云南省开远市某中学校2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试题

云南省开远市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合八N"2xW3},N=W=21,贝严cN=（）

A.（川）B-（0,+8）C[o,3]D-（0,3]

2.已知复数z满足^^=[2。23（i为虚数单位），则（）

1+2i

A.3B.由C.5D-也

3.设ct,尸是两个不同的平面是两条直线,且7〃ua,/_La.则"/_L尸"是"加//万"

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量/==（2,3”则B在万上的投影向量的坐标为（）

Ad

-（14}B.。,一切。色,一；[-

5.安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校,

每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（）

A.36种B.30种C.24种D.12种

'FLa=2°）1，兀c=ln2吊”,\

o.攻，b=sm—，，则（）

12

「

A•c<b<aR*b<c<a'a<b<c*b<a<c

试卷第11页，共33页

7.已知cos-sina=《,则"&-焉的值是()

AV3B.-1C.1D.也

・F444

8.过圆c：(x+l)2+/=i上的48两点分别作圆C的切线，若两切线的交点“恰好在直

线/:x+y-2=0上，则阿Cl明的最小值为()

叵

A.B,3c372D.

2,

二、多选题

9.下列命题中，真命题有()

A.若随机变量X〜则。(X)=g

B,数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的70%分位数是&5

C.若随机变量x〜NR,。?),尸(X>l)=0.68,则尸(2Wx<3)=0.28

D.若事件A,8满足0<P(4),P(8)<l且尸(4)=p⑷.[l_p(8)1则A与B独立

10.已知抛物线/=2px(p>0)经过点/(1,2)，其焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线交

于点4(%,%)，5(%,%)，设直线。8的斜率分别为今公，则()

A.p=2

C.OAOB=-^D.3=-4

11.已知函数/㈤和g(x)是定义域为R的函数•若f(x-2)=f(r)J(x)+g(x+3)=3,

试卷第21页，共33页

/(-x-2)-g(x+l)=-l>且/(-1)=2，则下列结论正确的是()

A.函数y=g(x)的图象关于直线x=l对称

B.g(l)=2

C.函数y=/(x)的图像关于直线尤=T对称

2023

D.，g(⑼=4046

m=0

三、填空题

12.在［的展开式中，常数项为—.(用数字作答)

S"{""}n［177为奇数"=

13.记为数列的前项和，已知%=•(〃+2)'刀句数'则—

a・i，〃为偶数,

14.已知双曲线,：］一(=1(°>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，外，尸是。右支上一

点，线段尸片与C的左支交于点若WA里为正三角形，则C的离心率为一.

四、解答题

15.已知“Be的内角A，8，C的对边分别为°,b'C'且2acosC_ccos8=6cosC.

⑴求角C；

(2)若CD是//C8的角平分线，CD=4也，418c的面积为18』，求。的值.

16.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸

大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其

试卷第31页，共33页

次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩

力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查

男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表:

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

(1)试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方

法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人

中女生的人数，求X的分布列；

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长

跑的人数为匕求y的数学期望.

附.2n(ad-bcy其中"=a+b+c+d

*(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.1000.0500.0250.0100.001

X2.7063.8415.0246.63510.828

17.如图，在四棱台/BCQ-43cA中，底而NBCD为平行四边形，侧棱平面

ABCD，。/=44=4，AB=8,ZADC=120°-

(1)证明：BD±AXA；

试卷第41页，共33页

(2)若四棱台"88-44GA的体积为生也,求平面""'4与平面所成的锐二面

3

角的余弦值.

18.已知椭圆0：1+r=1,>6>0)的短轴长等于2指，离心率e=g.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过右焦点尸的直线/与椭圆c交于A、3两点，线段的垂直平分线交x轴于点尸，证

明：(4为定值.

19.已知曲线c：〃x)=e*-xe*在点/(1J⑴)处的切线为人

(1)求直线/的方程；

(2)证明：除点A外，曲线c在直线/的下方；

(3)设/a)=〃Z)=G产乙，求证：再

e

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集合M,N，即可求得结果.

【详解】解不等式/一工分可得屈=3-叱尤"}，

由指数函数y=2T的值域可得N={"A0}，

所以McN={x[0<xV3}，即为加|"|"=(0,3}

故选：D

2.D

【分析】应用复数乘法化简复数，应用公式求复数的模.

【详解】复数z=i27i+2i)=_i(l+2i)=-i-2i?=2-i，故忖=5

故选：D.

3.A

【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.

【详解】I1/3,且/_Lct，所以ct//Q,又mua,所以机〃夕，充分性满足,

如图：满足“//万，7〃ua,/_La,但/_LQ不成立，故必要性不满足，

所以是“〃〃£”的充分而不必要条件.

故选：A.

4.D

【分析】利用B在d上的投影向量的定义求解•

答案第11页，共22页

【详解】因为,4=(_1,1).(2,3)=-2+3=1,|歼=2，

所以不在。上的投影向量的坐标为鲁.刍

同同2I22)

故选：D.

5.B

【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能情况.

【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有

C；A；=36种，

若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有A：=6种，

所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有36—6=30种.

故选：B.

6.B

【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助1，；进行比较判

断选项.

「二王冷刀』a=20,3>2°=11.兀兀1.

【详角牛】，b=sm——<sin—,

1262

而血<2<e,则L<ln2<l,即Lc<l,所以

22

故选:B

7.B

【分析】先根据差角公式和辅助角公式将题中所给的条件化简，求得sin[c+^]=；，再利

用诱导公式得到结果.

【详解】因为

答案第21页，共22页

cosL_^+sin«j£cosa+.si3a+sina3K3sina+£cosa=^sinr+j=/

I6J2222(4

可得sin]a+EJ=a，

故选：B.

8.D

【分析】求出圆心坐标与半径，根据平面几何的知识可知48YMC，贝!1|此卜|/同=2|加4，

又幽=从而只需求|MCLn,利用点到直线的距离公式求出IMCL),即可得

解.

【详解】因为圆C的方程为(x+l)2+/=i，所以圆心c(_l,O)，半径r=L

因为是圆C的两条切线，所以M4_LNC,〃5J-BC，

由圆的知识可知4M,8,C四点共圆，且_LMC,

所以|MC|-以同=4s.M4c=4X|X|M4|X|^C|=2|M4|,

又“一所以当照最小，即时，匹卜|/

1,"C,"8取得最小值,

此时MG1一1+：一2|=逑,

yJ22

所以(即口/喉，=23L=213f-1=^4.

答案第31页，共22页

故选：D.

【分析】对于A：利用方差公式求解；对于B：通过百分位数的概念计算；对于C：利用

正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断.

24

【详解】对于A：根据二项分布的方差公式可得。（X）=6x；x=A正确;

3-3

对于B：数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,1。的70%分位数，j=10X70%=7，则

­=7.5,B错误；

2

对于C：随机变量*〜尸（X>l）=0.68，贝。（2Vx<3）=0.68-0.5=0.18，。错

误；

对于D：因为尸（―卜尸⑷「一尸⑻卜尸⑷"⑷尸（8）=尸（土）+尸（疝）一尸⑷尸⑻,

所以尸（48）=尸（/）尸（8），故A与3独立，D正确.

故选：AD

10.ABD

【分析】由加点坐标代入求出P,即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线/:x=my+l,

联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B,根据数量积的坐

标表示判断C,根据斜率公式判断D.

【详解】因为抛物线/=20尤（°>0）经过点”（1,2），所以2'2p，解得p=2,故A正确;

答案第41页，共22页

所以抛物线方程为丁=4尤，则焦点/0,0)，

设直线/"=冲+'则卜0x,消去x整理得丁-4叼-4=0,

[x=my+l

贝l」A=16加2+16>0，所以必+%=4加，乂%=-4，

2

则xx+x2=加(必+%)+2=4m+2，

再々二(叩1+1)(即2+1)=加2Vly2+加(%+)+1=1*

所以14sl=3+9+2=4加2+4之4，故B正确；

所以刀目督,必必砺口隹,”。，所以德商=无述2+必必=3故C错误；

上向=&-匹=一4,故D正确；

再

故选：ABD

11.BC

【分析】先由/(x=2)=/(f)判断选项,；得出/(-x_2)=/(x)，再令x为-x-2结合已

知可判断B选项；由BC的计算可判断A选项；最后得出4是g(x)的周期，并计算出

g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=8，最终判断D选项即可.

【详解】由〃x_2)=〃-x)可知"X)的图象关于直线--1对称，C正确；

所以f(-x-2)=f(x),则g(x+3)+g(x+l)=4①，

令x为-x-2,/(-x-2)+g(-x+l)=3，则g(-x+l)+g(x+l)=4②.

g(x)的图象关于点(1,2)对称，g(1)=2,令x=0,g(3)=g(l)=2，故B正确；

答案第51页，共22页

由①②可知g(x+3)=g(-x+l)，所以g(x)的图象关于直线x=2对称.故A错误;

所以4是8⑴的周期，由=+g⑵=3,得g⑵=1，令x=-l，由①得

g(0)=3,4是g(x)的周期-g(O)+g⑴+g⑵+g(3)=8,g(2023)有2。24项,故

2023

Zg("2)=4048，故D错误•

m=Q

故选：BC.

12.448

【分析】由题可得展开式通项，令x的指数为°，可得常数项为第几项，即可得答案•

【详解】(丁_2[展开式的通项为

_(,,7

3-r

7；+1=C；(x)"(-2y=C；(-2/x(r=0,l,--,7),

I7

421--r=0,解得'=6,故常数项为4(-2)6=448.

2

故答案为：448.

13.12

11

【分析】注意到°=a后eN*，进一步由裂项相消法即可求解.

【详解】由题意出〃=/5攵CN*，

所以Eo=2(%+。3+。5+%+4)=2]++++I

<1x33x55x77x99xllJ

答案第61页，共22页

故答案为：

11

14.5

【分析】根据题意和双曲线定义求得=|/与卜阿闾=4。且户么|=6a,在△耳/"中，

利用余弦定理列出方程，化简得到。2=7/，即可求得双曲线的离心率•

【详解】因为点P是C右支上一点，线段尸片与C的左支交于点M，且|PM|=|P6|，

因为例明为等边三角形，所以「叫=|叫=|叫，"尸尸2=三，

由双曲线定义得,〔尸耳卜户用=归闾+惘周一户闾=|血库|=2a，

又叫八隼|-|町|=四图-2a=2a，解得|九照=4°，

^i\PM\=\PF2\^\MF2\=4a，且附|=|尸闾+网=4a+2a=6a>

在丛IP%中，由余弦定理得©os巴1=（时+伍小⑷=

32X4QX6Q2

化简整理得c?=7/,所以双曲线的离心率为0=£=4.

a

故答案为：

答案第71页，共22页

【点睛】方法点睛：求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭

圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：

①直接求出°、C，可计算出离心率；

②构造0、c的齐次方程，求出离心率；

③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解.

15.(1)C=-

3

(2)c=6^3

【分析】(1)利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.

(2)利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.

【详解】⑴由2accosC-ccosB=6cosC及正弦定理得'

2sinAcosC-sinCcosB=sinBcosC,

所以2sin/cosC=sinBcosC+sinCcos8=sin(B+C)=sin/，因为sinZwO，

所以cosC=L又Ce(Om),所以cJ

23

(2)由SA/8C=184="6sin—=正，得岫=72,

234ab

答案第81页，共22页

又S,ABC=S.ACD+SABC。=荔丹sin2+丁CDsin—，

2b62a6

=(*4百*(0+6)*(=6(°+6),所以"+"I8,

由余弦定理得c1=d$-2abcos弓=(a+6)2-3必=18?-3x72=108,

所以c=6后

16.(1)可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据2'2列联表中的数据，求得/=竺2,结合附表，即可求解;

（2）求得男生的人数为4人，女生的人数为5人，根据题意，得到X的可能取值为0,1,2,3,

求得相应的概率，列出分布列；

11Y

（2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为？=巳，结合服从二项分布，即可求解.

【详解】（1）解：零假设4：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联,

根据题意，由2x2列联表中的数据，

2_400x(120x100-80x100)2

——«4.040>3.841,

付*——200x200x220x18099

所以在a=0.050的独立性检验中，可以推断“。不成立,

即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.

答案第91页，共22页

（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人,

其中男生的人数为9x^=4人，女生的人数为人,

从9人中随机抽取3人，所以随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

「31s

可得p(x=o)=W=J-,p(x=o)=^^=2

C；21C；14

3

尸(X=2)=:C卓Y=—10,P(X=3)=CW=5—

C；21C42

则随机变量丫的分布列为:

10123

15105

21142142

（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为p=，，

所以随机变量Y服从二项分布，即"8（12苜11，所以E（Y）=12x益11=芋33

17.（1）证明见解析

⑵巫

13

【分析】（1）利用余弦定理求出。5=46，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；

（2）利用台体体积公式求出。〃=1，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求

出面面角余弦值即可.

【详解】（1）底面48co为平行四边形，

答案第101页，共22页

ZADC=120°>NDAB=60°.

■：DA=4,AB=8,

由余弦定理可得：DB2=AB2+AD2-2ABxADcos60°=48'DB=4y/3'

则DA2+DB2=AB2'DAA.DB'

侧棱_L平面/BCD，08u平面/BCD，:.DDJDB，

又••・o/u平面ORU平面且

DB1平面ADD,A,，

又44]u平面ADR4，DBLAAX-

（2）四棱台中“Be。-4耳G°的体积为竺叵

3

-U=!(Ss+S

%坊S^BCD■$4与朋

3\AD\-'UJGA+

^^=--DD,-(AD-DB+A.D.-D,B.+

[AD.DB.AR.DB)，

33iiii

竺是，3*28拒，解得：DR=1

331

如图，以点。为原点，DA,DB,"）1所在直线为X轴，y轴，z轴,

建立如图的空间直角坐标系,

答案第111页，共22页

则4(4,0,0),8(0,4石,0),C(-4,473,0),与(0,2后1),

.­.SC=(-4,0,0)；丽'=((),-2®1),

设平面2CC4的法向量为为=(x,y,z)，

n-BC=-4x=0力=(0,1,2班)

则有‘心西=一2岛+z=0'所以

平面ADDlAi的法向量为m=(0,1,0)­

设平面4DZ)14与平面2CC[8]所成锐二面角为0，

则cos0=\cosm,n\==—L==-

11\了m\；\i，i\V1313

22

18.⑴上+2=1

43

(2)证明过程见解析

【分析】(1)根据题意，列出凡6,c的方程组，求得a,6的值，即可求得椭圆的方程；

(2)设直线/的方程为了=及5-1),联立方程组得到+*L,xx,="W，进而

12*44k2+312死+3

答案第121页，共22页

4k2-3k)加二31+1）,再由弦长公式求得

求得0,得出中垂线的方程，求得

4左2+3'4左2+3,।4左2+3

12俨+1）,即可求解.

M吐4r+3

椭圆。：X2,22月,离心率eJ可得,

【详解】（1）方=1（。>6>0）的短轴长等于

/+

a=2,b=V3,c=122

2b=273工+匕=1

43

a=2c解得,所以椭圆的方程为

b2=a

(2)

由椭圆的方程片+工=1，可得右焦点尸（L°）,

43

当直线斜率不存在时被x轴垂直平分，不符合题意;

OF

当直线斜率为0时，—1

AB2a4

直线斜率存在且不为。时，设直线/的方程为y=MxT），/（』,％）,3（与力），23中点为

Q(xs,ye),

答案第131页，共22页

-x2y2_（4?l2+3）x2-8A:2x+4^2-12=0

联立方程组了十5=1,整理得

y=k（x-1）

4--12

可得A64左斗犬左99（方2）144例+）缶西+干奴"X]X=——-------

1242左2+3

^o{—--—则中垂线的方程为y_f=」（尤__E

^[4k2+3,4k2+3Jy4k2+3左14k2+3

y=0_k23仔+1）

令，可得、=而百所以户司=x7H4机+3一1

4后2+3

又由=A/1+k2X—4=Jl+4,J（再+%2）2—4再工2

31+1）

所以竺=疾+3」（定值）；

AB12（^2+1）4

4-2+3

综上所述，匀为定值

AB\4

19.（l）y=_ex+e；

⑵证明见解析；

（3）证明见解析.

答案第141页，共22页

【分析】(1)求导，得至==一e，利用导数的几何意义写出切线方程；

(2)令g(x)=_ex+e_e'+xe、，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所

以g(x)Wg(l)=O，当且仅当x=l等号成立，得到证明；

(3)求导得到〃%)的单调性，结合函数图象得到不妨令再<0,0<X2<l，结合

曲线。在(L°)点的切线方程为夕(力=一助+e,得到%<%=-2+1,转化为证