2024年新高考数学一轮复习-导数恒成立与有解问题

专题18导数恒成立与有解问题

一、【知识梳理】

【方法技巧】

1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(D分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)恒成立0432f(x)max；

aS广(X)恒成立OaW广(x)min；

a^f{x)能成立=己2广(x)min；

aWF(X)能成立f{x)max.

2.根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对

参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只

需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.

3.含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：

⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.

⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.

(3月矛1£忆3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.

⑷三荀£忆YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.

4.在解决不等式恒(能)成立,求参数的取值范围这一类问题时,最常用的方法是分离参数法,

转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“也'型的代数式，就设法求其最值.“也'型

的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件

(1)lim_f(x)=O及limg(x)=0；

x--ax-*-a

⑵在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且H(x)W0；

一

(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.

Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤

法则2若函数Ax)和g(x)满足下列条件

(1)lim/*(分=8及limg{x}=00.

x-axfa

⑵在点a的某去心邻域内，Ax)与g(x)可导且g，(x)N0；

/\f'(x)F”/f'(x)

(3)lim/)、=/，那么lim：/(［A)=lini

x-ag(A)x-a双切x-ag(切

二、【题型归类】

【题型一】分离参数法求参数范围

【典例1】已知函数_f(x)=e"+&r-x.

⑴当3=1时，讨论Ax)的单调性；

(2)当x20时，f{x}+1»求a的取值范围.

【解析】(1)当a=l•时，f(x)=ex+x-x,x£R,

ff(x)=e'+2x—1.

故当x£(—8,0)时，f'(A)<0；

当(0,+8)时，f'(x)>0.

所以F(x)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

⑵由F(x)N1f+l得，

e'+af—xN^d+l,其中xNO,

①当x=0时，不等式为121,显然成立，此时adR.

②当x>0时，分离参数a,

x131

e-x-]

得32—2，

x

x131

e~2X~x~]

记g(x)=-------2---------------，

x

(X-2)\Qx—^x—x—1\

g'(x)=_-----------3----------.

1

X

令尔x)2-1(x〉0),

则〃(x)=e"—x—4,令〃(x)=e*—x—1,

H'(x)=e"一l〉0,

故〃(x)在(0,+8)上是增函数，

因此"(x)>〃(0)=0,故函数尔x)在(0,+8)上递增,

.,"(X)>尔0)=0,即e"1—，』一x—1〉0恒成立,

故当xd(0,2)时，g'(x)>0,故£)单调递增;

当xG(2,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

7_e2

因此，g⑸max=g(2)="，

综上可得，实数a的取值范围是

【典例2］已知函数F(x)=l+ln*

X

(1)若函数F(x)在区间(a,a+J上存在极值，求正实数a的取值范围；

k

⑵如果当时，不等式F(x)一工20恒成立，求实数4的取值范围.

x十1

【解析】(1)函数的定义域为(0,+8),

,/、1—1—InxInx

f'(x)=-----2——二一^^，

XX

令f'(x)=0,得x=l.

当x£(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当x£(l,+8)时，f'(x)V0,F(x)单调递减.

所以x=l为函数F(x)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0<a<l<a+^,

故;<a<l,即实数a的取值范围为1)

(2)原不等式可化为当时，AW-(X+1)_(1+@X)恒成立,

(x+1)(1+lnx)

令g(x)=(xNl),

X

则g'(x)=

1+ln^+1+-x—(x+1)(1+lnx)

x.

xTnx

-X2•

再令力(x)=x—Inx(x21),

则3(A)=1--^0,

x

所以力(x)2/⑴=1,所以g'(x)>0,

所以g(x)为增函数，

所以g(x)2g⑴=2,

故72,即实数4的取值范围是(-8,2].

【典例3]已知函数f{x)=(x—2)e'—.

(1)当a=0时，求曲线y=F(x)在点(0,HO))处的切线方程；

(2)当xN2时，_f(x)20恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)当丁=0时,f(x)=1-2)e*,

广(0)=(0—2)e°=-2,

f'(x)=(x—l)e:k=f'(0)=(0—1)e°=—1,

所以切线方程为y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一当xN2时，F(x)20恒成立，等价于当时，(x—2)e'-1ax2+zxN0恒成

立.

即住/一(x—2)e*在［2,+8)上恒成立.

当x=2时，0•aWO,所以a£R.

当x>2时，~x~x>0f

所以aw(：—2)e'=红恒成立.

12X

~X—X

设g(x)=旦，则g'(x)=2(x、l)e：

XX

因为x>2,所以g'(x)〉0,

所以g(x)在区间(2,+8)上单调递增.

所以g(x)>g(2)=e)所以aWe)

综上所述，a的取值范围是(-8,1］.

方法二/(x)=(x—1)(e*一a),

①当aWO时，因为x》2,

所以x—1>0,e—a>0,所以f(x)>0,

则f(x)在［2,+8)上单调递增，

f(x)>f(2)=0成立.

②当0<aWe。时，f'(x)20,

所以f(x)在［2,+8)上单调递增，

所以f(x)与f(2)=0成立.

③当aAe?时，在区间(2,Ina)上，f'(jr)<0；

在区间(Ina,+8)上，f'(入)〉0,

所以/1(x)在(2,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增，f(x)20不恒成立，不符

合题意.综上所述，a的取值范围是(一8,el.

【题型二】分类讨论法求参数范围

【典例1】已知函数f(x)=lnx—ax,a£R.

⑴求函数F(x)的单调区间；

(2)若不等式F(x)+dVO在(1,+8)上恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)函数/"(X)的定义域为(0,+8),F(X)=:一a.

①当aWO时，f'(x)>0恒成立，

则f(x)只有单调递增区间是(0,+8).

②当己>0时，由/(x)>0,

得0<xV±

a

由「UX0,得x*；

所以f(x)的单调递增区间是(0,3),单调递减区间是g,+8).

(2)F(x)+aV0在(1,+8)上恒成立，即Inx—a(x—1)V0在(1,+8)上恒成立.

设g(x)=lnX—H(X—1),x>0,则g，(x)=：—2注意到g(l)=0,

①当时，g'(入)<0在X£(1,+8)上恒成立，

则g(x)在x£(l,+8)上单调递减，

所以g(x)Vg⑴=0,即时满足题意.

②当OVwVl时，令H(入)>0,

得0VxV±

a

令g，(x)V0,得

a

则g(x)在(1,J上单调递增，

所以当时，g(x)>g(l)=o,

即0<a<l时不满足题意(舍去).

③当aWO时，g'(x)=-a>0,

则g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以当xe(l,+8)时,g(x)>g(l)=0,

即aWO时不满足题意(舍去).

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

【典例2］已知函数『(x)=(x+a—l)e",g{x)+ax,其中a为常数.

(1)当a=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若对任意的xe［0,+8),不等式f(x)Ng(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为a=2,所以/U)=(x+l)e*,所以,(0)=1,

f'(x)=(x+2)e”,所以F(0)—2,

所以所求切线方程2x—y+l=0.

(2)令方(x)=f(x)一g(x),

由题意得力(x)min20在［0,+8)上恒成立，

因为力(x)=(a~1)ex—~x—ax,

所以〃(x)=(x+a)(e、一1).

①若则当x£［0,+8)时，〃(工)20,所以函数力(x)在［0,+8)上单调递增，

所以力(X)min=^(O)~a—\,

则a-1^0,得心1.

②若乃<0,则当［0,—己)时，h'(x)W0；

当［—a+8)时，H(x)20,

所以函数力(x)在［0,一力上单调递减，在［―a+8)上单调递增，

所以力(X)min=/?(—d),

又因为力(一a)V力(0)=a—ivo,所以不合题意.

综上，实数,的取值范围为［1,+8).

【典例3】已知函数_f(x)=ae'T—lnx+lna.

⑴当a=e时，求曲线尸f(x)在点(1,F(l))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

⑵若F(x)21,求己的取值范围.

【解析】f(x)的定义域为(0,+8),/(x)=ae*T—l

X

(1)当a=e时，F(x)=e'—lnx+1,f'(1)=e—1,曲线y=F(x)在点(1,F(l))处的切线

方程为y~(e+1)=(e—l)(x—l),即y=(e—l)x+2.

直线尸(e—l)x+2在x轴，y轴上的截距分别为一:，2.

e—1

2

因此所求三角形的面积为一-

e—1

(2)当0〈水1时,f(D=a+ln水1.

当a=l时，F(x)=e'f—Inx,f'(x)=e'f一士当(0,1)时，f'(x)<0；

x

当x£(l,+8)时，/(x)>0.所以当x=l时，Ax)取得最小值，最小值为/U)=L从而

f{x)：B*1.

当a>l时，f(x)=aei—Inx+lna^e'-'—In

综上，a的取值范围是［1,+8).

【题型三】等价转化求参数范围

【典例1】已知函数f(x)=ei一乃才+lnx(3£R).

⑴若函数F(x)在x=l处的切线与直线3x—p=0平行，求a的值；

(2)若不等式_f(x)21nx—a+1对一切［1,+8)恒成立，求实数己的取值范围.

【解析】(1)/(x)=e-—a+1，

：.f'⑴=2—a=3,

・•3.—-1,

经检验a——\满足题意，，己=一1,

(2)f(x)21nx—a+1可化为

e'f-ax+a—120,x>0,

令(P(^)=exi—ax~\~a~\,

则当X£［l,+8)时，0(X)min2O,

xl

■:仃(jr)=e~—a9

①当aW：时,O'(x)>0,

・・・0(X)在［1,+8)上单调递增，

0(X)min=0(1)=1一己+己一1=020恒成立，

••.HW，符合题意.

e

②当於一时，令6,(x)=0,得x=lna+1.

e

当(0,Ina+1)时，6’(T)<0,

当x£(lna+l,+8)时，〃(X)>0,

:.。(才)在(0,Ina+1)上单调递减,

在(Ina+lf+8)上单调递增.

当In4+1W1,即时，O(x)在［1,+8)上单调递增,

0(X)min=0(1)=020恒成立，

.".-<5^1符合题意.

e

当Ina+l〉L即a>l时，O(x)在［1,Ina+1)上单调递减，在(Ina+L+8)上单调递

增，

0(x)gn=0(Ina+1)<0(1)=0与0(x)>O矛盾.故a〉l不符合题意.

综上，实数a的取值范围为(-8,1],

【典例2】已知函数/'(x)=-ax'+lnx(aGR).

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)若存在xG(l,+8),f(力〉一a,求a的取值范围.

【解析】(1)函数F5)的定义域为(0,+°0),

/、11—2ax

f(x)=—2ax+~=z------

xx

当aWO时，f(x)>0,则/'(x)在(0,+8)上单调递增,

当a>0时，由/(x)=0,得x=-7=

72a

由下(x)〉0,

由f(x)<0,

于是有f(x)在OO|上单调递减.

(2)由f{x)>—a,

得a(/一1)-111x<0,(1,+°°),

—Inx<0,jr2—1>0,

当aWO时，<3(y—1)—InT<0,满足题意;

当时,

令g(a)=笈(、-1)—Inx(x>l),

o—1

g'(x)=------->0,g(x)在(1,+8)上单调递增，则g(x)>g(l)=0,不符合题意,

X

当0〈水；时,

kg⑴=o,

则当(Ka与时，ElxG(1,+°°),g(x)<0,

综上，a的取值范围为J,3

【典例3]已知函数广(x)=3—(a+2)x+alnx,

⑴当少2时，求函数Ax)的单调区间；

⑵若存在x£[l,+8),使/*(x)〈〃成立，求实数己的取值范围.

,/、，/、/、、、a2x—(a+2)x+a(2x—a)(x—1)

【解析】(1),・3>0,F(x)=2x—(己+2)+-=--------——-——---------——

XXX

1,

当f'(x)〉0时，0<x<l或x>~,

当/(x)<0时，l<x1,

；"(x)的单调递增区间为(0,1),已+8

单调递减区间为(1,fl.

⑵•.•存在xG[1,+8)使f(x)<a成立oa>f(x)M

由(1)可得，①当少2时,

aa2a

aX)min=F4aIaln2〈石,

即ln1—^<2,

令方=*O(Z)=ln,

112--力

0/(1

----(X

t2-2t\

，0(力在(1,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减,

.1.0(%)max=。⑵=1112—1〈2恒成立，

即当力2时，不等式恒成立；

i>"上单调递减，在与

(另解：当a>2时，/<x)在+8上单调递增,

,卜/(1)=-1—a〈a.)

②当aW2时，f(x)在xd[l,+8)上单调递增,

F(x)min=f(l)=—a—l<a,a>-

综合①②得，实数a的取值范围为(一f+8).

【题型四】双变量的恒(能)成立问题

>

【典例1】设/(x)=2+xlnx,g(x)=£—才2一3.

x

(1)如果存在的，用£[0,2],使得g(x1)一g(X2)2〃成立，求满足上述条件的最大整数可

⑵如果对于任意的s,崖;，2,都有/<s)2g(力成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)存在不，x2e[0,2],

使得g(xi)—g(x2)2〃成立，

等价于[g(Xl)—g(x2)]max》〃成立.

g'(x)=3x—2x=x(3x—2),

2

令g'(㈤=0,得x=0或x=~f

_85

•々3厂27，

又g(o)=-3,又2)=1,

・•・当[0,2]时，g(x)max=g(2)=1,

・,・满足条件的最大整数〃为4.

1

2

⑵对任意的s,te2一有f(s)2g(力,

则HOmin2g(X)max.

由(1)知当XG2时，g(X)max=g(2)=1,

-1

2

当2-时,f(x)=；+xln61恒成立,

」

即a^x—xlnx恒成立.

令力(x)=x~xlnx,x^\―,2

:・h'(x)=1—2xlnx-x,

令0(x)=l—2xlnx—x,

O'(x)=-3—21nx<0,

-1

-2

3(x)在上单调递减,

?

」2

又〃⑴=0,

1

-

当2时，h'(x)20,

当[1,2]时，h'(x)WO,

1

-

：・h(x)在2上单调递增，在［1,2］上单调递减,

・••力(X)max=/?⑴=1,

故心1.

J实数N的取值范围是［1，+8).

【典例2］已知函数f(x)="-l)(xeR),a为正实数.

e

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若Vz,不等式"(荀)一代加1〈1恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为/~(x)=&')-D(XGR),

e

所以/5)=上口

(xdR),

e

因为a>0,所以令/''(x)〉0,得0〈水3；

令，(x)<0,得木0或x>3.

所以/'(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(-8,0)和(3,+8).

(2)由⑴知第£)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减，

所以f(x)在［0,4］上的最大值是A3)=、.

e

又/(0)=—水0,/(4)=115e-4>0,

所以F(0)〈f(4),

所以F(x)在［0,4］上的最小值为r(0)=-a

若Vxi,x2^［0,4］,不等式|—/1(入2)］<1恒成立，

则需/1(X)max—F(X)min〈l在［0,4］上恒成立，即广(3)—/(0)<1,

5闩P3

即F+水1,解得13.

e5十e

Q3

又a>0,所以0<a<—,—3.

故实数a的取值范围为0,

【典例3】设f{x)=xe,g(x)=^x+x.

⑴令b(x)=f(x)+g(x),求方(x)的最小值；

⑵若任意xi,刘£[-1,+°°),且矛1>如有血_f(xi)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求实

数"的取值范围.

【解析】(1)因为尸(x)=f(x)+g(x)

=xex+^x+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令尸(x)〉0,解得x>—1,

令"(x)<0,解得；K-l,

所以6x)在(一8,—1)上单调递减，

在(-1,十8)上单调递增，

11

---

故1)=2e

⑵因为任思矛1,彭£[—L+8),且为>如

有力"(小)一f(>2)]>g51)—g(x2)恒成立，

所以mf(xi)—g(Xi)>mf(X2)—g(X2)恒成立，

令力(x)=MTx)—g(x)=%的'一；才2—x,xEi[—1,+°°),即只需力(x)在[―1,+8)上单调

递增即可.

故力/(x)=(x+1)(混一1)20在[-1,+8)上恒成立，故加2上而士1We,故w2e,

ee

即实数力的取值范围是[e,+8).

【题型五】洛必达法则

【典例1】已知函数f(x)=(x+1)ln(x+l).若对任意x>0都有_f(x)>ax成立，求实数a

的取值范围.

【解析】方法一令。(x)=F(x)—ax=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

则O/(x)=ln(x+l)+1一2，

VJT>0,.\lnU+l)>0.

⑴当1一己2。即aWl时，O'(T)>0,

・・・0(x)在(0,+8)上单调递增，

又0(0)=0,

・•・0(才)>0恒成立，故HWI满足题意.

(2)当1—水0,即〃>1时，令O'(x)=0,Wx=ea~]—l,

：.x^(0,/T—l)时，6,(x)<0；

(ea-1—1,+8)时，0,(x)>0,

・・・0(x)在(0,e—-1)上单调递减，在(/T—1,+8)上单调递增，

,0(X)min=。—1)<0(0)=0与0(X)>0恒成立矛盾，故@>1不满足题意.

综上有wWl,故实数a的取值范围是(一8,1].

方法二(0,+8)时，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

即a〈(x+l)?(x+D恒成立.

令g(x)=(x+D;x+l)(x〉。),

(x)=I*+D

令k{x)=x—ln(jr+l)(jr>0),

，A(x)在(0,+8)上单调递增.

・，・A(x)〉A(0)=0,

x—ln(^r+l)>0恒成立，

・・・/(x)>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增.

由洛必达法贝！J知limg(x)=lim^-^=lim[ln(^+l)+1]=1,

0x-,-OX^-*0

・・・aWl,故实数a的取值范围是(一8,1].

【典例2】已知函数f(x)=x(e"—l)—af(a£R).

(1)若Ax)在x=—1处有极值，求a的值.

(2)当x>0时，f(x)20,求实数a的取值范围.

【解析】⑴/(x)=e-1+xe'—2ax

=(x+1)Q—lax—X,

依题意知f'(―1)=28一1=0,「,石=；・

(2)方法一当x>0时,f(x)20,

即x(e"—1)—ax^O,

即ex—\—ax^Q,

令O(x)=e"—l—ax(x>0),贝！J0(x)min2O,

6,(A)=ex—a.

①当aWl时，O'(x)=e"—GO,

:.0(才)在(0,+8)上单调递增，

O(x)>。(0)=0,

・・・aWl满足条件.

②当打>1.时，若0〈x〈lna,则6,(x)<0,

若x>ln2则0，(x)>0.

，。(才)在(0,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增,

O(x)min=0(lna)=a—1—alna20.

令g(a)=a—1—alna(a>l),

:・g，(a)=1—(1+lna)=—Ina<0,

・・・g(a)在(1,+8)上单调递减.

Jg®<g⑴=0与g{a)20矛盾，

故。>1不满足条件，

综上，实数a的取值范围是(-8,1].

方法二当x>0时,f{x}20,

即x(e'—l)~ax^0,

即e"—1—HX20,

即

X1

P—I

即aW——恒成立，

x

X1

P—I

令力(X)=-------(£>0),

X

.h,7xeV-l)+l

・・n\X)—2,

x

令k{x)=e*(x—1)+1(x>0),

.\k'(x)=e'・x>0,

.,.A(x)在(0,+8)上单调递增,.•・A(x)〉A(0)=0,

:・H(T)>0,

・・"(x)在(0,+8)上单调递增.

QX--1

由洛必达法则知，lim为(x)=lim-------=lime'=l,

x—0X-0XA--0

，aWl.

故实数a的取值范围是(一8,1].

三、【培优训练】

1

【训练一】已知为函数f(x)=x'lnX的极值点.

(1)求a的值;

(2)设函数g(x)二，若对VxP(O'+8),皿GR,使得广⑸-久加川，求发的取值范

围.

【解析】⑴/(x)=axFx+x一

=y-1(alnx+1),

卜1=0，解得a=2,

当a=2时，f(x)=x(21nx+1),函数F(x)在［。，福)上单调递减,

+°°上单

调递增,

1

所以X：为函数F(x)=x"nX的极小值点，因此a=2.

(2)由(1)知/1(x)min={/=—函数g(x)的导函数/(x)=4(1一x)e-“.

①当k>0时，

当xVl时，g'(x)>0,g(x)在(一8,1)上单调递增;

当M>1时，g'(x)V0,g(x)在(1,+8)上单调递减,

对Vxi@(0,+8),三上2=—"，使得g(x2)=g—e；V—IV—(Wxi),符合题意.

②当4=0时，g(x)=0,对有f(x)—g(x2)<0,不符合题意.

③当aV0时,

当xVl时，g'(x)V0,g(x)在(一8,1)上单调递减;

当x>l时，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上单调递增,

k

g(X)min=g(D=一,

e

若对"不£(0,+°°),3A2^R,使得—g(就20,只需gJLnWAx)

解得kW—1.

综上所述，A£(—8,—1U(0,+°°).

【训练二】已知函数『x)=b-x.

⑴若曲线P=F(x)在点(0,MO))处切线的斜率为1,求/U)的单调区间;

⑵若不等式广(x)2ea，lnx-对x£(0,e］恒成立，求女的取值范围.

【解析】⑴/(x)=ab—1,则/(O)=a—1=L即片2.

:・f(x)=2e2%—1,令/(x)=0,得x=一42.

当求一」产时，f'(x)<0；

当x>-12时,f'(分>0.

故F(x)的单调递减区间为(一8,一野，单调递增区间为(一野，+8)

⑵由f{x}2e"lnjr-ax,xR(0,e］,

即a/—x》e''(lnx—1),有生^

ex

故仅需■,：―121nx—1即可.

ex

设函数g(x)，；T,

则Ine：―等价于巧》.

ex

,/、2—Inx

・"(x)=­j—,

・••当x£(0,e］时，g，(x)>0,则g(x)在(0,e］上单调递增,

:.当三£(0,e］时,g(e邙2g(x)等价于

即恒成立.

X

1nx

设函数尔x)=——，xe(0,e］,

X

11r>v11

贝！J力，(x)=-----2—三0,即力(x)在(0,e］上单调递增，・••力(x)max=/?(e)=—，贝!1石2-即可,

xee

，a的取值范围为：，+8).

1——a

【训练三】设函数F(x)=—Jf+ax—lnjr(aeR).

⑴当石=1时，求函数F(x)的极值；

a—1

(2)若对任意石£(4,5)及任意xi,上2仁［1,2］,恒有一不加+ln2>"(XI)—_f(x2)|成立，求实

数必的取值范围.

【解析】(1)由题意知函数Ax)的定义域为(0,+8).

x-］

当a=l时，_f(x)=x—lnx,f'(x)=l-—=----，

xx

当时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

当x>l时，f'(x)>0,F(x)单调递增，

・・・函数f(x)的极小值为f(l)=l,无极大值.

⑵由题意知f'(x)=a)x+a—~

x

(1(x-£}1)

=，

X

当(4,5)时，1—a<—3,OvJj；,

所以在区间［1,2］上，ff(x)W0,则/*(x)单调递减，Hl)是Ax)的最大值，"2)是/'(x)的

最小值.

OQ

IF(xi)—f(x2)|W_f(l)—广(2)~+ln2.

a—

・・•对任意(4,5)及任意xi,[1,2],恒有一屋z+ln2>|/1(荀)一代生)|成立,

a—1,a.3,/0a—3

.•.『z+ln2>---+ln2,得勿>R

.a—3221

Vae(4,5),

：・信①,故实数7的取值范围是

Ip

【训练四】设函数f(x)=——二，g(x)=a(f—D—Inx(aGR,e为自然对数的底数).

xe

⑴证明：当x>l时，广(入)>0；

⑵讨论g(x)的单调性；

⑶若不等式f(x)<g(x)对x£(l,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)证明：/<x)=Jr-,

xe

令令x)=ex~i~x,则sf(x)=e"T—l,

当x〉l时，s，(x)>0,所以s(x)在(1,+8)上单调递增，又s(l)=0,所以s(x)>0,

从而当x>l时，f{x)>0.

/、，/、12加一1,、

(2)g(父=2ax-=------(£>0),

xx

当aWO时，gf(x)<0,g(x)在(0,+8)上单调递减,

当.3>0时，由W(x)=0得x=J第

g'(x)<0,g(x)单调递减,

+8时，H(x)〉0,g(x)单调递增.

(3)由(1)知,当x>l时，f{x}>0.

当HWO,X>1时,g(x)=a(f—1)—In水0,

故当f(x)〈g(x)在区间(1,+8)内恒成立时，必有-0.

1」1

当tz°〈水5时，市>1，

g(x)在[，出上单调递减,

<g⑴=0,而，所以此时〃x)〈g(x)在区间

(1,+8)内不恒成立.

当时，令力(x)=g(x)—f(x)(x21),

当X>1时，〃(x)=2ax—工+二一e->x—2+二一

XXXXXXX

因此，力(X)在区间(1,+8)上单调递增,

又又1)=0,

所以当x>l时，力(x)=g(x)—F(x)>0,

即f(x)<g(x)恒成乂.

综上，a的取值范围为

【训练五】F(x)=xe\g(x)=~x+x.

(1)令分(x)=F(x)+g(x),求C(x)的最小值；

⑵若任意xi,刘£[-1,+°°),且为>如有力"(矛1)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求实

数力的取值范围.

【解析】(1)因为/(x)=F(x)+g(x)=xe、+；V+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令F(x)>0,解得入>一1,

令尸(x)<0,解得水一1,

所以分(x)在(一8,—1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增.

故尸(入)„^=尸(一1)=一<一±

2e

(2)因为任意不，X2£[—1,+°°),且矛1>如有而"(荀)一_f(x2)]>g(xi)—g(*2)恒成立，

所以mf(xi')—gkx、〉mf(x。一仪加恒成立.

h{x}=mf^x)-g{x)=mxQ—~x—x,[—L+°°),

即只需证尔X)在[-1,+8)上单调递增即可.

故力'(x)=(x+1)(废"一1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必三二，而且We,故必2e,

ee

即实数力的取值范围是[e,+8).

【训练六】f^X)=XQX,g{x)+x.

⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意Xi,至£[-1,+8),且荀>如有加f(xi)—f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求实

数力的取值范围.

【解析】(1)因为网X)=f(x)+g(x)=xe'+(x2+x,

所以/(x)=(x+L)(e*+l),

令尸(x)〉0,解得x〉一l,

令尸'(x)<0,解得x〈一1,

所以6x)在(-8,—1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增.

故F(x)min=F(-1)=—.一’.

2e

⑵因为任意xi,X2^[―L+°°),且汨>如

有力[F(X1)一广(入2)]>g(xi)—gG)恒成立，

所以"(xi)—g(xj一点加恒成立.

h^x)=mf{x}~g{x)=mxex—^x—x,[—1,+°°),

即只需证力(x)在[—1,+8)上单调递增即可.

故H(x)=(x+1)(雁”-1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必22，

e

而二We,故勿2e,

e

即实数力的取值范围是[e,+°°).

四、【强化测试】

【解答题】

1.已知函数f(x)=(x+1)ln(x+l).若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值

范围.

【解析】法一令0(x)=f(x)—ax

=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

则O'(x)=ln(x+l)+1—a,

,：x>0,.•」n(x+l)>0.

(1)当1—a20,即aWl时，O'(x)>0,

...0(x)在(0,+8)上单调递增，

又。(0)=0,

。(x)>0恒成立，故aWl满足题意.

(2)当l-a<0,即a>l时，

令O'(x)=0,得*=尸|—1,

，xe(0,e'T-1)时，O'(x)<0；

xG(e"T—1,+8)时,<p'(x)>0,

.♦・0(x)在(0,ei—1)上单调递减，在(e"T—1,+8)上单调递增，

，0(x)Hin=0(e"T-1)<。(0)=0与0(x)>O恒成立矛盾，故a>l不满足题意.

综上有aWl,

故实数a的取值范围是(一8,1].

法二xC(0,+8)时，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

(x+1)In(x+1)

即a<,恒成立.

x

./、(x+1)In(x+1)/八、

令g(x)=-------------；-------------(X>。)，

x—In(x+D

()2

•••/XX

令/(x)=x—ln(x+l)(x>0),

,/、1X

:"kw=1-^+T=I+T>0,

；.A(x)在(0,+8)上单调递增.

，A(x)>A(0)=0,

ln(x+l)>0恒成立,

：.g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增.

由洛必达法则知

但g(x)=七5m(x+i)

x

=r，［ln(x+l)+1］=1,

・・・aWl,故实数a的取值范围是(一8,1］.

2.设函数f{x}=ax—xYx\x—(2己-1)^+乃一1(a£R).若对任意的［1,+°°),f{x}20

恒成立，求实数2的取值范围.

【解析】f'(x)=2ax—1—Inx—(2a—1)

=2a(x—1)—Inx,

令g(x)=f(x)=2a(x—1)—Inx,

…，/、12ax-1

则g(x)=2a-—=---------,

XX

令H(X)=0,得x=；,

①若aWO,贝UH(x)<0,

则F(x)在［1,+8)上单调递减，

：.f'(x)Wf，(1)=0.

；・f(x)在［L+°°)上单调递减，

f{x)^/(D=0,不满足题意.

②若则;Wl,

2La

当xd(o,g时，g'(x)<o,

当xe七，+8)时，g'(x)>0,

：.f'(x)在［1,+8)上单调递增，

：.f(x)2F⑴=0,，f(x)在［1,+8)上单调递增，

.•"(x)》fa)=o,满足题意.

③若0VEV1，则;>1,当L白I时，g'(x)vo,

22aL乙a)

当丫金岛，+8)时，g'(x)>0,

：.f'(X)在(I，力上单调递减，

在七，+8)上单调递增，

又f(1)=0,.•.当xG(l,时，f(x)<0,

.•"(x)单调递减，.."(x)<AD=0.不满足题意.

综上，3的取值范围为

3.已知f{x)=alnx+x~^x,g(x)=(a—2)x,若存在照£e,使得f(x。Wg(Ab)

成立，求实数a的取值范围.

【解析】由F(xo)Wg(xo),

得(照一In照)22器一2照，

记/(x)=x—Inx(x>0),

则尸，(x)=3(x>0),

X

...当0<x<l时，F'(x)<0,b(x)单调递减；

当x>l时，F'(x)>0,户(x)单调递增.

...尸(*)>尸(D=l>o,

、/一2刘

••a?z.

Ao-InXQ

x-2x「1

记G\x)—q，一，e,

x-InxLe

则夕(x)=

(2x—2)(x—Inx)—(x—2)(x—1)

(x-Inx)2

(x—1)(x—21nx+2)

(x-Inx)2

1

V^ee,

_e

.,.2—21nx=2(1—Inx)20,

jr—2Inx+2>0,

・••当1)时，G'(x)<0,G(x)单调递减；当x£(l,e)时，G'(x)>0,G(x)单调递

增.

G(x)min=G(l)=-1,

・・G^X)min——1,

故实数》的取值范围为［—1，+8).

4.已知函数F(x)=万一E+l)x+血nx+勿，f'(x)为函数_f(x)的导函数.

⑴讨论Ax)的单调性；

⑵若x/(X)—F(x)20恒成立，求"的取值范围.

【解析】⑴F(X)=LE+1)/1*+喝(厂")"T),

XXX

①当勿WO,x£(o,1)时，/(x)〈0,F(x)单调递减；

当x£(l,+8)时，f'(x)〉0,Ax)单调递增.

②当0〈欣1,(0,4时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当(m,1)时，f'(x)<0,f{x)单调递减；

当x£(l,+8)时，f(才)>0,/<x)单调递增.

③当勿=1,(0,+8)时，f(x)20,Hx)单调递增.

④当0>1,x£(0,1)时，f'(x)>0,广(x)单调递增；

当(1,4时，fl(x)<0,F(x)单调递减；

当(勿，+8)时，f'(x)〉0,F(x)单调递增.

(2)由题意知xf'(x)-f{x}20恒成立，

即万一血nx20恒成立，

2

・••万2血nx.

当x=l时，—^mlnx恒成立，

殳

当£>1时，----2例

21nx

当0〈水1时，----W力.

21nx

2

人/\x

令名⑸=不’

…M21nx—1)

则夕3=2(lnxf，

当0〈水1时，g'(x)〈0,

g(x)单调递减且g(x)<0,

勿20.

当x>l时，令g，(x)=0,得x=拉,

・•・当1<X〈/时，g'(T)<0,g(x)单调递减,

当x>/时，w(x)>0,g(x)单调递增，

；・g(x)2g(#)=e，,"We.

综上知0W勿We.

5.已知函数F(x)=x(旌、-1).

⑴当〃=1时，求函数Ax)的图象在(1,*1))处的切线方程；

(2)当x>0时，f^x)^x~