面垂直的判定定理可以判断A,B,C项均符合题意；对于D项，由/ua,we/,

AL必也可以得到。〃£,所以D项不符合题意.故选ABC.

【填空题】

13.若命题。的否定是“Vxe(o,+8),，则命题0可写为.

【解析】因为。是「。的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案：(0,+°°),q^w为i+i

14.在△48c中，“A=B”是“tan/=tanB”的条件.

【解析】由A=B,得tanA=tanB,反之，若tanJ=tanB,则A—B+k^,AeZ.因为

0<A<JI,0<B<it,所以A=B,故“A=B”是“tanA=tanB”的充要条件.

答案：充要

15.条件p-.x>a,条件q：x22.

(1)若O是。的充分不必要条件，则a的取值范围是；

(2)若p是°的必要不充分条件，则a的取值范围是.

【解析】设/={x|x>a},6={x|x>2},

(1)因为。是°的充分不必要条件，

所以/是6的真子集，所以aN2；

(2)因为"是g的必要不充分条件,

所以6是4的真子集，所以a<2.

答案：(1)[2,+8)(2)(—8,2)

1

16.若三两£5'2，使得2舅一/荀+1<0成立是假命题，则实数A的取值范围是

-1

2

【解析】因为三龙£,使得2x—AAo+1<0成立是假命题，所以，使得2/

P20-

1

—4x+120恒成立是真命题，即2,使得几W2x十二恒成立是真命题，令F(x)

x

1

2x~\■一，则f'(x)=2----2>当，f'(x)<0,当，时，f'(x)>0,

XX2

所以F(x)22s,贝!|AW2s.

答案：(一8,

【解答题】

17.已知尸={x|8x—20W0},S={x|1—就.

⑴是否存在实数处使尸是x£S的充要条件，若存在，求出力的取值范围;

(2)是否存在实数处使入£尸是x£S的必要条件，若存在，求出力的取值范围.

【解析】由*—8x—20W0,得一2WxW10,

：.P={x\—2WxW10}.

(l)・・・x£〃是x£S的充要条件，・・・—S

\—m=-2,m=3,

有得这样的力不存在.

1+R=10,jn=9,

(2)；x£〃是x£S的