高等数学(上册) 第四章教案

第四章：微分方程教学目标：理解并掌握微分方程的定义，掌握可分离变量微分方程的解法——分离变量法。教学重点：可分离变量微分方程的解法——分离变量法。教学难点：可分离变量微分方程的解法——分离变量法。所需学时：8学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：微分方程的概念1、微分方程的引例引例某曲线过点(1,4)，且在曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为2x，试建立满足上述条件的函数关系式。解：设曲线方程为，由导数的几何意义知满足又由题意知，当时即，则有称为一阶常微分方程。2、微分方程的基本概念微分方程——含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程。微分方程的阶——微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。常微分方程——未知函数为一元函数的微分方程。常微分方程的一般形式为：，其中为自变量，是未知函数，上式中必须出现，其余变量可以不出现。例如阶微分方程。例1判断下列微分方程的阶数。（1）（2）（3）解：（1）三阶，（2）一阶，（3）一阶微分方程的解——使得微分方程等式成立的函数。通解——方程的解中所含任意常数的个数与方程的阶数相同的解。特解——不含任意常数的方程的解。初始条件——用来确定方程通解的任意常数的附加条件。如：前例中带有初始条件的微分方程为微分方程的初值问题。微分方程的解的图形是一条曲线或一族曲线，称为微分方程的积分曲线。例2验证函数（为任意常数）是方程的通解，并求满足初始条件的特解。解：对求导，得将和代入方程的左端。得是题设方程的通解，将初始条件代入中得，即方程的特解为：课后作业及小结：1、学习了微分方程的基本概念2、掌握计算微分方程特解的方法。第二节：一阶微分方程1、可分离变量的微分方程设一阶微分方程为，若称其为可分离变量的微分方程，方程可写为（或）等式两边积分，得（或）例1求微分方程的通解。解：方程分离变量为：两边积分解得即记，则题设方程的通解为：例2求微分方程的通解。解：合并含和的各项，得设，，分离变量得两边积分得则有记，则得题设方程的通解为注：微分方程的通解可以是隐函数的形式。例3求微分方程，的特解。解：方程分离变量为两边积分解得将代入上式得，所以题设方程的特解为例4求解下列微分方程（学生先做）（1）（2）解：（1）方程变为两边积分解得（2）方程变为两边积分解得即记，则有2、齐次方程形如的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程。令，其中是新的未知函数，则有代入得，分离变量得，两边积分求出积分后，再将回代，便得原方程的解。例5解方程解：方程变为，令，则有由积分得将代入上式，并化简得例6求方程满足初始条件的特解。解：原方程变为，令，有由积分，得即，将代入上式得再将初始条件代入上式得，原方程特解为例7求下列齐次方程的通解。（学生先做）（1）；（2）解：（1）令，则有，由，积分解得，将代入上式得取对数得即（2）方程变为，令，则有由积分得将代入上式得则，即3、一阶线性微分方程形如称为一阶线性微分方程（和均为一次），若，则方程称为一阶齐次线性方程，相应地①称为一阶非齐次线性方程。方程②是可分离变量的方程，分离变量得两边积分得，解得变形为两边积分得（为的函数），若记，则。即现求出，因为是方程①的解，则有将上两式代入方程，得即，即两边积分得代入得非齐次线性方程的通解上式可写为上式右端第一项是对应的齐次线性方程②的通解，第二项是非齐次线性方程①的一个特解（⑤式取即可），因此，一阶非齐次线性方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其本身的一个特解之和。例8求方程的通解。解：方程变为是一阶非齐次线性方程，例9求满足初始条件的特解。解：将代入上式，得，所求方程特解为例10求的通解。解：若将看作是的函数，则方程变为方程不是一阶线性微分方程，其解不易求。若将看成的函数，则方程变为即则课后作业及小结：1、掌握一阶微分方程的求解方法2、灵活运用可分离变量法。作业：P239.3（偶数）,4第三节：二阶微分方程1、可降阶的二阶微分方程（1）y’’=f(x)型形如的微分方程，是最简单的二阶微分方程．这种方程通解的求法，可将方程通过两次积分求得．例1求微分方程的通解．解对所给方程两边连续积分两次,得,这就是所给方程的通解．（2）y’’=f(x,y’)型形如这类微分方程的特点是右端不显含未知函数，解这类微分方程的方法是通过变量代换降阶。设，则，于是原方程化为，即原方程降为以p为未知函数，x为自变量的一阶微分方程，按一阶微分方程的解法如果可求得，而，再两边积分即可得到原方程的通解为．例2求微分方程的通解.解则代入原方程,这是关于一阶线性非齐次方程，则由一阶线性微分方程的通解公式可解得,即,再两边积分得.（3）y’’=f(y,y’)型形如这类微分方程的特点是右端函数不含自变量，是与的函数，故可以认为也是的函数，于是设，则，代入方程得，这是以p为未知函数，y为自变量的一阶微分方程，于是可求得,把代回又是一个一阶微分方程，分离变量可求得.例3求方程的通解.解设代入原方程得因为原方程通解为例4解一认定为：型,代入原方程