2022-2023学年广东省四校联考高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知i为虚数单位，z=l+i,则z2-|z『=（）

A.0B.2-2zC.2i-2D.2i+2

2.（5分）已知集合用=国0〈济（x+1）<3},N={yly=sinxfxEM],则MGN=（）

A.[-1,1]B.（-1,1]C.（0,1]D.[0,1]

3.（5分）已知S〃为等差数列{〃〃}的前〃项和，若41=3,且S8=48，则419=（）

A.-15B.-18C.-21D.-22

4.（5分）已知向量:，b满足]-b=-2,且b=（1,V3）,记K为及在匕方向上的投影向量，则-"|=（）

A.4B.3C.2D.1

5.（5分）小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次

点数之和不大于8的概率为（）

19141

A.—B.—C.一D.一

202055

x2y2

6.（5分）已知双曲线C：---=1（«>0,/?>0）的左，右焦点分别为Fi,F2,O为坐标原点，过

尸1作C的一条渐近线的垂线，垂足为。，且切=2e|。£）|,则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.3

7.（5分）已知定义在R上的函数/（x）满足：/（x-1）关于（1,0）中心对称，/（x+1）是偶函数，且

/（-|）=1.则下列选项中说法正确的有（）

A./（X）为偶函数B.7（x）周期为2

C./（|）=1D./（x-2）是奇函数

8.（5分）已知实数x,y满足孙，则满足条件的y的最小值为（）

A.1B.eC.IeD.e2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）己知x>>>0,且则（）

A.x2>y2B.?-x<y2-yC.2A>2>?D.Inx+lnyX)

（多选）10.（5分）在平面直角坐标系无。），中,点尸（1,0）绕点O逆时针旋转a后到达点。（xo,yo）,

no

若cosa—VSsina=一变，则xo可以取（）

17V315V323

A.—B.——D.

2626~26~~26

（多选）11.（5分）已知点P是圆C：/+产=8上的动点，直线x+y=4与x轴和y轴分别交于A,B两点,

若△aiB为直角三角形，则点P的坐标可以是（）

A.（-2,-2）B.（-2,2）C.（1+M,1-V3）D.（1一技1+V3）

（多选）12.（5分）如图，已知圆柱母线长为4,底面圆半径为2百，梯形ABCZ）内接于下底面圆，CD

是直径，AB//CD,AB=6,过点A,B,C,。向上底面作垂线，垂足分别为Al,Bi,C\,点例,

N分别是线段CCi,AAi上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）

A.若平面DMN交线段BB1于点R,则NR〃DM

B.若平面过点Bi,则直线MN过定点

C.△ABQ的周长为定值

11

D.当点。在上底面圆周上运动时，记直线QA,Q8与下底面所成角分别为a,0,则——+—市的

tan2atan2p

取值范围是［|,另

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）“x<-1”是“/-1>0”的条件.

14.（5分）己知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运

动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人

数为.男生女生

15.(5分)在三棱锥O-ABC中，已知平面BCD_L平面ABC,ZCBD=90°,ZBCA=45",AB=2近,

BD=2,则三棱锥。-ABC的外接球的表面积为.

16.(5分)若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1,则称该子集

为数集S的超子集.已知集合(=｛1,2,3,…，n｝(neN\n>3),记A”的超子集的个数为a”，

则49=.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，平面以。，底面ABC。，S.PA=PD=AB

=4,ZBAD=60a,E为CQ的中点，F为AO的中点.

(1)证明：^。，平面尸底尸；

(2)求三棱锥8-PCE的体积.

P

18.(12分)已知函数/'(x)=2simccosx+6⑸层》—cos2x).

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)在锐角△4BC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,若a=2,f(A)=V3,求△ABC周长的

最大值.

19.(12分)设数列｛a”)的前〃项和为S”，且满足%=2与-15€寸).

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

a

(2)解关于n的不等式：cijC*+a2C„+a3C^+a4^n+…+n+i^n<2023.

20.(12分)某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不

重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十

名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最

后一支球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负.

(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的

概率分别是0.4,0.5,0.6,甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6,则丁队进入复赛的概率是多少？

(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获

1

胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为设比赛结束时乙队

获胜的局数为X,求X的概率分布列与均值.

21.(12分)设点厂为抛物线C：f=2py(p>0)的焦点，过点F且斜率为近的直线与C交于A,8两点

ShA0B=2V6(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为％,七的直线/1,/2,它们分别与抛物线C交于点P,。和R,

S.己知|EP|・|EQ|=|ER|,|ES|,问：是否存在实数入，使得汽+乂2为定值？若存在，求入的值，若不存在，

请说明理由.

22.(12分)已知函数f(x)=sinitr-3(x-1)In(JC+1)-m.

(1)当，〃=0时，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在［0,1］上存在两个零点XI,X2,证明：|与一乂2131一患・

20222023学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二(下)期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知i为虚数单位，z=l+i,则z2-|z『=()

A.0B.2-2zC.2i-2D.2i+2

【解答】解：z=l+i,

则/=(1+i)2=2Z,\Z\=Vl2+l2=V2,

^z2-|z|2=2i-2=-2+2z.

故选：C.

2.(5分)已知集合M={x|0〈加(x+1)<3},N={y|y=sinx,xeM},则MGN=()

A.[-1,1]B.(-1,1]C.(0,1]D.[0,1J

【解答】解：ov加(x+1)<3,

则/〃lV/及(x+l)V加

故l〈x+lVe3,解得0<工</-1,

所以N={y|y=sinx,xEM}=(y|-lWyWl},

故MAN=(0,1J.

故选：C.

3.(5分)已知S〃为等差数列{〃〃}的前〃项和，若。1=3,且§8=。8,则〃19=()

A.-15B.-18C.-21D.-22

【解答】解：等差数列{板}中,m=3,且S8=〃8,

所以8X3+28d=3+7d,

所以d=-\,

则ai9=m+18d=3-18=-15.

故选：A.

4.(5分)已知向量亡b满足],b=-2,且b=(1,V3),记”为之在b方向上的投影向量，则-c\=()

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：：在b方向上的投影向量为:

T

|a|cos<tt/b>--^-=\a\-—?

\b\\a\\b\\b\

1/3

~2f-T

HP|T/1百L,TT33V3

即c=(-2，-T),故b-c=(一，---),

22

则|b-c\=

故选：B.

5.(5分)小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次

点数之和不大于8的概率为()

19141

A.—B.—C."D.一

202055

【解答】解：基本事件共盘废盘=120利

三次点数之和不大于8包括{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4}共4玛=24种，

故P—4-工

取~120-5.

故选：D.

x2y2

6.(5分)已知双曲线C--yr=1(tz>0,b>0)的左，右焦点分别为Fi,Fz,0为坐标原点，过

a2b2

Fl作C的一条渐近线的垂线，垂足为。，且|£>尺|=2夜|0。|,则C的离心率为()

A.V2B.2C.V5D.3

【解答】解：由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为}=—焦点Fi(-c,0),Fi(c,

0),

由Fi作该渐近线的垂线，则根据点到直线的距离公式可得：\DF\\=b,\OD\=Vc2-b2=a,

；.|。尸2|=2伍，

一/口a2+c2-b2a2+c2-8a2

由cosZFiOD=-COSZ£>OF2可得：---------+-----------=0,

2ac2ac

可得c2=5a2,则离心率e=4.

故选：C.

7.(5分)已知定义在R上的函数/(x)满足：/(x-1)关于(1,0)中心对称，/(x+1)是偶函数，且

/(-|)=1.则下列选项中说法正确的有()

A.f(x)为偶函数B.f(x)周期为2

C.f©=1D./(x-2)是奇函数

【解答】解：由f(x-1)关于(1,0)中心对称，可得1)+f(2-x-1)=0,

即为1)V。-x)=0,即有/(-x)=-f(x),即/(X)为奇函数，故4错误；

由f(x+l)是偶函数，可得/(-x+1)=f(x+l),

即为/(-x)=/(x+2),

所以/G+2)=-f(x),

则f(x+4)=-于(x+2)=f(x),

所以/(工)的周期为4,故8错误；

9913a

由/(：)=/(--4)=/(-)=/(-)=7,故。错误；

ZZLZ乙

由/(x-2)=f(x+2)=--(7-2),可得/(工-2)为奇函数，故。正确.

故选：D.

8.(5分)已知实数居y满足"=>/〃/+)，仇y,则满足条件的y的最小值为()

A.1B.eC.2eD.e2

【解答】解：由实数x,y满足/=)也x+y/〃y，可化为"=y/〃(xy)(x>0,y>0,xy>\),即入/=孙加

(孙)=lnCxy)9eln(xy\

构造函数g(x)=xex,(x>0),g'(x)=(x+1)",

当xE(0,+°°)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

即g(x)=gUn(孙))，可以得到(町)，

从而'=三,构造函数/0)=三0〉0)，

力'(X)=丝令“(X)=0可以得到X=1,

当(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

当xe(1,+8)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

从而当x=l时，h(x)取最小值〃(1)—e,即y有最小值e.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)己知x>y>0,且x+y>l,则()

A.xz>yB.x2-x<y2-yC.21〉2〉D.Inx+lnyX)

【解答】解：对于A,因为x>y>0,所以即选项A正确；

对于B,不妨取x=2,y=1,则x2-x=4-2=2,y2-y=1-1=0,此时x2-x>y^-y,即选项B错误;

对于C,因为函数y=2"单调递增，所以2、>2匕即选项C正确；

对于£）,不妨取x=2,y=则/〃x+济y=/〃（xy）=ln（2xi）=/〃l=0,即选项。错误.

故选：AC.

（多选）10.（5分）在平面直角坐标系宜刀中，点P（1,0）绕点。逆时针旋转a后到达点Q（刈，yo）,

no

若cosa—Vasina=―变，则xo可以取（）

17

.n^315V3门23

A.-B.---C.---TTT-D.-777-

26262626

【解答】解：因为cosa—/5s讥a=—所以2cos（a+1）=—即cos（a+与）=一言，

当a+与是第二象限角时，sin（a+5）=Jl—（―T^）2=

7T7T71冗7T411141‘吾V31

所以cosa=cos[（a+亍）—-5-1=cos（a+亍）cos-+sin（a+与）sin-=——x-4----x-=一,

33」333313213226

所以xo=cosa=X；

当a+等是第三象限角时，sin(a+5)=—/1—(~~vi)2=-

所以cosa=cos[(a+5)—5]=cos(a+5)cos-4-sin(a+5)sin-=

92

所以xo=cosa=-57；,

综上，xo的可能取值为三或-要

2626

故选：AD.

（多选）11.（5分）已知点尸是圆C：，+y2=8上的动点，直线x+），=4与x轴和y轴分别交于A,B两点,

若△出B为直角三角形，则点P的坐标可以是（）

A.(-2,-2)B.(-2,2)C.(1+V3,1-V3)D.(1-V3,1+V3)

【解答】解：由题可得A（4,0）,B（0,4）,设尸（x,y）,

当为直角时，AP=(x-4,y),AB=(-4,4),

：.AP-AB=0,

即(x-4)X(-4)+4y=0,即元-y-4=0,

又f+y2=8,:：2，•,•此时尸(2,-2)；

当/A8P为直角时，BP=(x,y-4),AB=(-4,4),

：.BP-AB=0,

即(-4)x+4(y-4)=0,即工-)叶4=0,

又/+V=8,二.•.此时尸(-2,2)；

当NAPB为直角时，AP=(x-4,y),BP=(%,y-4),

*：AP•晶=0,

QPx(x-4)+y(y-4)=0,即x2-4x+y2-4y=0,

又,+y2=8,.•.卜=1一组或卜=1+/1,.•.此时P(1-VX1+国)或(1+百，1一百).

-(y=1+V3[y=1-V3

故选：BCD.

(多选)12.(5分)如图，己知圆柱母线长为4,底面圆半径为2次，梯形ABC。内接于下底面圆，CD

是直径，AB//CD,AB=6,过点A,B,C,〃向上底面作垂线，垂足分别为Ai,B\,C\,D\,点M,

N分别是线段CO,AAi上的动点，点Q为上底面圆内(含边界)任意一点，则()

A.若平面。交线段881于点R,则NR〃OM

B.若平面OMN过点Bi,则直线MN过定点

C.△ABQ的周长为定值

11

D.当点。在上底面圆周上运动时，记直线QA,Q3与下底面所成角分别为a,p,则hh+h工的

tan^atan£p

取值范围是质刍

【解答】解：A：由题可得。C〃AB,ABu面AB81A1,OCC面ABBiAi,故。C〃面ABB1A1；

XCC\//BB\,BBiu面ABBiAi,CCiC面ABB1A1,故CCi〃面A8B1A1；

DCACCi=C,DC,CCiu面DCCiDi,故面GCC£>1〃面ARB1A1；

XDAYa®DCCiDi,故。例〃面A8B1A1；

XDMcffiDMN,面。MNC面故可得力M〃NR,故A正确；

B：根据题意，DBi,MN共面，

又M、N分别为CCi,AAi上的动点，故直线MNu面ACC1A1；

不妨设直线DB\与平面ACCiAi的交点为P,

若要满足081与MN共面，则直线MN必过点尸，又尸为定点，故3正确；

C：设△ABQ的周长为/,

当点。与Bi重合时，，=AB+BBi+=6+4+y/AB2+BB2=10+。36+16=10+2713；

当点。与AiBi中点重合时,连接BQ,AQt

此时l=AB+BQ+AQ=AB+2BQ=6+2J&AB)2+16=6+2、9+16=6+10=16；

显然△AB。周长不为定值，故C错误；

D：过。作底面垂线，垂足为E,且在下底面圆周上，即QE,面A8CZ),

连接BE,AE,则/QBE,N04E分别是直线QA,QB与下底面所成的角,

e.QEAE.°QE门BE

・・sina=%，cosa=而，sin0=胡，cos0=的，

"OsaAEcosBBE

则----=—,--=—,

sinaQEsinpQE

…cos2acos2BAE2+BE2

则-----+------=---------,

sin2asin2(iQE2

；QE=4,AB=6,底面圆半径为2次，

若在对应优弧上时，NAEB=g则cosNAEB=

EA8DZ慧/1C-DDL

.'.AE^+BE2-AE'BE=36>—当且仅当AE=BE=6时，等号成立，此;时4后2+8£；2<72,

皿।/AE2+BE2-AB2

若E在48对应劣弧上时，等,贝Ucos/AEB=-近说一=

AEr+BE^+AE'BE=36<乳店：时）,

当且仅当AE=BE=2旧时等号成立,

此时AE2+BE2-24,

3AE2+BE29

综上24<8屏+8炉或72,-<

2QE2

2+cos^=AE2BE239

故・+故£）正确.

sin2asin2pQE2l22

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。

13.（5分）“x<-1"是1>0”的充分不必要条件.

【解答】解析：1>0=X>1或x<-1,故x<-1=>?-1>0,

但？-1>0不能得出x<-1,

...“尤<-1”是1>0”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

14.（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运

动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人

,喜欢徒步

口不喜欢徒步

数为9.

【解答】解:由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有500X0.6=300人，喜欢徒步的女生有450X0.4

=180人.

故喜欢徒步的总人数为300+180=480人.

180

按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为=x24=9人.

480

故答案为：9.

15.（5分）在三棱锥O-4BC中，已知平面BCDJ_平面ABC,ZCBD=90°,ZBCA=45°,AB=272,

BO=2,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为20TT.

【解答】解：如图所示：

三棱锥。-A8C中，已知平面BCD_L平面ABC,ZCBD=90°,

所以BDLBC,

故8。_L平面ABC,

故

ZBCA=45°,AB=2vL80=2,

AD2

在—BC中，有2氏=而旃=2夜x我=4，

所以外接圆的半径为2,

由于平面BCD_L平面A8C,且其交线为BC,

所以8O_LBC,故8。J_平面ABC,

所以三棱锥。-ABC的外接球的半径为,=J(空>+R2=芯,

故外接球的表面积S=4-7T-(V5)2=207r.

故答案为：20ir.

16.(5分)若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1,则称该子集

为数集S的超子集.已知集合4=｛1,2,3,…，n)(neW,n>3),记A”的超子集的个数为a”，

则a9—79.

【解答】解：集合｛1,2,3,…，k,k+1,k+2](%€N*)的超子集可以分为两类：

第一类中不含有好2,这类子集有公+i个，

第二类子集中含有％+2,这类子集为｛1,2,3,.…，身的超子集与伙+2｝的并集，共有次+%个，

•*.ak+2—ak+i+ak+k,

"."ai=1,04=3,

:.a5=I,46=14,<77=26,48=46,<79=79.

故答案为：79.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)如图，在四棱锥P-A8CD中，底面为菱形，平面B4£>_L底面A8CD,且%=PO=AB

=4,/64。=60°,E为C。的中点，/为4。的中点.

(1)证明：

(2)求三棱锥B-PCE的体积.

P

【解答】(1)证明：连接AC,如图所示，

因为底面ABCD为菱形，所以ACLBD,

又因为E为8的中点，F为4。的中点，所以E/〃AC,所以

因为必=P。，F为AQ的中点.所以PF_LAQ,

又因为平面胆。，底面A8CD,平面以OC底面ABCZ)=A。，

所以PAL平面A8CZ),

又因为BOu平面ABC。，所以

HEFCiPF=F,EFu平面「EF,PFu平面PEF,

所以8。_1平面尸";

(2)解：A8=BC=4,CE=#D=2,ZBCE=60°,

所以SABC£=*C・CE・sin60°=:x4X2x堂=2k，

F5

又因为B4=P£)=AQ=4,所以尸尸=苧4£>=2遮，

所以三棱锥B-PCE的体积为：

11

V极锥BPCE=V:棱锥pBCE=0"CE・PF-可X2-/3X2-73=4.

AB

18.(12分)已知函数/(x)=2sinxcosx+V5(sin2x-cos?%).

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)在锐角△ABC中，角4,B,C所对的边分别为小b,c,若a=2,/'(4)=k，求△ABC周长的

最大值.

【解答】解：⑴/(x)=sin2x-V3cos2x=2sin(2x-5),

函数的最小正周期为T=当=兀，

由2/OT—<2x—<2/OT+得卜兀-^2WxWkn+

即函数/(X)的单调递增区间为出兀一金，卜兀+驾］,kez；

(2):/⑷=2sin(24-卞=%，

•*.sin(2.A—可)——~2~,

因为0V4,，

所以一W<24-可V'，

所以24—尹申

・・・”4=可兀

又a=2,由余弦定理可得tr+c1-a2=2bccosA=bc,

即(b+c)2-2bc-4=姐

则(b+c)2=3bc+4〈3(♦c)2+4,则鱼包<4,

44

.•.b+cW4,

/.a+h+cW6,

所以△ABC周长最大值为6.

19.(12分)设数列｛板｝的前〃项和为S〃，且满足Sn=2an—l(7iWN*).

(1)求数列伍〃｝的通项公式；

(2)解关于n的不等式：a©+a2Cn+g鬣+a©+…+an+1C„<2023.

【解答】解：(1)由%=20n—1(几EN*)知当〃22,有S〃J=2MI-1,

—•式相减得Qn—2.Cln~-1,即〃/z=2。〃-1,

又S\=2a\-\=a\，解得m=1,

所以数列｛检｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以an—2"1；

(2)结合(1)知原式=lx4+2x*+2?x鬣+23x鬃+…+2"x册=(1+2)"=3",

由于3"随着"的增大而增大，

且36=729<2023,37=2187>2023,

所以正整数”最大可取6,

即原不等式的解集为｛川"W6,〃6N*｝.

20.(12分)某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不

重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十

名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最

后一支球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负.

(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的

概率分别是0.4,0.5,0.6,甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6,则丁队进入复赛的概率是多少？

(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获

胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为点设比赛结束时乙队

获胜的局数为X,求X的概率分布列与均值.

【解答】解：(1)依题意，记丁队进入复赛的事件为A,丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙

队，记为事件Ai,

第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件42,甲队战胜乙队记为事件8,

则P(4)=0.6,P(B)=0.6,P(B)=0.4,P(A2\B)=0.5,P^A2\B')=0.4,

因此P(42)=P(B)P(42|B)+P(B)P(712|B)=0.6X0.5+0.4X0.4=0.46,

所以P(A)=P(Ai)P(A2)=0.6X0.46=0.276.

(2)依题意，X的可能值为0,1,2,3,

P(X=0)=Cfx(1-1)3=务P(X=1)=Cjx(J)x(l-i)2=探

P(X=2)=盘X(i)2x(l-i)P(X=3)=1—P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=奈，

所以X的概率分布列为：

X0123

P881627

27278181

数学期望为E(X)=0x捺+1x另+2x盖+3x奈=

21.(12分)设点F为抛物线C：*=2py(p>0)的焦点，过点尸且斜率为强的直线与C交于A,8两点

ShA0B=2V6(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为％,上的直线/1,/2,它们分别与抛物线C交于点P,Q和七

S.已知|EP|・|EQ|=|ER|・|ES|,问：是否存在实数入，使得幻+人心为定值？若存在，求人的值，若不存在，

请说明理由.

【解答】解：(I)抛物线C：f=2py(p>0)的焦点为尸(0,^),

直线A8的方程尸遍x+与

由？=国+*得，2周厂/=0,

lx2=2py

设A(xi,yi),B(X2,”)，

所以Xl+X2=2V5p,X\X2=-/72,

所以|xi-X2|=d+%2)2—4%1》2=J20P2+4P2=2显p,

所以SMOB=^\OF\\x\-X2\=x2x2V6p=2V6,p>0,

所以p=2,

所以抛物线C的方程为f=4y.

(2)存在入=1,使得总+忒2为定值，

由题意可得直线/1的方程y=%x+2,直线/2的方程为y=A»+2,

联立”“广+2,得4所x-8=0,

设尸(X3,”)，Q(X4,丁4),

所以％3+冗4=4内，X3X4="8,

\EP\=J17IJ|X3|,\EQ\=Jl+TJw，

所以|EP|・|EQ|=8(1+好),

设R(元5,”)，S(x6,y6),

同理可得X5+X6=4%2,R5X6=-8,

所以|ER|,|ES|=8（1+必），

由|£P|・|EQ|=|ER|・|ES|,得8（1+幅）=8（1+后）,

即般=用,而内WQ,

所以ki+k2=o,

所以存在入=1,使得％1+忒2为定值0.

22.(12分)已知函数f(x)=sinnx-3(x-1)In(x+1)-m.

(1)当机=0时，求曲线y=/(x)在点(0,.「((I))处的切线方程；

(2)若f(x)在［0,1］上