福建省龙岩市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检查数学试题

龙岩市2023~2024学年第一学期期末高二教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．1．计算（）A．34B．35C．36D．372．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（）A．B．C．D．4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第层的各层的球数构成一个数列，则（）A．B．C．D．5．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理5门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种6．已知为坐标原点，是直线上一动点，是圆上一动点，则的最小值为（）A．B．C．D．7．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，则（）A．B．C．D．8．已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．9．已知二项式的展开式，则（）A．常数项是B．系数为有理数的项共有4项C．第5项和第6项的二项式系数相等D．奇数项的二项式系数和为25610．已知经过点且斜率为的直线与圆交于不同的两点，线段的中点为，则（）A．B．当时，直线平分圆C．当时，D．点的轨迹方程为11．已知直线与抛物线交于两点，且与轴交于点为坐标原点，直线斜率之积为，则（）A．当时，B．当时，线段中点的轨迹方程为C．当时，以为直径的圆与轴相切D．当时，的最小值为1012．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）A．数列的第2项小于B．数列不可能是等比数列C．数列为递增数列D．数列中存在大于的项第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分13．编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有____________种．（用数字回答）14．已知圆与圆外离，则实数的取值范围为____________．15．已知椭圆的离心率为是左、右焦点，为椭圆的下顶点，连结并延长交椭圆于点，则直线的斜率为____________．16．已知数列各项均为1，在其第项和第项之间插人个，得到新数列，记新数列的前项和为，则____________，____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在的展开式中，____________．（1）求；（2）证明：能被6整除．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（本题满分12分）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项．（1）求数列和的通项公式；（2）记，求的前项和．19．（本题满分12分）已知圆的圆心在直线上，并且与直线相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）直线与圆相交于两点，，过分别作的垂线与轴交于两点，求．20．（本题满分12分）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值．21．（本题满分12分）已知函数满足，数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．22．（本题满分12分）已知定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点满足，直线与双曲线分别相切于点．证明：直线与曲线相切于点，且．龙岩市2023～2024学年第一学期期末高二教学质量检查数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ABCDBCCD8.解：由,，得，所以为等腰三角形，又因为，所以，由，得在中，边上的高为，所以，,在中，由余弦定理得：，，，即.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号9101112答案ACDABACBCD12.解：因数列各项均为负数，当时，，可得；当时，由可得，解得，A错；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，B对；当时，，可得，所以数列为递增数列，C对；假设对任意，，则，故答案为：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14414．15．16．2；3985（第一空2分，第二空3分）16．解：由题意得，考虑中1后面的2的个数，可得当有个1时，2的个数共有，当时，2的个数总共有1953个，则已有个数，则为第63个1后面的第8个2，即，则，故答案为：2；3985.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）解：（1）条件=1\*GB3①：取则，解得.5分条件=2\*GB3②：因为，所以常数项为，解得.5分条件=3\*GB3③：即的各项系数和为，取则，解得.5分（2）7分所以能被6整除.10分18.（本题满分12分）解：（1）依题意，得，所以，3分则，设等差数列的公差为，则，所以.6分（2），9分所以.12分（也可以写为：当为偶数时；当为奇数时，，或）19.（本题满分12分）解：（1）设圆心，则,4分所以.5分所以圆的标准方程为.6分（2）圆心到直线的距离，解得，8分所以直线的倾斜角为或，10分由平面几何的知识可知，在梯形中，.12分20.（本题满分12分）解：（1）设点的坐标为，则.又,，由可得，解得，所以抛物线的方程为:.4分（2）设，由已知有轴，即，又点，∴直线的斜率.则直线的方程为，即，联立得，解得，又时，，则.8分设直线的倾斜角为，斜率为，直线的倾斜角为，∵射线平分即，，则，得或（舍去）.又，解得，综上：.12分法二：设，∵平分，且轴，由平面几何知识知：,即，即.7分又点，∴直线的斜率，则直线的方程为即.联立得，解得，，11分，解得.12分21.（本题满分12分）解：（1）因为，由①，则②，所以①+②可得：，故.5分（2）由（1）知，则，，两式相减得，.9分由对一切恒成立，可得：对一切恒成立，即有对一切恒成立.10分当时，取得最大值，所以，故实数的取值范围是.12分22.（本题满分12分）解：（1）设，，2分由得：，整理得：，其中，所以曲线的方程为：.4