吉林省大安市某中学2024届中考数学四模试卷含解析

吉林省大安市第三中学2024学年中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的

图形是（）

A•盒，僵*

4,4）.若反比例函数y=A在第一象限内的图象与△ABC

2.如图，△ABC的三个顶点分别为A(l,2)、B(4,2)、C(

X

有交点，则k的取值范围是()

0X

A.l<k<4B.2<k<8C.2<k<16D.8<k<16

3.如图，△ABC中，NC=90。，D、E是AB、BC上两点,将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，并

且DF〃BC,若CF=3,BC=9,则AB的长是()

CEB

2545

A.—B.15C.—D.9

44

4.有理数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

一।1g、

-5*-4-3-20*12345>

A.a>-4B.bd>0C.\a\>\b\D.b+c>0

5.为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表.则这

9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）

每周做家务的时间（小时）01234

人数（人）22311

A.3,2.5B.1,2C.3,3D.2,2

6.已知反比例函数y=±的图象在一、三象限，那么直线y=kx-k不经过第（）象限.

X

A.-B.二C.三D.四

7.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆锥B.四棱锥C.圆柱D.四棱柱

8.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

A.x>lB.史1且中3C./3D.l<x<3

10.已知M=9X2-4X+3,N=5X2+4X-2,则M与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能确定

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在。O中，AB是直径，点D是。O上一点，点C是的中点，CELAB于点E,过点D的切线交EC

的延长线于点G,连接AD,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,关于下列结论：①NBAD=NABC；②GP=GD；

③点P是4ACQ的外心，其中结论正确的是（只需填写序号）.

12.有一个正六面体，六个面上分别写有1〜6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3

的倍数的概率是.

13.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍

数的概率是—

14.如图，在正方形网格中，线段A，B^■以看作是线段AB经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，

写出一种由线段AB得到线段A，B，的过程

15.计算：|-5|-也=

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点。是坐标原点，点A的坐标（6,0）,3的坐标（0,8）,点C

的坐标「2小,4）,点M,N分别为四边形。43c边上的动点，动点M从点。开始，以每秒1个单位长度的速度

沿O-MTB路线向终点5匀速运动，动点N从。点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O-C—5—A路线向终点A

匀速运动，点拉，N同时从。点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为，秒（f

>0）,AOMN的面积为S.贝!J：A5的长是,5c的长是,当f=3时，S的值是.

17.因式分解：3x3-i2x=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，矩形ABC。中，E是AO的中点，延长CE,R4交于点尸，连接AC,DF.求证：四边形ACZ>F

是平行四边形；当C尸平分⑦时，写出与的数量关系，并说明理由.

19.（5分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如

图所示的两幅不完整的统计图:

求该班团员在这一个月内所发箴言的平

所发假门条数原形统计图

均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三

位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表

法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

20.(8分)综合与探究：

如图，已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,点A在x轴上，点B在y轴上，点在二次函数

13

y=——好+法+己的图像上.

32

(1)求二次函数的表达式；

(2)求点A,B的坐标；

(3)把4ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求4ABC扫过区域的面积.

21.(10分)某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和

1个B品牌的计算器共需210元.

(I)求这两种品牌计算器的单价；

(II)开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计

算器10个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算器需要yi元，购买x个B品牌的计算器需要yz

元，分别求出yi,y2关于x的函数关系式.

(III)某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明

理由.

22.(10分)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于

地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多

长？（材质及其厚度等暂忽略不计）.

23.（12分）如图，在AABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作OO,交BD于点E,连接CE,过D作

DF_AB于点F,ZBCD=2ZABD.

（1）求证：AB是。。的切线;

（2）若NA=60。，DF=求OO的直径BC的长.

24.（14分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB.

ZABE=ZEAD；若NAEB=2NADB,求证：四边形ABCD是菱形.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

根据：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着

某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可.

【题目详解】

选项A,是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；

选项B,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；

选项C,不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；

选项D,是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.

故选A

【题目点拨】

本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.

错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.

2、C

【解题分析】

试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y=月经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得

出结论.

•••△ABC是直角三角形，，当反比例函数y=V经过点A时k最小，经过点C时k最大，

x

Ak*^=1x2=2,k最大=4x4=1,/.2<k<l,故选C.

3、C

【解题分析】

由折叠得至UEB=EF,ZB=ZDFE,根据CE+EB=9,得至I]CE+EF=9,设EF=x,得至CE=9-x,在直角三角形CEF中,

利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内

错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长.

【题目详解】

由折叠得至UEB=EF,ZB=ZDFE,

在RtAECF中，设EF=EB=x,得到JCE=BC-EB=9-x,

根据勾股定理得：EF2=FC2+EC2,即x2=32+(9-x)2,

解得：x=5,

.♦.EF=EB=5,CE=4,

；FD〃BC,

:.ZDFE=ZFEC,

NFEC=NB,

，EF〃AB,

.EF_CE

故选C.

【题目点拨】

此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握

折叠的性质是解本题的关键.

4、C

【解题分析】

根据数轴上点的位置关系，可得a,b,c,d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案.

【题目详解】

解：由数轴上点的位置，得

a<-4<b<0<c<l<d.

A、a<-4,故A不符合题意；

B、bd<0,故B不符合题意；

C>V|a|>4,|b|<2,/.|a|>|b|,故C符合题意；

D、b+c<0,故D不符合题意；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了有理数大小的比较、有理数的运算，绝对值的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键

5、D

【解题分析】

试题解析：表中数据为从小到大排列.数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数.

所以本题这组数据的中位数是1,众数是L

故选D.

考点：1.众数；1.中位数.

6、B

【解题分析】

根据反比例函数的性质得k>0,然后根据一次函数的进行判断直线y=kx-k不经过的象限.

【题目详解】

•.•反比例函数y」=&的图象在一、三象限，

x

.,.k>0,

...直线丫=1~-14经过第一、三、四象限，即不经过第二象限.

故选：B.

【题目点拨】

考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=±（k为常数，

X

导0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系

数；写出解析式.也考查了反比例函数与一次函数的性质.

7、B

【解题分析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状

【题目详解】

解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了由三视图找到几何体图形，属于简单题，熟悉三视图概念是解题关键.

8、A

【解题分析】

观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.

【题目详解】

左视图有2列，每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

9、B

【解题分析】

由题意得，

x-l>0且x-3/O,

.,.x>l且毋3.

故选B.

10、A

【解题分析】

若比较M,N的大小关系，只需计算M-N的值即可.

【题目详解】

解：VM=9x2-4x+3,N=5x2+4x-2,

.*.M-N=(9X2-4X+3)-(5X2+4X-2)=4(X-1)2+1>0,

故选A.

【题目点拨】

本题的主要考查了比较代数式的大小，可以让两者相减再分析情况.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、②③

【解题分析】

试题分析：NBAD与NABC不一定相等，选项①错误；

；GD为圆O的切线，NGDP=NABD,又AB为圆O的直径，.\ZADB=90°,VCF1AB,/.ZAEP=90°,

/.ZADB=ZAEP,又NPAE=NBAD,AAAPE^AABD,AZABD=ZAPE,又NAPE=NGPD,AZGDP=ZGPD,

.-.GP=GD,选项②正确；

由AB是直径，则NACQ=90。，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心

了.RtZkBQD中，ZBQD=90°-Z6,R3BCE中，Z8=90°-Z5,而N7=NBQD,Z6=Z5,所以N8=N7,所以

CP=QP；由②知：Z3=Z5=Z4,贝！］AP=CP；所以AP=CP=QP,则点P是AACQ的外心，选项③正确.

则正确的选项序号有②③.故答案为②③.

考点：1.切线的性质；2.圆周角定理；3.三角形的外接圆与外心；4.相似三角形的判定与性质.

2

12、

3

【解题分析】

••・投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、

4、6共4种情况，

・••其概率是

63

【题目点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件

A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=亚.

n

1

13、—.

3

【解题分析】

分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可.

【题目详解】

有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片

21

上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是一=一.

63

故答案为g

【题目点拨】

考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14、将线段AB绕点B逆时针旋转90。，在向右平移2个单位长度

【解题分析】

根据图形的旋转和平移性质即可解题.

【题目详解】

解：将线段AB绕点B逆时针旋转90。，在向右平移2个单位长度即可得到A，B二

【题目点拨】

本题考查了旋转和平移，属于简单题，熟悉旋转和平移的概念是解题关键.

15、1

【解题分析】

分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案.

详解：原式=5-3

=1.

故答案为L

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

16、10,1,1

【解题分析】

作CZ>，x轴于Z>,CELOB于E,由勾股定理得出43=%再而7=1。，℃==1,求出5E=O5

-OE=4,得出OE=5E,由线段垂直平分线的性质得出5c=OC=1；当f=3时，N到达C点，M到达。4的中点,

0M=3,ON=OC=1,由三角形面积公式即可得出△OMN的面积.

【题目详解】

解：作CDLx轴于O,CE_LOB于E,如图所示：

由题意得：04=1,OB=Sf

,:ZAOB=9Q°f

'-AB=yJoA'+OB-=10；

•.•点C的坐标(-2石，4),

：.0C=«2肩+4?=1,OE=4,

；.BE=OB-0E=4,

：.OE=BE,

.*.5C=OC=1；当f=3时，N到达C点，M到达OA的中点，0M=3,ON=OC=\,

.♦.△OMN的面积S=-x3x4=l；

2

故答案为：10,1,1.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

17、3x(x+2)(x-2)

【解题分析】

先提公因式3x,然后利用平方差公式进行分解即可.

【题目详解】

3x3.I2x

=3x(x2-4)

=3x(x+2)(x-2),

故答案为3x(x+2)(x-2).

【题目点拨】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提

取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)BC=2CD,理由见解析.

【解题分析】

分析：(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE之4CDE,即可得至!]CD=FA,再根据CD〃AF,即可得出四边形ACDF

是平行四边形；

(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE,再根据E是AD的中点，可得AD=2CD,依据AD=BC,即可

得至I」BC=2CD.

详解：(1)二•四边形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,

/.ZFAE=ZCDE,

；E是AD的中点，

•*.AE=DE,

又；NFEA=NCED,

/.△FAE^ACDE,

.\CD=FA,

又；CD〃AF,

二四边形ACDF是平行四边形；

(2)BC=2CD.

证明：•；CF平分NBCD,

/.ZDCE=45O,

VZCDE=90°,

二ACDE是等腰直角三角形，

.\CD=DE,

：E是AD的中点，

.\AD=2CD,

VAD=BC,

.\BC=2CD.

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考

虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目

的.

7

19、(1)3,补图详见解析；(2)—

12

【解题分析】

⑴总人数=3+它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数

⑵列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可

【题目详解】

由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%,

故该班团员人数为：

3-25%=12(人)，

则发4条箴言的人数为：12-2-2-3-1=4(人)，

所以本月该班团员所发的箴言共2x1+2x2+3x3+4x4+1x5=36(条)，则平均所发箴言的条数是：36+12=3

发4条女女女男女女女男女女女男

7

由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为P=-^.

【题目点拨】

此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键

20、(1)y——x~4—xH—；(2)A(l,0),B(0,—2)；(3)—.

3622

【解题分析】

(1)将点代入二次函数解析式即可

(2)过点C作轴，证明8AoMACD即可得到。4==1,08=4。=2即可得出点A,B的坐标;

113

(3)设点E的坐标为E(帆—2)(m>0),解方程-弓加+彳根+：=-2得出四边形所为平行四边形，求出AC,

AB的值，通过A6C扫过区域的面积=$四边形MEF+SAEFC代入计算即可.

【题目详解】

解：(I)..•点在二次函数的图象上，

1,3

——X32+3Z?+-=-1.

32

解方程，得b=!

6

113

...二次函数的表达式为y=—x02+-%+-.

362

(2)如图1,过点。作。，大轴，垂足为。.

:.ZCDA=90°

.-.ZCAD+ZACD=90°.

ZBAC=90°,

.-.ZBAO+ZCAD=90°

:.ZBAO=ZACD.

在RtBAO和RtAACD中,

ZB0A=ZADC=9Q°

V<NBA。=ZACD,

AB=CA

BA0=^ACD.

•.•点C的坐标为(3,—1),

/.OA=CD=1,OB-AD=3—1=2.

.-.A(l,0),B(0,-2).

(3)如图2,把AABC沿x轴正方向平移,

当点3落在抛物线上点E处时，设点E的坐标为E(m,-2)(m〉0).

1137

解方程——m2+一加+—=一2得：相=一3(舍去)或加二—

3622

由平移的性质知，AB=EFAAB/IEF,

・•・四边形为平行四边形，

7

AF=BE=-

2

AC=AB=y/OB2+AO2=A/22+12•

ABC扫过区域的面积=S四边形AB"+SAEFc=O3-Ab+gAB-AC=2><g+g><J^xJ?=?.

【题目点拨】

本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三

角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质.

60x(0<%<10)

21、(1)A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；(2)yi=45x,y=_，。〜=、；(3)详见解

242%+180(%-10)

析.

【解题分析】

⑴根据题意列出二元一次方程组并求解即可；

⑵按照“购买所需费用=折扣x单价x数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0<x<10和x>10两种情况考虑；

⑶根据上问所求关系式，分别计算当x>15时，由y产y2、yi>y2,yiVy2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案.

【题目详解】

(I)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，

2a+3b=280

根据题意得，

3a+b—210

〃二50

解得：<

b=60

答:A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；

(II)A品牌：yi=50x*0.9=45x；

B品牌：①当0<x<10时，y2=60x,

②当x>10时，y2=10x60+60x(x-10)x0.7=42x+180,

综上所述：

yi=45x,

60x(0<x<10)

y2=[42x+180(x>10)；

(III)当yi=y2时，45x=42x+180,解得x=60,即购买60个计算器时，两种品牌都一样;

当yi>y2时，45x>42x+180,解得x>60,即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；

当yi〈y2时，45x<42x+180,解得xV60,即购买不足60个计算器时，A品牌更合算，

当购买数量为15时，显然购买A品牌更划算.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用.

22、44cm

【解题分析】

解：如图，

设BM与AD相交于点H,CN与A