河南省南阳市2023-2024学年高三年级下册模拟预测数学试题（含答案解析）

河南省南阳市2023-2024学年高三下学期模拟预测

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知由小到大排列的5个样本数据13,19,21,22,x的极差是11,则x的值为()

A.23B.24C.25D.26

2.若圆C:(x-“y+(y-4a)2=4被直线/：3尤-y+2=0平分，则。=()

13

A.-B.1C.-D.2

22

3.如图，己知/C,2。为圆锥SO底面圆的两条互相垂直的直径，若50=百，四棱锥S-ABCD

的体积为壁，则圆锥S。的轴截面面积为()

3

A.73B.76C.2A/3D.276

(、2Q°+Q]41

4.记等差数列｛4｝的前"项和为S,,已知-2"=5,则凡=()

A.33B.44C.55D.66

OfTTJT

5.已知1+3，=兀，设夕：3tan—・tan，=l,q:a=—,，=—,则P是9的()

326

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

JT

6.已知过抛物线C:j/=2px(p>0)的焦点尸且倾斜角为彳的直线交C于48两点，M是

的中点，点尸是C上一点，若点M的纵坐标为1,直线/：3x+2y+3=0,则尸到C的准

线的距离与尸至的距离之和的最小值为()

试卷第1页，共4页

.3V13D5V13„3A/1369而

26261326

7.若函数〃x)=cos(ox+Mo>0,昨的图象关于点go1中心对称，且x=J是

的极值点，“X)在区间［。，芥］内有唯一的极大值点，则。的最大值为()

25

A.8B.7C.—D.

4T

8.设In'=0.2]=0.96,e7=5,贝！J()

4

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

二、多选题

9.已知复数z="i(aeR),且电的虚部为3,则()

Z

A.a=1

B.日=20

C.(z+2>(l-3i)为纯虚数

D.1三在复平面内对应的点在第二象限

z+2

10.已知椭圆少:^+/=1，点片，耳分别为少的左、右焦点，点C，。分别为用的左、右顶

点，过原点且斜率不为0的直线/与少交于45两点，直线/月与少交于另一点贝I")

A.平的离心率为也

2

B.|/周的最小值为2-百

27r

C.印上存在一点P,使/。尸。=7

D.A/BW面积的最大值为2

11.已知函数/(x)=_r2-2aliw-l,贝！］()

A.若曲线y=f(x)在(1,/。))处的切线方程为>=2》-2,则0=2

B.若”=1,则函数“X)的单调递增区间为(1,+8)

C.若a>0,则函数/(尤)在区间上的最小值为/-2°1迎_1

试卷第2页，共4页

D.若xe[l,+⑹J（x"O,贝IJ。的取值范围为

三、填空题

12.已知集合/={0,1,2,3,4},5={X|72+2X+3>0},则中的元素个数为.

13.北京时间2023年10月26日，驾乘神舟十七号载人飞船的三名航天员成功人驻中国空

间站，与神舟十六号航天员乘组聚首，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的经典场面.某校计

划开展“学习航天精神”的讲座，讲座内容包括航天史讲解、航天精神的形成与发展、现代前沿

科学技术知识的普及、“我”的航天梦四个方面，根据安排讲座分为三次（同一次讲座不分先

后顺序，每个方面只讲解一次），其中航天史讲解必须安排在第一次讲座，则不同的安排方

案共有种

14.如图，在棱长为2a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，尸,Q分别为H。',C7T的中点，过尸,0,8

三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为.

四、解答题

15.为贯彻落实2024年中央一号文件，甲地现推进农产品转型升级，对农产品进行深加工

以提高产品附加值.某帮扶单位考察甲地的加工方式后随机抽取某生产线上一段时间内生产

的500件产品，对其质量指标值进行打分并整理，得到如下频率分布直方图：

规定：该产品的质量指标值在[125,175）内的为合格品，其余为不合格品.

⑴当不合格品所占比例超过3%时，该生产线需要停机调试用样本估计总体，试判断该生产

试卷第3页，共4页

线是否需要停机调试；

(2)用频率估计概率，从该生产线上随机抽取3件产品，求抽取到的产品中至少有2件合格

品的概率.(精确到0.001)

16.如图，在四棱锥尸-NBCD中，底面为平行四边形，E为PB的中点，

AB=AP=4,sin/B尸D=sin/DBP.

P

(1)证明：2P_L平面

(2)若尸/8=60。，直线尸C与平面/BCD所成角为30。，求二面角的

正弦值.

17.已知双曲线C：JT=l(a>0/>0)的离心率为点尸(4,右)是C上一点.

(1)求C的方程；

⑵设河是直线X=1上的动点，43分别是C的左、右顶点，且直线〃4儿必分别与C的右支

交于七。两点(均异于点3),证明：直线尺。过定点.

18.若正整数数列｛6｝满足：①｛。"｝为有穷数列：％,出，…，*；②汽生="?；③当1”〈八”

i=l

时，满足的正整数对(，")有且仅有上个.称该数列｛与｝为加的左减数列.

⑴写出5的2减数列的所有情况；

(2)若存在100的左减数列，求正整数k的最大值.

19.已知函数/(x)=(ge2£+ae*-x+l]e”.

⑴设g(x)=f(x)+(xT)e，,讨论函数g(x)的单调性;

x+X1

⑵若函数/(X)有两个极值点再广2(再<%)，证明：JC1+x2+e'>1.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】由极差的定义即可求解.

【详解】由题知最小的数据是13,最大的数据是x,则极差为x-13=ll,解得x=24.

故选：B.

2.D

【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.

【详解】由题意得圆心（。,4。）在直线/:3x-y+2=0上，

贝113a—40+2=0,解得q=2.

故选：D.

3.A

【分析】设圆锥底面圆的半径为尺，利用体积可求得底面圆半径尺，根据轴截面是等腰三角

形可求其面积.

【详解】设圆锥底面圆的半径为尺，

因为/C,8。为圆锥S。底面圆的两条互相垂直的直径，

易知四边形/BCD为正方形，且边长为同，

则四棱锥S-/BCD的体积为｝（血火）2xV3=手，

解得R=1或R=T（舍去），

所以圆锥SO的轴截面面积为:x2火x百=6.

2

故选：A.

4.D

2（q+d）+q+13dl

【分析】设等差数列｛%｝的首项为q,公差为d,由已知可得〜一与」——=-,可求

“62

得R，利用%=1续可求值.

【详解】设等差数列｛与｝的首项为q,公差为d,

2%+。1412(q+d)+%+13d1

由得仓F

3。1+15d1

即

答案第1页，共18页

1八,

则W=5，解得。6=6,

故际%）=H4=66.

故选：D.

5.B

［分析】利用两角和的正切公式结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.

（y7?

【详解】充分性：由&+3尸=兀得三+6=］，

/、tan——Ftan0

因为3tan/・tan〃=l,所以+=----------=6,

1-3

a1

故ta吗+ta叨=手，故tan—I----------

323t.an—。

3

ta咛考，故tan符

故3tan2—-2VJtan—+1=0,

33

（yTT71

故一=—+左1兀,左1£Z,/?=一+左2兀,左2£Z,

366

兀7T

a+34=-F3左］兀H-------F3左2兀=兀+37r（左］+左2）,左，左2£Z,

又。+3，=兀，即只需要%+左2=0A，质EZ即可，充分性不成立;

必要性：当。=女，尸=巴时，代入可得3tanq-tan£=l,必要性成立.

263

故〃是夕的必要不充分条件.

故选：B.

6.D

【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得。，进一步通过抛物线定义、

三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.

【详解】由题得C的焦点为尸设倾斜角为£的直线的方程为了=》-5，

与C的方程/=2px（联立得丁-2抄-p2=o,

设”（演,乂）,8仁,匕），则乂+%=2p=2,p=l,故C的方程为/=2x,/

答案第2页，共18页

由抛物线定义可知点P到准线的距离等于点尸到焦点下的距离,

联立抛物线C:/=2x与直线/:3x+2y+3=0,化简得9/+心+9=0,

由A=100—4、9、9=一224<0得。与/相离.

。”,尺分别是过点尸向准线、直线/：3x+2y+3=0以及过点尸向直线/:3x+2y+3=0引垂

线的垂足，连接尸尸,尸S,

所以点P到C的准线的距离与点P到直线/的距离之和\PQ\+\PS\=|PF|+|P5|>\FS\可尸,等

号成立当且仅当点P为线段尸R与抛物线的交点，

所以P到C的准线的距离与P至IJ/的距离之和的最小值为点尸0）到直线/：3x+2了+3=0

的距离，即反划_3_95.

11A/32+2226

故选：D.

7.C

3（2左+1）

co=----------------

4

【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到7，,进而得到0＜。410,

ku71

（P=-----1—

24

137

求得-:〈后4》，分类讨论，即可求解.

26

【详解】由函数/（X）的图象关于点g,o］中心对称，且x=q是/（X）的极值点,

717713（2斤+1）

-CO（p—左]TlH-----CD=-------------

2化，鼠ez）,即＜4

可得-—eZ）,其中

兀7kit兀

~—CO+（P=k2K（P=-----1—

24

k=k1—k],k'=k]+k?—2kl—k,

答案第3页，共18页

因为陷,当〃=_1时,=一：,左=2左+1,^GZ,当上'=0时9=：,左=2左，及GZ,

因为/(无)在区间内有唯一的极大值点，所以§-0=§427=9，

(5J550)

解得0<0410,即0<3(2人1)/10,所以」〈心卫，

426

当左=6时，on3]9“：TT?,此时3?9x+兀；e，兀3,8等3兀)，此时有两个极大值点，舍去；

44441420J

当上=5时，。=苧，0=-£,此时学》一36粤],此时有两个极大值点，舍去；

44441420J

兀\

当斤=4时，s=j27(P=7：T，此时2一7x+7TJe(7T15誓9，此时有一个极大值点，

4444<420J

所以。的最大值为二27.

4

故选：C.

8.A

【分析】表示出。，ac,并适当变形，观察式子，构造函数

/(x)=x---21nx(0<x<1),g(x)=er-x-1(0<x<1),利用导数即可证明当0<x<1时，有

-2xltu<l-x2,(l-x)e%>l-x2,从而即可比较大小.

【详解】吟=0.2得a=O.8e02-(1-0.2)e02.

由段=5得c=-2x0.21n0.2,

又6=0.96=1—0.22.

取x=0.2,贝!Ja=(1-x)ex,b=1-x2,c=-2x]wc.

设/(x)=%_L_21nx(0<x<1),

则/(x)=1l-£|>0,

所以/(无)在区间(o,1)内单调递增,

又/(1)=0,则尤_工_21nx<0,

X

BP-2xlnx<l-x2,所以c<b.

4'g(^)=ex-x-l(0<x<l),

则gd-i〉o,

答案第4页，共18页

所以g（x）在区间（0,1）内单调递增,

贝1Jg（x）>g（O）=O,

故e">x+l,则（1—x）e*>l-x?,即6<a,

所以c<6<q.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是构造适当的函数，利用导数证明当0。<1时，有-2xlnx<l-F

（l-x）e>l-x2,由此即可顺利得解.

9.AC

【分析】利用向量的除法运算和虚部为3,即可求出。=1,再利用复数乘除运算和模的运算

以及复平面内对应点的表示，就能作出选项判断.

6i6i6i(o+i)*1+言r的虚部为3,则含=3,

【详解】由V=lT("1)(a+i)

解得。=1,所以选项A正确.

1.333(l+i)33.

z=l—i—=---=--------r——I—i

9zl-i(l-i)(l+i)22

所以|=小!「!：=孚，所以选项B错误.

由(z+2>(l-3i)=(3-i).(l-3i)=T0i为纯虚数,所以选项C正确.

2+-2+i,（2+i）（3+i）：II

出z+23-i（3-i）（3+i）22，

所以复数再在复平面内对应的点为（I，1],位于第一象限，所以选项D错误，

z+22J

故选：AC.

10.ACD

【分析】熟悉椭圆的离心率公式：，椭圆焦半径取值范围为[a-ga+c],焦半径三角形顶

角在上顶点时取最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D,就需要设出直线4W的

方程为尤=叼+百，与椭圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最

后代入韦达定理得到关于加的函数式，从而求出最值.

答案第5页，共18页

【详解】由题知‘该椭圆中"2^=6'所以离心率为乎,A正确;

根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为。+。，距离最小

为。一。，

又直线的斜率不为0,所以|/用＞。-。=2-百，B错误;

当椭圆的对称可知当尸为短轴顶点时，/CPD取得最大值,此时|DP|=|CH=V?,|CD|=4,

CP|2+DPI2-ICDI23127t

由余弦定理得cosZCPD=J~~~故ZCPD>—,

2\CP\-\DP\523

即少上存在一点P,使/CPD=§,C正确;

设直线AM的方程为X=my+s5,联立直线4W与少的方程得（/+4）/+2GMy-1=0,

设则乂+%=-誉加2=七，

,-----,-----I12m24~4（〃/+1）

所以=族7/回一句=JiT/《而可+版*=玄百，

又点0到直线AM的距离为d=~^=

+1

所以S,ABM=2S=\AM\-d=46义产了

MAMm+4

4y/3t4^-/,、3/—

令t=6+l，贝！15「+3,,3'7t

lH---

当且仅当，=即时，等号成立,

所以面积的最大值为2,D正确;

故选：ACD.

11.BD

【分析】由/（1）=2,可判定A错误；当。=1,利用导数求得/（X）的单调递增区间，可判

定B正确；当。＞0,利用导数求得函数的的单调性，求得/（X）在［1,+8）上的最小值为了（场卜

可判定C错误；根据题意，分aVO和0＜。41、。＞1,结合函数的单调性，以及/。）=0,

可判定D正确.

答案第6页，共18页

【详解】对于A中，因为函数/'(x)=x2-2alnx-l,可得/，(尤)=2x-?,

则/'⑴=2-2%所以2-2。=2,解得4=0,所以A错误；

对于B中，若a=l,则/，3=2(X+1)(1),X>0,

当xe(l,+e)时，可得无)>0,所以/(无)的单调递增区间为(1,+8),所以B正确；

对于C中，若a>0,则/，(x)=^D,x>0，

令/''(x)=0,解得国=&或(舍去)，

当«M1,即0<aVl时，在［1,+⑹上，可得/'(无"。，/(无)在口,+⑹上是增函数，

所以函数/'(x)在［1,+8)上的最小值为/(1)=0；

当日>1,即“>1时，当段(1,五)时，/'(无)<0,/(x)单调递减；

当X£+°0)时，r(x)>o,/(X)单调递增，

所以函数“X)在［1,+8)上的最小值为/(&)="41必-1，所以C错误；

对于D中，因为尤21,当aWO时，r(x)>0,所以函数/(X)在［1,+⑹上是增函数，

贝iJ/(x)2/(l)=0,所以aWO成立；

当a>0时，由C项知：当0<aVl时，/(%)>/(1)=0,则0<aWl成立；

当0>1时，/(^)</(1)=0,即在区间［1,+⑹上存在无。=及使得/伉)<0,

则a>1不成立，

综上，实数。的取值范围为(―』，所以D正确.

故选：BD.

【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：

1、求函数/(x)在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的

函数值J3)与/(》)的各极值进行比较得到函数的最值；

2、若所给函数/(x)含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数

答案第7页，共18页

/（X）的最值;

3、若函数/（尤）在区间（。,。）上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在

导数的实际问题中经常使用.

12.3

【分析】求解一元二次不等式解得集合3,再求即可求得其元素个数.

【详解】由--+2x+3>0,得一l<x<3,所以8={x|-l<x<3},

/n5={0,1,2},故中的元素共有3个.

故答案为：3.

13.12

【分析】由计数原理以及排列数、组合数计算即可求解.

【详解】由题意若第一次讲座讲解一个内容，则一定为航天史讲解，共有C；A；=6种不同的

安排方案，

若第一次讲座讲解两个内容，则其中有一个内容为航天史讲解，共有A；=6种不同的安排方

按，

综上，共有12种不同的安排方案.

故答案为：12.

25

14.—

47

【分析】根据题意，作出完整的截面8G0P”，由APHE之APDQ,求得再由

2

AB//A'E,得到=得到过点尻己。的截面上方的体积匕=%〃叱-％0”，，进而

求得另一部分的体积，即可求解.

【详解】如图所示，延长尸。与的延长线交于点E,与*C'的延长线交于点尸，连接

BE,BF,

分别交于点H,G,由此作出完整的截面8G0/W,

因为正方体的棱长为2a,尸，。分别为0O',C'D'的中点，所以==

由^PA'E=APD'Q,则A'E=a,

4'HA'F?

又因为可得f=则=

AHAB3

则过点8,P,。的截面上方的体积

答案第8页，共18页

1125

==X

匕^B-B'EF~^H-EPA'§^^B,EFBB~2X—S^EpA，XAH=Q,

7547V25

则另一部分体积为匕=(24)3-不/二工/,所以,=石.

yy，2什/

25

故答案为：

15.（1）该生产线需要停机调试;

(2)0.995.

【分析】（1）计算产品的质量指标值在［115,125）和［175,185］内的频率，即不合格品所占比

例，并与3%作比较，确定生产线是否需要停机调试.

（2）计算样本中合格品和不合格品的频率，并采用二项分布计算至少有2件合格品的概率.

【详解】（1）由题知，质量指标值在［125,175）内的为合格品，

样本中质量指标值在［115,125）和［175,185］内的为不合格品，

由频率分布直方图可知质量指标值在［115,125）和［175,185］内的频率为

（0.002+0,002）x10=0.04,

故不合格品所占比例超过3%,该生产线需要停机调试.

（2）设事件A为从该生产线上随机抽取的产品为合格品，

事件B为从该生产线上随机抽取的产品为不合格品.

由（1）知，尸（3）=0.04,

尸（4）=1-尸（0=0.96,

则从该生产线上随机抽取3件产品，抽取到的产品中至少有2件合格品的概率为：

P=C；x0.962x0.04+C^X0.963X0.04°x0.995.

16.（1）证明见解析;

答案第9页，共18页

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）方法一：建系，利用空间向量求解二面角的正弦值，方法二：根据二面角定义，找到

二面角的平面角求解.

【详解】（1）因为smZBPD=smZDBP,/BPD/DBP为4PBD的内角，

所以得NBPD=NDBP,DP=DB,

又E为尸8的中点，

故DELBP,

而43=/尸，则,

因为DEu平面ADE,AEu平面ADE,AEcDE=E,

所以AP_L平面4DE.

（2）解法一如图①，取中点//,连接PH,CH,

由题知ZP=/8=4,又NP4B=60°,

则ANAP为等边三角形，故尸〃_L4B.

由（1）知BP_L平面4DE,4Du平面4DE,

所以8尸_L4D,

因为底面48co为平行四边形，且4B/3C,

则四边形/BCD为矩形，

贝！|AB1AD.

因为APu平面ABP,/Bu平面ABP,BPcAB=B,

所以4D_L平面48尸，

因为TWu平面/8P,

则ADLPH,

又因为跳UA8,且ADu平面ABCD,ABu平面ABCD,ADcAB=A,

所以尸H_L平面ZBCD,

则ZPCH为直线PC与平面ABCD所成角，

设3C=q,PH=PA-sin6Q°=26,

答案第10页，共18页

则sin30°=丝_,2>/3,

PC行元

解得a=40.

过点〃作为，48,故以点〃为坐标原点，分别以期,为,坂所在直线为x轴，了轴，z轴

建立如图①所示的空间直角坐标系取，

图①

则2（-2,0,0）刀（2,-4亚,0）,网_1,0,司，

故丽=（4,-460）,屁=（1,0,/）,

设平面5DE的法向量为成=（x,%z）,

m-BD=014]一4万歹二0

则一一，即l,

m-BE=0[x+v3z=0

取x=y/6，得y=V3,z=—y/2,

则成=（跖G,-拒），

易知平面/皿的一个法向量为元=（0,0,1）,

设二面角A-BD-E的大小为。，

则|cos0=

11\pm\\jn[\=11,

则sm0=jj叵]

O11J11

所以二面角的正弦值为斗.

解法二如图②，过点E作EF_L4B于点尸，

答案第11页，共18页

p

由（1）知BP_L平而4DE,4Du平面4DE,

所以3尸_L4D，

因为底而48co为平行四边形，且4813C,

则四边形/BCD为矩形，则/5_LAD.

因为3Pu平面48尸,48u平面48尸,APc4B=3,

所以/DJ_平面/8P,

又EPu平面48尸，则4D_LE尸，

又4BcAD=A,48,40<=平面/皿，

故EF1平面/8D,

过点厂作FGLBZ）于点G,连接EG.

因为ADu平面

所以5D_L£F,又FGCEF=F,尸G,£Fu平面EBG,

所以AD1平面EPG,

因为EGu平面E尸G,

故加D_LEG,

则NEGF为二面角A-BD-E的平面角，

取中点7/,连接PH,CH,

由题知4P=4B=4,又NP4B=60°,

则A/5尸为等边三角形，

故尸HJ.48.

又ADLPH,

因为u平面ABCD,ABu平面ABCD,AD^AB=A,

所以PH_L平面N3C。，

则ZPCH为直线PC与平面ABCD所成角，

答案第12页，共18页

设BC=a,则sin30°=—■=/,

PCJ/+16

解得a=BC=4后，易知AE=2\[i,

故在中，BD=y]AD2+AB2=4A/3.

在RtVADE中，DE=ylAD2+AE2=2而，

在ABDE中，由余弦定理得cos/BDE=BD2+DE2-BE。=

2BDDE6

则sin/BDE=—.

6

在RtZXEDG中，sinZBDE=—=—,

DE6

解得EG=半，易知历=7§,

在RtAEFG中，sin/EGF=曳=^~,

EG11

所以二面角/-8。-£的正弦值为Y，.

17.(1)^--/=1

4

⑵证明见解析

【分析】（1）由题意可得£=*,4-^=1,计算可求。的方程；

a24ab

（2）设火（西,必）,。（积%），设直线RQ：x="+机«4±2,机w±2,0）,联立方程组

可得以+为=学，乂为=驾於，利用点共线可得令=士，一%=上5,消去外，得

1222

-t-4t-43再+2X2-2

%（再+2）+3%（%—2）=0,计算可得%=4或（加-2）%-（加+2）%=。，进而判断可得机=4,

可得直线R。过定点.

【详解】（1）易知e=£=好，所以;=9,

a2/4

A21

贝匚」,/=4从①，

a24

将点尸卜,可代入C的方程，得根告=1②，

答案第13页，共18页

联立①②，解得“=2,6=1,则C的方程为三-/=1.

4

（2）如图，由（1）知，4（—2,0）,8（2,0）,设河（1,%）,氏（%,%）,。（%2/2），

根据题意，直线氏。不垂直于歹轴，

设直线氏0：x="+加（，。±2,加。±2,0）,

x=ty+m,

联立f消去X得12_4）/+2版y+,/_4=0,

=1,

^-A=4?2m2-4（r-4）（m2-4）=16（^2+m2-4）＞0,

贝！=于是2协力=--~~-（yi+%），

t—4m

由R,A,M三点共线得直线朋4R4的斜率满足?=N,

3项+2

同理，由”,民。三点共线得一%=—三,

x2-2

消去％,得%（再+2）+3%卜2-2）=0,

即%（协++2）+3%（优+-2）=0,

整理得4%%+3（机-2）必+（"7+2）%=0,

即2（痴一4

5+%）+3（加-2）%+（根+2）%=0,

m

贝!|（加-4）[（m-2）%-（加+2）%]=0,

因此加=4或（加一2）%一（加+2）%=0,

若（勿-2）%-（“1+2）%=0,又%+%=^^，

t—4

得放土

r-4r-4

答案第14页，共18页

22

m-4)Z2

m2-4m—4

结合M%=,从而22即户=/一4,不成立,

t2-4,2-4t-4

即（加一2）%一（加+2）%wO，因此加=4,满足A〉0,

所以直线&。过定点G（4,0）.

18.（1）所有5的2减数列有数列3,1,1、数列2,2,1和数列1,2,1,1；

（2）1250.

【分析】（1）由根据定义对数列中的项和排列顺序进行讨论，得到符合条件的数

Z=1

列；

（2）对。“的值和生与。小的大小关系进行讨论，得到数列中的项和排列形式，利用二次函

数的性质求最大值.

【详解】⑴由题意得f%=5,则1+1+3=5或1+2+2=5或2+1+1+1=5,

Z=1

故所有5的2减数列有数列3,1,1、数列2,2,1和数列1,2,11.

（2）若数列中的每一项都相等，则笈=0,

若左40,所以数列｛0“｝存在大于1的项，

若末项4片1,将。“拆分成。”个1后左变大，所以此时上不是最大值，所以%=1.

当，=1,2,-1时,

若为<4+「交换的顺序后无变为左+1,所以此时先不是最大值，所以％之4*1.

若at-aM｛0,1｝,所以a；>ai+l+2,

所以将生改为。厂1，并在数列末尾添加一项1，则上变大，

（当数列末尾添加一项1后，因为数列｛《,｝中必存在大于1的项，所以上必会变大）

所以此时先不是最大值，所以q-《+ie｛0」｝.

若数列｛对｝中存在相邻的两项《23,%+I=2,将％改为2,并在数列末尾添加为-2项1后，

人的值会变大，所以此时上不是最大值，

所以数列｛g｝的各项只能为2或1,

答案第15页，共18页

所以数列｛%｝为2,2,…,2,1,1,…,1的形式，设其中有x项为2,有了项为1,

因为存在100的无减数列，所以2x+y=100,

所以左=个=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250,

所以，当且仅当x=25,了=50时，

左取最大值为1250,

所以，若存在100的左减数列，上的最大值为1250.

【点睛】方法点睛：

数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通

项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理,

数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地