2022-2023学年浙江省宁波市初三年级下册期末六校联考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省宁波市初三下学期期末六校联考数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是()

A.y=-2(x+1)2+1B.y=-2(x-1)2+1

C.y=-2(x-1)2-1D.y=-2(x+1)2-1

2.计算4+(-2)2x5=()

A.-16B.16C.20D.24

3.如图，在矩形ABCD中，连接BD,点O是BD的中点，若点M在AD边上，连接MO并延长交BC边于点M，,

连接MB,DM，则图中的全等三角形共有()

A.3对B.4对C.5对D.6对

4.一元二次方程炉―2%=0的根是()

A.%=-2B.X]=1,X2=2

C.%-1,=-2D.%—0,%2=2

5.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在AABC处的处，折痕为OE.如果ZA=«,ZCEA'=0,

=那么下列式子中正确的是()

A.y=2a+f3B./=tz+2/7C.y=a+/3D.7=180-a-(3

6.2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别

为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）

A•二=二（7+8JX+9附B.二=二"+&9K

C二=二。+5.史联！一夕5笆D.二=二0+2）建；（1一”河

7.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（）

8.将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（）

9.nABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.ZBAE=ZDCF

10.在如图的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是（）

11.如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置.如果△ABC的面积为10,且sinA

=好，那么点C的位置可以在（）

5

A.点Ci处B.点C2处C.点C3处D.点C4处

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点C,B,E在y轴上，RtAABC经过变化得到R3E。。，若点8的坐标为（0,

B.AABC绕点C逆时针旋转90。，再向下平移5个单位长度

C.△ABC绕点。顺时针旋转90。，再向左平移3个单位长度

D.AA5C绕点。逆时针旋转90。，再向右平移1个单位长度

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，△ABC的面积为6,平行于BC的两条直线分别交AB,AC于点D,E,F,G.若AD=DF=FB,则四边

形DFGE的面积为.

14.如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则N1的度数为

15.已知x=2是关于x的一元二次方程kx?+(k2-2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为.

16.因式分解：3/—12=.

17.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则

所容两长方形面积相等”这一推论，如图所示，若SEBMF=L则SFGDN=.

18.16的算术平方根是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,

再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.

20.(6分)如图，一次函数丫=1«+1)的图象与反比例函数y=”(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(—4,

0),与y轴交于点C,PBJ_x轴于点B,点A与点B关于y轴对称.

(1)求一次函数，反比例函数的表达式；

(2)求证：点C为线段AP的中点；

(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存

21.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线=：-二-二与二轴交于点A,顶点为点B,点C与点A关于抛物

线的对称轴对称.

-5-i44

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为1.将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图象G,若图象

G向下平移二（二：二）个单位后与直线BC只有一个公共点，求二的取值范围.

22.（8分）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E为BC上一点，BE：CE=3：2,连接AE,点P从点A出发,

沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF/7BC交直线AE于点F.

⑴线段AE=；

⑵设点P的运动时间为t（s）,EF的长度为y,求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

⑶当t为何值时，以F为圆心的。F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时。F的半径.

23.（8分）在汕头市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，电子白板

的价格是电脑的3倍，购买5台电脑和10台电子白板需要17.5万元，求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

24.（10分）如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.

（1）求证：△ADE-AABC；

（2）当AC=8,BC=6时，求DE的长.

B

25.(10分)“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机

抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A,B,C,D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统

计图.(说明：A级：8分-10分，B级：7分-7.9分，C级：6分-6.9分，D级：1分-5.9分)

根据所给信息，解答以下问题：

(1)在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是____度；

(2)补全条形统计图；

(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在____等级；

(4)该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？

26.(12分)如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),点B(月，0),连接AB,若对于平面内一点C,

当4ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”.

(1)在点Ci(-2,3+272)，点C2(0,-2),点C3(3+6，-6)中，线段AB的“等长点”是点

(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”，且NDAB=60。，求点D的坐标；

(3)若直线y=kx+3j^k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围.

27.(12分)如图，△ABC是。。的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDCE

为菱形.

(1)求证：AC=CE；

(2)求证：BC2-AC2=AB«AC；

(1)已知。。的半径为1.

AR5

①若丁=巳，求BC的长；

AC3

AR

②当「为何值时，AB・AC的值最大?

AC

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

\•函数y=-2x2的顶点为(0,0),

...向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为(1,1),

将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2(x-1)2+1,

故选B.

【点睛】

二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛

物线的顶点.

2、D

【解析】分析：根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题.

详解：4+(-2)2X5

=4+4x5

=4+20

=24,

故选：D.

点睛：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法.

3,D

【解析】

根据矩形的对边平行且相等及其对称性，即可写出图中的全等三角形的对数.

【详解】

图中图中的全等三角形有AABM之△CDM，，△ABD^ACDB,△OBM^AODM,,

△OBM'丝△ODM,△M'BMg△MDM',A故选D.

【点睛】

此题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟知矩形的对称性.

4、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：「，->=。，

因此工=0或-2=0,所以:=I三=二.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

5、A

【解析】

分析:根据三角形的外角得：ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',代入已知可得结论.

详解：

由折叠得：ZA=ZA',

,:ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',

VZA=a,ZCEAf=p,ZBDA'=y,

ZBDA'=Y=a+a+P=2a+p,

故选A.

点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.

6、C

【解析】

根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,求出2014年我省财政收入，再根据出2015

年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

即可得出a、b之间的关系式.

【详解】

V2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,

...2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元，

V2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

...2015年我省财政收为b=a(1+8.9%)(1+9.5%)；

故选C.

【点睛】

此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题.

7、B

【解析】

根据左视图的定义，从左侧会发现两个正方形摞在一起.

【详解】

从左边看上下各一个小正方形，如图

0

故选B.

8、A

【解析】

分析：面动成体.由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转.

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A.

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转.

9、B

【解析】

【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.

【详解】A、如图，I•四边形ABCD是平行四边形，；.OA=OC,OB=OD,

；BE=DF,，OE=OF,...四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；

B、如图所示，AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意;

C、如图，•.•四边形ABCD是平行四边形，，OA=OC,

VAF//CE,/.ZFAO=ZECO,

XVZAOF=ZCOE,.,.△AOF^ACOE,.*.AF=CE,

.•.AF〃CE,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意;

D、如图，：四边形ABCD是平行四边形，；.AB=CD,AB//CD,

.\ZABE=ZCDF,

XVZBAE=ZDCF,.'.△ABE四△CDF,/.AE=CF,ZAEB=ZCFD,ZAEO=ZCFO,

/.AE//CF,

AAE//CF,.•.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.

10、A

【解析】

函数一一次函数的图像及性质

11、D

【解析】

如图：

；AB=5,SAABC=10,DC4=4,；sinA=，二@=生=±,二AC=46,

55ACAC

22

在RTAADC4中，DC4=4,AD=8,AC4=78+4=4逐，故答案为D.

12、C

【解析】

RtAABC通过变换得到RtAODE,应先旋转然后平移即可

【详解】

；RtAA3c经过变化得到RSE。。，点3的坐标为（0,1）,OD=2,

：.DO=BC=2,CO=3,

...将△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度，即可得到^DOE；

或将△ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度，即可得到小DOE；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1.

【解析】

先根据题意可证得△ABCsaADE,aABC^AAFG,再根据AABC的面积为6分别求出△ADE与△AFG的面积,

则四边形DFGE的面积=SAAFG-SAADE.

【详解】

解：VDE/7BC,,

・•・△ADEs△ABC,

VAD=DF=FB,

舁些=(—)i,即^^=(-)1,.*.SAADE=-

LBCAB633

；FG〃BC,/.AAFG^AABC,

薨=(崇'即常中…w

o7

四边形DFGE=SAAFG-SAADE=.故答案为:

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.

14、60°

【解析】

先根据多边形的内角和公式求出正六边形每个内角的度数，然后用正六边形内角的度数减去正三角形内角的度数即可.

【详解】

(6-2)xl80°-r6=120°,

Zl=120°-60°=60°.

故答案为：60。.

【点睛】

题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(无2)X180。是解答本题的关键.

15、-1

【解析】【分析】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0,再解关于k的方程，然后根据一元二次

方程的定义确定k的值即可.

【详解】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0,

整理得k2+lk=0,解得ki=0,kz=-1,

因为导0,

所以k的值为-1.

故答案为：-L

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

16、3(x-2)(x+2)

【解析】

先提取公因式3,再根据平方差公式进行分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】

原式=3(x2-4)=3(x-2)(x+2).

故答案为3(x-2)(x+2).

【点睛】

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.

17、1

【解析】

根据从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等得SEBMF=SFGDN,得SFGDN.

【详解】

SEBMF=SFGDN>SEBMF=1>SFGDN=1-

【点睛】

本题考查面积的求解，解题的关键是读懂题意.

18、4

【解析】

正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0;负数没有平方根也没有算术平方根

•.•(±4)2=16

••.16的平方根为4和-4

.--16的算术平方根为4

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

19、(1)—(2)—

416

【解析】

试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率.

试题解析：

1234

11.12,13,14,1

21,22,23,24,2

31,3233,34,3

41,42,43,44,4

41

(1)P(两次取得小球的标号相同)=—=-；

164

3

(2)P(两次取得小球的标号的和等于4)=—.

16

考点：概率的计算.

20、(1)y=，+l.(2)点C为线段AP的中点.(3)存在点。，使四边形3CP。为菱形，点O(8,1)即为所

求.

【解析】

试题分析：(1)由点A与点B关于y轴对称，可得AO=BO,再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标,

将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b

的值，确定出一次函数解析式；⑵由AO=BO,PB/7CO,即可证得结论；(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD

为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E,交反比例函数y=的图象于点D,分别连结PD、BD,如图所

示，即可得点D(8,1),BP±CD,易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐

标.

试题解析：

(1),••点A与点5关于y轴对称，

：.AO=BO,

VA(-4,0),

；.5(4,0),

，尸(4,2),

把P(4,2)代入尸二得加=8,

...反比例函数的解析式：y=

把4(一4,0),尸(4,2)代入尸质+)

得；匕二3二解得：匚;；

——2

所以一次函数的解析式：y=^x+l.

4

(2)•••点A与点5关于y轴对称,

：.OA=OB

轴于点8,

:.ZPBA=9Q°,

VZCOA=90°,

J.PB//CO,

，点C为线段AP的中点.

(3)存在点O,使四边形3CPZ)为菱形

••,点C为线段AP的中点，

BC=二二=二二，

.•.5C和PC是菱形的两条边

由y=*+l,可得点C(0,1),

过点C作CD平行于x轴，交于点E,交反比例函数了=一二的图象于点，

分别连结尸。、BD,

：.PE=BE=1,

.•.CE=Z>E=4,

...PB与CZ)互相垂直平分,

二四边形BCPD为菱形.

...点O(8,1)即为所求.

21、(1)口=汩+/(2)/<g.

【解析】

试题分析：（1）首先根据抛物线=二二一求出与二轴交于点A,顶点为点B的坐标，然后求出点A关于抛物线

的对称轴对称点C的坐标，设设直线BC的解析式为二-ZZ-Z.代入点B,点C的坐标，然后解方程组即可；（2）

求出点D、E、F的坐标，设点A平移后的对应点为点二，点D平移后的对应点为点二.当图象G向下平移至点二与

点E重合时，点-在直线BC上方，此时t=l；当图象G向下平移至点与点F重合时，点：在直线BC下方，此时

t=2.从而得出一SS

试题解析：解：（1）•••抛物线一二：二：-二一一与一轴交于点A,

*

.•.点A的坐标为（0,2）.1分

:二二:二—二=4：Z-J：;+S

•1*•

...抛物线的对称轴为直线：=；,顶点B的坐标为（1,9.2分

.

又•.•点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

.•.点C的坐标为（2,2）,且点C在抛物线上.

设直线BC的解析式为二二二二一二

•直线BC经过点B（1,3和点C（2,2）,

.

•••;二-二二=解得［二

、一0■MM/.

二直线BC的解析式为

口・：口+1.2分

(2)•.•抛物线=「二-二中，

当二二二时，二:5,

，点D的坐标为(1,6).1分

•.•直线--中，

当二=.•时，-

当二时，二二二,

二如图，点E的坐标为(0,1),

点F的坐标为(1,2).

设点A平移后的对应点为点二；点D平移后的对应点为点二.

当图象G向下平移至点二与点E重合时，点二,在直线BC上方，

此时t=l；5分

当图象G向下平移至点与点F重合时，点在直线BC下方，此时t=2.

6分

结合图象可知，符合题意的t的取值范围是：二盘.7分

考点：1.二次函数的性质；2.待定系数法求解析式；2.平移.

5-1r(0</<4)

22、(1)5；(2)y=<(3)”一时，半径PF=」;t=16,半径PF=12.

|/-5(r>4)77

【解析】

(1)由矩形性质知BC=AZ>=5,根据5E：CE=3：2知3E=3,利用勾股定理可得AE=5；

ApATS

(2)由尸尸〃BE知一=—,据此求得A尸=—f,再分OS姓4和t>4两种情况分别求出EF即可得；

ABAE4

(3)由以点厂为圆心的。尸恰好与直线A3、5c相切时PF=PG,再分U0或仁4、0Vf<4、f>4这三种情况分别求

解可得

【详解】

⑴•.•四边形ABCD为矩形，

；.BC=AD=5,

VBE：CE=3：2,

贝!1BE=3,CE=2,

；•AE=x/Atf+BE1=“+3'=5.

(2)如图1,

当点P在线段AB上运动时，即0$饪4,

；PF〃BE,

:.AF=-t,

4

cr

则EF=AE-AF=5--'t,即y=5—-t(0<t<4)；

如图2,

当点P在射线AB上运动时，即t>4,

5R

此时，EF=AF-AE=-t-5,即y=t-5(t>4)；

44

5--r(0<r<4)

综上，y=<4；

7一5(/〉4)

(3)以点F为圆心的。F恰好与直线AB、BC相切时，PF=FG,分以下三种情况：

①当t=0或t=4时，显然符合条件的。F不存在；

②当0Vt<4时，如解图1,作FGLBC于点G,

贝！］FG=BP=4—t,

VPF/7BC,

/.△APF^AABE,

.PFAPPFt

・・一=——，即Bn一=,

BEAR31

.•.PF=』t,

4

由4—t=；t可得t=

则此时OF的半径PF=k；

③当t>4时，如解图2,同理可得FG=t-4,PF=-t,

由t-4=-t可得t=16,

则此时。F的半径PF=12.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学

思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.

23、每台电脑0.5万元；每台电子白板1.5万元.

【解析】

先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据电子白板的价格是电脑的3倍，购买5台电脑和10台电子白板需要

17.5万元列出方程组，求出x,y的值即可.

【详解】

设每台电脑x万元，每台电子白板y万元.

y=3x

根据题意，得：

5x+10y=17.5

X=0.5

解得

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组.

24、（1）见解析；（2）DE=—

4

【解析】

（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可判定;

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题.

【详解】

(1)\'DE±AB,：.ZAED=ZC^90°.

VZA=ZA,AAED^AACB.

22

(2)在RSA5C中，'：AC=8,BC=6,：.AB=^+g=1.

；OE垂直平分AB,:.AE=EB=2.

DFAF•DE515

'：/\AED^/\ACB,—：.DE=—

BCAC4

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角

形解决问题，属于中考常考题型.

25、(1)117；(2)答案见图；(3)B；(4)30.

【解析】

（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360。乘以C等级

人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本

中A等级人数所占比例可得.

【详解】

（1）:总人数为184-45%=40人，

；.c等级人数为40-(4+18+5)=13人,

则C对应的扇形的圆心角是360°xii=117°,

■

故答案为：117；

(2)补全条形图如下:

(3)因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级,

所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级,

故答案为：B.

(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300x3=30人.

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

3+4

26、(1)Ci,C3;(2)D(-0)或D(2下1,3)；(3)--<k<^^

35

【解析】

(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；

(2)分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m,n;

(3)先判断出直线y=kx+3j^与圆A,B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论.

【详解】

(1)VA(0,3),B(石，0),

；.AB=2B

;点CI(-2,3+2正)，

.\ACi=V4+8=273»

,\ACi=AB,

•••Cl是线段AB的“等长点”，

•.•点C2(0,-2),

.*.AC2=5,BC2=j3+4=V7,

/.AC2/AB,BC2WAB,

，C2不是线段AB的“等长点”,

■:点C3(3+5-逝)，

**-BCj=J9+3=2y/3，

；.BC3=AB,

••.C3是线段AB的“等长点”；

故答案为G,C3!

(2)如图1,

在RtAAOB中，OA=3,OB=73，

r,OBJ3

.\AB=2A/3，tanNOAB=-----=-----

OA3

：.NOAB=30°,

当点D在y轴左侧时,

；NDAB=60°,

:.ZDAO=ZDAB-ZBAO=30°,

•.,点D(m,n)是线段AB的“等长点”,

/.AD=AB,

AD(-73,0),

/.m=y/3,n=0,

当点D在y轴右侧时,

■:ZDAB=60°,

:.ZDAO=ZBAO+ZDAB=90°,

:.n=3,

•.•点D(m,n)是线段AB的“等长点”,

.,.AD=AB=26，

，m=2相；

AD(26,3)

(3)如图2,

;直线y=kx+36k=k(x+3百),

直线y=kx+3y/3k恒过一点P(-36,0),

.,.在RtAAOP中，OA=3,OP=3^,

.,.ZAPO=30°,

ZPAO=60°,

.•.NBAP=90。，

当PF与。B相切时交y轴于F,

；.PA切。B于A,

点F就是直线y=kx+3有k与。B的切点，

：.F(0,--3),

，3出k=-3,

.\k=-正，

3

当直线y=kx+3逝k与。A相切时交y轴于G切点为E,

.•.ZAEG=ZOPG=90°,

/.△AEG^APOG,

.AEAG

••—9

OPPG

，芈二Ri,解得：k=3』+4后或k=3'-4.（舍去）

3V33,3尸+355

•.,直线y=kx+3j^k上至少存在一个线段AB的“等长点”，

.6士3舟4拒

••-----SKS------------------9

35

【点睛】

此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对称性，解（1）

的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，解（3）的关键是判断出直线和圆A,B相切时是分界点.

3

27、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=4应；②a

【解析】

分析：（1）由菱形知ND=NBEC,由NA+ND=NBEC+NAEC=180。可得/A=NAEC,据此得证；