2024年湖北省高三数学4月调研模拟联考试卷附答案解析

2024年湖北省高三数学4月调研模拟联考试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟2024.04

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知A={x|V-3X+2<0},B=[x\Y<x<a\,若则实数a的取值范围是（）

A.{a\\<a<2]B,[a\\<a<2\C.{a\a>2\D.{a\a>2}

2.已知点5（4,2）和向量〃=（2,X）,若"/AB，则实数％的值为

2233

A.——B.-C.——D.—

3322

3.若1,a,3成等差数列，1,b,4成等比数列，则:的值为（）

b

A.±-B.1C.1D.±1

22

2

4.双曲线/一匕=1的两条渐近线的夹角的大小等于（）

3

A.工B.2C.2D.2

6336

5.已知是奇函数，当定0时，f（x）=e2x-l（其中e为自然对数的底数），则（）

A.3B.-3C.8D.-8

6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,贝/％=6”是“acos3=3cosA”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.球类运动对学生的身心发展非常重要•现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”,

“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选3门，高一到高三三学年必须

将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方

式有（）

A.210种B.78种C.150种D.144种

8.在三棱锥尸-ABC中，平面ABC」平面P3C,ABC和.PBC都是边长为的等边三角形，若M

为三棱锥尸-ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为（）

A.娓-0B.A/6+A/2C.V5-1D.75+1

1

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.在复数范围内关于％的实系数一元二次方程f+px+2=()的两根为百,三,其中玉=l+i,贝(j()

A.p=2B.x=1-iC.x-x=-2iD.—=i

2l2X2

10.已知a>b>0,a+b=l.则下列结论正确的有()

A.6+酩的最大值为0B.2?"+22%的最小值为4收

14

C.-——-+一二的最小值为3D.a+smb<l

2a+ba+2b

11.已知抛物线V=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为C,过点C的直线/与抛物线交于A,B两点,

A点位于3点右方，若ZAFB=NCFB,则下列结论一定正确的有()

A.\AF\=8B.\AB\=^~

C.SAFB=^-D,直线Ab的斜率为g

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数f(x)=sin(x+夕)+cos(x+°)对任意的x(xeR)均满足f(-x)=/(x),贝I]tan(p=

13.己知x,y之间的一组数据：

X0149

y12.985.017.01

若y与G满足回归方程y=b^c+a,则此曲线必过点.

14.若当8-0时，以为3冲匕3R无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数

Ax

Z=f(X,y)在点(%,%)处对X的偏导数，记为%),即f；(x0,y0)=1汕/(豌+—，%)一1%，%)；若当

Axf0A%

△yf0时，口出卷q国无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数z=/(x,y)在

点(%，%)处对y的偏导数，记为力'(/，%),即/>。，%)=已知二元函数

y

f{x,y)^x2-2xy+y3,则f'(m,n)+f；(m,n)的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

15.已知三棱柱ABC-AB©中，AC=A4i=4,BC=2,ZACB=90,\BLACV

(1)求证：平面AACG，平面ABC；

(2)若NAAC=6。，且P是AC的中点，求平面5Ap和平面AACG的夹角的大小.

16.襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，寒假期间

对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：

组别

[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]

(支出费用)

频数34811412085

(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10000元的概率；

(2)若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布NJ。?)，〃近似为样本平均数双同一组中的数据

用该组区间的中间值代表)，。近似为样本标准差,,并已求得利用所得正态分布模型解决以下问

题：

(i)假定襄阳市常住人口为500万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；

(ii)若在襄阳市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为求随机变量J的分布列

和均值.

附：若XsN(〃,cr2),贝!］尸(4-crWX+o"卜0.6827,P(jU-2cy<X<ju+2cr)®0.9545,

P(//-3cr<X<//+3cr)«0.9973.

17.已知函数〃x)=ln(l+%)+ax2-x(a>0).

⑴讨论八%)的单调区间；

⑵若函数g(x)=x—ln(l+x),证明：g(sine)+g(cose)<；.

18.如图，四边形。FHG(。为坐标原点)是矩形，且。尸=2,OG=囱，点与0,-0)，点4,用(f=l,2,3,,w-l)

分别是OF,尸〃的〃(〃>2)等分点，直线EA,和直线CB,的交点为根.

G

:

田

。|442

E\

⑴试证明点M(i=L2,3,在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；

⑵已知点尸是圆Y+y2=7上任意一点，过点尸作椭圆C的两条切线，切点分别是A,B,求上钻面积

的取值范围.

22

注：椭圆二+々=1(4>6>0)上任意一点。(毛，％)处的切线方程是：岑+至=1.

a~b-a

19.在如图三角形数阵中，第”行有〃个数，阳表示第，行第j个数，例如，*表示第4行第3个数.该

数阵中每一行的第一个数从上到下构成以根为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以

机为公比的等比数列(其中帆>0)•已知知=2,即=g%+2,—=^.

2“21

a2\a22

a3\a32a33

。41。42。43。44

a5\a52a53a54a55

an\an2an3.......................................ann

(1)求相及物；

(2)记阳除以3的余数为4,cn=bnl+bn2+bn3++bnn,{5}的前w项为T“，求

4

1.D

【分析】根据一元二次不等式求出集合4进而根据集合的包含关系即可求解.

【详解】解：因为4=卜--3%+2<0}=卜|1<%<2},且8={x[l<x<a},

若A=8,贝Ua22.

故选：D.

2.B

【分析】先求出AB=（3,1）,再利用共线向量的坐标表示求实数％的值.

【详解】由题得43=（3,1）,

因为“〃A3，

2

所以32-2=0,，；1=一.

3

故选：B

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平，属于基础题.

3.D

【解析】利用等差中项与等比中项的性质求出。力，从而可得答案.

【详解】因为1，a,3成等差数列，1,b,4成等比数，

所以。=1±2=2,6=±A/W=±2,

2

所以，的值为±1,

b

故选：D.

4.B

【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.

2

【详解】双曲线V-]=1的两条渐近线的方程为y=±V3.r,

由直线>=底的斜率为山，可得倾斜角为三，

y=的斜率为-6,可得倾斜角为等，

JT

所以两条渐近线的夹角的大小为y,

故选：B.

5

5.D

【分析】根据奇函数的性质〃-x)=_/(x)即可求解.

【详解】由f(x)是奇函数得*T)=-/(X),又无20时，/(尤)=7-1,

所以/(in.=/(-In3)=-/(In3)=-(e2ln3-1)=-(eM-1)=-8.

故选：D

6.C

【分析】由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性，可得答案.

【详解】解：充分性：在ZkABC中，由。=%，可得NA=NB,所以4COSB=ZJCOSA,故充分性成立；

必要性：在△ABC中，由acos3=6cosA及正弦定理，可得sinAcos3=sin3cosA,

可得5也(4—8)=0,/4=/3,故。=6,必要性成立；

故可得：在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,则是“acosB=6cosA”的充分必

要条件，

故选C.

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，相对不难，注意正弦定理的灵活运用.

7.A

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①五门选修课放在2年选完，②五门选修课放在3年选完，由

加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①五门选修课放在2年选完，先将五门课程分为2组，再在三年中选出2年来学习，有C；xA；=60种安

排方法，

②五门选修课放在3年选完，先将五门课程分为3组，再安排在三年中选完，有等;A；=150

种安排方法，

则有60+150=210种安排方法.

故选：A.

8.D

【分析】设3c中点为T,ABC的外心为。「PBC的外心为仪，过点。1作平面A3C的垂线，过点。2

作平面PBC的垂线，两条垂线的交点0,则点。即为三棱锥尸-ABC外接球的球心，求出三棱锥尸-ABC

6

外接球的半径，假设球心到平面ABC的距离得答案.

【详解】解：设BC中点为T,ASC的外心为。一PBC的外心为过点。作平面ABC的垂线，过

点作平面P8C的垂线，两条垂线的交点0,

则点。即为三棱锥P-ABC外接球的球心，

因为ABC和一PBC都是边长为的正三角形，可得PT=AT=3,

因为平面平面A5C,AT±BCfATu平面A5C,平面PBCc平面ABC=5C,

所以AT_L平面尸3C,又PTu平面尸3C,所以AT_LPT,

XTO1=TO2=|AT=1,所以四边形。是边长为1的正方形，

22

所以外接球半径R=OP=y]00l+02P=V1+2=占，

所以M到平面ABC的距离dWR+OQ=小+1,

即点M到平面A3C距离的最大值为石+1.

故选：D.

9.BD

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出巧判断B,再由韦达定理判断A,根据复数的乘法

及共辗复数判断C,再由复数除法判断D.

【详解】因为玉=1+i且实系数一元二次方程f+px+2=0的两根为和弓,

22

所以再％=2,可得％=1=币=17，故B正确；

又占+%=l+i+l-i=2=-p,所以p=-2,故A错误；

由石=l+i,所以无「元2=d+i)2=2iw-2i,故C错误；

7

_l+i_(l+i)2_2i

故D正确.

三一匚一2一5

故选：BD

10.BD

【分析】对于ABC根据题意利用基本不等式分析判断；对于D,整理可得a+sinb=l-6+sin6,构建函

数/S)=l-8+sinb,6e(0,f,利用导数判断函数单调性，结合单调性分析即可判断.

【详解】因为a>b>0,Q+/?=1

对于A,因为a+后,当且仅当。=6时，等号成立，

2

但a>6>0,可得1>手迹，则(々+扬)2<2,

可得遍+扬<^，可知也不为G+VF的最大值，故A错误；

对于B,因为2?。+22b+1>20222"i=2也2。+2"1=2，

当且仅当22"=22"、即“=3=,5=1:时，等号成立，

44

所以22"+2妨+1的最小值为4啦，故B正确；

对于C,因为a+b=l,贝I](2a+6)+(a+2))=3(a+/?)=3,

贝

gp(2a+b)+(a+2b)=1

1+4_(2a+b)+(a+2分)(1+4)

2a+ba+2b32a+ba+2b

1a+2b4(2〃+Z?)1\a+2b~~4(2〃+Z?)

=-[--------+—---------+5]>-[2J--------x----------+5]=3,

32a+ba+2b3\2a+ba+2b

当且仅当咨=4(2“：?),即。=。，>=i时，等号成立，

2。+匕a+2b

14

这与题干不符，故3不为:；一-+一〒的最小值，故C错误；

对于D,由题意可知：a=l-b,bw(0,；),则a+sinb=l—h+sinb,

构建函数/S)=l-6+sinb,&e(0,1),贝|(b)=—l+cos6<。，在(0,g)内恒成立,

可知fS)在(0,1)内单调递减，则f(b)</(0)=1,

所以a+sin/?<l,故D正确；

故选：BD.

11.ABC

8

【分析】设直线/的方程为尤=7肛-2,不妨设机>0,联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达

2

出|4⑶=，1+〃八瓦一）|,\BC\=^l+m-y2,再由正弦定理得到?=*,得到*=-^,代入

两根之和，两根之积，列出方程，求出m=子，进而求出弘=46,根据|”|=冲|可判断A;根据

IAB\=J1+疗.n-%I=，1+加2知64/一64可判断B;根据

AFB=SACF-SBCF=|x|CF|x|J1-y2|=2|%-%|可判断C；根据对称性判断D.

【详解】解:由题意得，*2,0）,C（-2,0）,

当直线/的斜率为。时，与抛物线只有1个交点，不合要求，

故设直线/的方程为尤=〃9-2,不妨设机>0,

联立y2=8x,可得/一8〃少+16=0,易得A>0,

设A&,x2）,B（X2,y2）,则％>0,y2>0,

则M+%=8"7,%%=16,

222

则|A却=J1+mJ%-y2|,|BC|=y/l+m-|y2|=y/l+m-y2,

忸c|\AF\\AB\

由正弦定理得w

sinZCBFsinZCFBsinZABFsinZAFB

因为ZAFB=NCFB,NCBF+NABF=兀,

CFBC

AF国，

4=Jl+m?忸=良

AF2

llVl+m-|^-y2|I%

又由焦半径公式可知|”|=%+2=吆-2+2=7孙，

4/--------------

则嬴=V7'即如％=4%-4%=%/(%+%)-4%%，

,,vy\72

即16加=4V64m2—64，解得机=，

则M+%=I'',必必=16，解得*=4g，

^|AF|=myx==8,

当机<0时，同理可得到A同=8,故A正确;

9

|=yjl+m2.|-|=J1+疗•J64M—64

=Wlx$4q_64=R^=序,故B正确；

q—V-V

u.AFB~°ACF°BCF

=1x|CF|x|y1-y2|=2|y1-j2|

=2,64,川一64=2x/64义±—64=,故C正确；

V33

当机>0时，*=46，则%=if）=6,即A（6,4g）,

此时k；=6

由对称性可得，当〃z<0时，kAF=-V3,

故直线"的斜率为土道，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：

在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；

(1)常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；

(2)韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；

(3)抛物线定义结合焦点弦公式.

12.1

【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得了(无)为偶函数，可求得夕的值，代入求解即

可.

［详解］因为f(x)=sin(x+<p)+cos(x+夕)=&sin(x+夕+:),

又因为/(-x)=/(x),所以函数/(X)为偶函数，

即O+U+版,keZ,

42

10

■JI

：.(jr)=—+kll(kGZ),

所以tan。=tan(^+kit)=1(左£Z).

故答案为：1.

13.(2.25,4)

【分析】令r=6,只需要求『和丁即可得答案.

■、*即、hjjAi~r-t,t-0+1+2+3_I+2.98+5.01+7.01.

【详解】解：令t=G,贝卜=——-——=11.5,y=-----------------=4,

则"+a必经过点(2.25,4).

故答案为：(2.25,4).

14.—

3

【分析】根据偏导数的定义，分别求出对X偏导数和对y偏导数，再求出两个偏导数和的最小值.

【详解】依题意，

所以y)=2x-2y,草x,y)=-2x+3/，

贝°于;=2m-2n-2m+3n2=3n2-2n=3(n-；)?-g,

所以f：(m,”)+f；(m,n)的最小值是-g.

故答案为：-g

15.(1)证明见解析

(2)7

【分析】(1)根据题意结合面面垂直的判定定理即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可求解.

【详解】(1)在三棱柱ABC-中，四边形AACG是平行四边形，

而4c=44,,则平行四边形AACG是菱形，连接AC,如图，

则有ACLAG，

因_LAC】，ABcA[C=A],,4Cu平面

于是得AG，平面45C,

ii

而BCu平面ABC,则AG，8C,

由ZACB=90°,得AC人BC,ACnAC,=A,AC,AQu平面AACC」

从而得BC_Z■平面AACC[,

又BCu平面ABC,所以平面AACC1，平面ABC.

(2)在平面AACG内过C作Cz_LAC,

由⑴知平面A|ACC]_L平面ABC,平面AACC]c平面ABC=AC,Czu平面ACC[A1,

则G_L平面ABC,

以C为原点，以射线CA,CB,Cz分别为无，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图,

因NAAC=60°,AC=A4=4,BC=2,

则C(0,0,0),4(4,0,0),8(020),4(2,0,2港)，

P(2,0,0)则有3=(2,—2,2逝)，BP=(2,-2,0),

设平面34尸的一个法向量〃=(x,y,z),

用”-BA=2尤-2y+2石z=0有y=x

解得:

n-BP=2x-2y=0z=0

令X=1得几=(1,1,0),而平面aACG的一个法向量根=(0,1,0),

12

_..In-ml1J2

依题意，cos?i,m=L_J==

\n\\m\J22

设平面BAyP和平面aACC］的夹角的夹角是凡则cos。=|cosM,m|=显,

eJoA.\0=-f

_2j4

jr

所以平面BA1尸和平面AAC£的夹角是:

4

Q

16.(1)—

75

3

⑵(i)11.375万；(ii)分布列见解析，鼻

【分析】(1)根据题意可得旅游支出不低于10000元的有33人，结合古典概型概率公式即可求解；

(2)(i)根据题意可得〃=9,。=3,结合正态曲线的对称性即可求解；(ii)根据题意可得J所有

可能取值为0,1,2,3.结合二项分布求概率和均值即可求解.

【详解】(1)样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人，

所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，

两人旅游支出均不低于10000元的概率为尸=导=高高=*;

>11UUXWD

13。4u8-11641「2°…8y5c

(2)(i)计算了=lx----+3x---i-5x----i-7x----i-9x----bllx----i-13x----i-15x---=9

100100100100100100100100

所以〃=9,b=3,X服从正态分布N(9,32),

P(X>15)=P(X>9+2x3)=|x[l-P(9-6<X<9+6)]®1x(l-0.9545)=0.02275,

500x0.02275=11.375(万),

估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上;

(ii)由(i)知，A=9000,贝|P(X>9000)=g,

4的所有可能取值为0』,2,3.

P(^=0)=C°-(l-1)3=|,^=1)=C；4-(1-1)2=^

ZoZZo

产偌=2)=C.§)2m尸(—.(/=%

所以随机变量j的分布列为：

0123

13

1331

p

8888

1Q

均值为召(。)=3义5=万.

17.(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)求出了'(力，对。的取值分类讨论，即可得的单调性；

(2)借助(1)中结论得5>x-ln(l+x)=g(x),转化所证不等式，结合同角三角函数关系即可证明不

等式.

【详解】(1)由题知，函数八力的定义域为(-1,+。),

①当0<。<，时，有

22a

当x>---1或一1<%<0时，>0,当0<%<----1时，

2a2a

所以，/(x)在(-1,0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;

11丫2

②当〃=—时，有——1=0,尸(%)二0,

22a1+x

所以/(x)在(-1,+8)上单调递增;

③当时，W-i<--i<o,

22a

当x>0或时，r(x)>0,当:一l<x<0时，r(x)<0,

所以，/(x)在上单调递增，在上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

(2)由(1)知：当时，/(%)在(0,1)上单调递增，

所以，当xe(O,l)时，/(x)>/(O)=O,即3>x-ln(l+x)=g(x).

因为所以sina£(O,l),coscrG(0,1),

sin2cr+COS26Z£

所以g(sina)+g(coscr)<

22

22

18.⑴证明见解析；亍+1=1

14

⑵916

【分析】⑴设M(x,y),求出即和G8,的方程，联立可求证M，(x,y)在同一个椭圆上，并求得椭圆方程为

43

(2)求出直线AB的方程，分%=0和%工0两种情况讨论，求出上钻面积的表达式，换元，构造函数,

利用导数即可求解.

【详解】⑴⑴设”,y),又a1*。］,B,2,舁*卜=1,2,3,n-l),

则直线%:丫+出=叵》，①

H

直线GB,:y-^=-鱼x,②

2n

点MGy)的坐标是方程①②的解，①x②可得(y+百)(丁-百尸-1%2,

4

22

化简得工+二=1,

43

22

所以在同一个椭圆上，该椭圆方程为±+±=1.

43

(2)⑵设A(再,％),B(x2,y2),尸(为，为),如图所示：

则%；+y；=7,

切线刑方程为：芋+券=1,切线P8方程为：#+耳=1,两直线都经过点P,

4343

所以得：中+学=1,容+之普=晨从而直线的方程是：?尤+*丁=1,

434343

当%=0时，*=7

£=1

4得贝「为上工,

由，RAB|=|y

=1

143

15

当%wO时,

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43

由，22，消＞得：(4+21)炉—24/1+48—16y；=。,

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143

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由韦达定理，得：玉+无2=XxX2=

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二•ST皿旧营产E=”其中。＜2

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Q16

.••/（0在te（3,4]上单调递增，："⑺e（玄学.

「9161

综上所述，.R4B面积的取值范围是■

【点睛】关键点点睛：在第（2）中求出s=_l|A团/=、之驾.厘1=返适时，要用换元法及

22$+21币为+21

利用导数求函数的取值范围.

19.(l)m=2；%3=4。

九

”92》为偶数.

2

⑵&=

2为奇数.

2

【分析】（1）根据等差数列和等比数列基本量的计算即可求解根=2,进而可求解,

（2）根据4为%除以3的余数，对/分奇偶，结合等差数列求和公式，即可分类求解.

16

【详解】(1)由题意，可知%1=%1+机x(3-1)=2m+2,

，

%2=a3\m=(2m+2)m=2m(m+1),〃即=+mx(4-l)=3m+2,

=g。32+2，「♦3m+2=；x2m(m+1)+2,

化简整理，得"2—2机=0,解得机=0(舍去)，或机=2,

，叼=4+mx(5-1)=2+2x4=10,

22

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