2023-2024学年安徽省合肥市长丰县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市长丰县八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.点P(−2,1)到y轴的距离为(

)A.−2 B.1 C.2 D.33.下列各曲线中，表示y是x的函数的是(

)A. B.

C. D.4.下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是(

)A. B.

C. D.5.如图，函数y=ax+b和y=−13x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组−ax+y=bx+3y=0A.x=3y=−1 B.x=−3y=−1 C.x=−3y=16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，其对应的点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，(2,2)，(2,1)，…，根据这个规律，第2023个点的横坐标为(

)A.44

B.45

C.46

D.477.如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是(

)

A.① B.② C.③ D.④8.已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是(

)A.20° B.50° C.60° D.80°9.如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第______块去配，其依据是根据定理_______(可以用字母简写)(

)A.拿①去、SAS

B.拿②去、SSA

C.拿③去、ASA

D.拿任意一块10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G.则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD−AH=AB；④DG=AP+GH.其中正确的是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.“对顶角相等”的逆命题是

.(用“如果…那么…”的形式写出)12.写一个图象与y轴交于点(0,−3)，且y随x增大而减小的一次函数关系式______．13.如图，AB/​/CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE=3cm，则直线AB与CD的距离为______cm．

14.已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S(千米)与时间t(小时)的函数图象如图所示．

(1)小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时．

(2)在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______．三、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题5分)

如图，已知直线y=kx+b经过点A(5,0)和点B(−1,6)．

(1)求直线AB的解析式；

(2)若直线y=2x−1与y轴交于点D，与直线AB交于点C，求△ADC的面积．16.(本小题5分)

如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE/​/BF，AE=BF，AB=CD，CE与BF交于点O．

(1)求证：△AEC≌△BFD；

(2)若∠A=42°，∠D=85°，求∠BOC的度数．17.(本小题5分)

已知y−2与x成正比例，且x=3时，y=8．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当y=−6时，求x的值．18.(本小题5分)

如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后．△ABC的顶点均在格点上．

(1)写出点A，B，C的坐标；

(2)写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点A119.(本小题7分)

已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，

(1)求证：△BCE≌△ACD；

(2)判断△CFH的形状并说明理由．

(3)写出FH与BD的位置关系，并说明理由．20.(本小题7分)

如图，直线l1：y=−3x+3与x轴交于点D，与经过A、B两点的直线l2交于点C．

(1)求点D的坐标和直线l2的表达式；

(2)在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于点E，G为BD上一点，且∠BCG=∠DCA，过点G作GH⊥CG交CB于点H．

(1)求证：CD=CG；

(2)若AD=CG，求证：AE=CH．22.(本小题8分)

某校运动会需购买A、B两种奖品共100件，A、B两种奖品单价分别为10元、15元.设购买A种奖品m件，购买两种奖品的总费用为W元．

(1)写出W(元)与m(件)之间的函数关系式；

(2)若购买两种奖品的总费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．

(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；

(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；

(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．

答案和解析1.【答案】A

解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：A．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C

解：点P(−2,1)到y轴的距离为|−2|=2．

故选：C．

根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．

本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．3.【答案】B

解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B正确．

故选：B．

根据函数的意义即可求出答案．

本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．4.【答案】B

解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，

故选：B．

三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．

本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．5.【答案】C

解：当y=1时，y=−13x=1，

解得x=−3，则点P的坐标为(−3,1)，

所以关于x，y的二元一次方程组−ax+y=bx+3y=0中的解为x=−3y=1．

故选：C．

先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．

6.【答案】A

解：第一个正方形上有4个点，添上第二个正方形后，一共有3×3=9个点，添上第三个正方形后，一共有4×4=16个点，

∵添上第44个正方形后，一共有45×45=2025个点，

∴第2025个点的坐标是(44,0)，

∴第2023个点的横坐标为44，

故选：A．

根据已知可推出第2025个点应在第44个正方形上，从而求得2023个点的横坐标．

本题是对点的坐标变化规律的考查，考虑从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点．7.【答案】D

解：要使整个图案构成轴对称图形，应该涂灰的小三角形是④．

故选：D．

根据轴对称的性质使整个图案构成轴对称图形，可得涂灰的小三角形．

本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8.【答案】C

解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°−100°=80°，另外两个角的度数都为50°；

当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°−100°=80°，顶角的度数为180°−2×80°=20°；

故∠A的度数不能取的是60°．

故选：C．

因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．

本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．9.【答案】C

解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，

只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．

故选：C．

根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．

本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．10.【答案】C

解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，

∴∠ABP=12∠ABC，

∠CAP=12(90°+∠ABC)=45°+12∠ABC，

在△ABP中，∠APB=180°−∠BAP−∠ABP，

=180°−(45°+12∠ABC+90°−∠ABC)−12∠ABC，

=180°−45°−12∠ABC−90°+∠ABC−12∠ABC，

=45°，故本小题正确；

②∵PF⊥AD，∠APB=45°(已证)，

∴∠APB=∠FPB=45°，

∵∵PB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP和△FBP中，∠APB=∠FPBPB=PB∠ABP=∠FBP，

∴△ABP≌△FBP(ASA)，

∴AB=BF，AP=PF；故②正确；

③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，

∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，

∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH=∠FPD=90°，

在△AHP与△FDP中，∠AHP=∠FDP∠APH=∠FPD=90°AP=PF，

∴△AHP≌△FDP(AAS)，

∴DF=AH，

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BD−AH=AB，故③小题正确；

④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴∠PAF=45°，

∴∠ADG=∠DAG=45°，

∴DG=AG，

∵∠PAF=45°，AG⊥DH，

∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF>AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，

综上所述①②③正确．

故选：C．

①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；

③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP11.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

【解析】【分析】

本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．

【解答】

解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，

故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．12.【答案】y=−x−3(答案不唯一)

解：与y轴交于点(0,−3)，且y随x增大而减小的一次函数关系式为：y=−x−3(答案不唯一)，

故答案为：y=−x−3(答案不唯一)．

根据y随x增大而减小，即可得到函数关系式中的系数k<0；依据图象与y轴交于点(0,−3)，即可得到b=−3，据此可得结论．

本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．13.【答案】6

解：如图，过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB/​/CD，

∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=3cm，

∴OM=OE=3cm，

∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，

∴ON=OE=3cm，

∴MN=OM+ON=6cm，

即AB与CD之间的距离是6cm．

故答案为：6．

过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．

此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是解决问题的关键．14.【答案】24

0≤t≤0.5或0.75<t≤1或1.5≤t≤2．

解：设小聪骑自行车的第一段路程速度是x千米/小时，则第二段的速度为12x千米/小时，

12x+1+1212x=3−0.5，

解得x=24，

经检验，x=24是原分式方程的解，

即小聪骑自行车的第一段路程速度是24千米/小时，

故答案为：24；

(2)小明的速度为243=8(千米/小时)，

∴小明所走的路程S与时间t之间的函数解析式为S=8t(0≤t≤8)；

小聪所走的路程S与时间t之间的函数解析式为S=0(0≤t≤0.5)24(t−0.5)(0.5<t≤1)12(1<t≤2)12+12(t−2)(2<t≤3)，

①当0≤t≤0.5时，小明匀速前进，小聪未出发，两人之间的距离随t的增大而增大；

②当0.5<t≤1时，小聪的速度大于小明的速度，两人之间的距离先减小，小聪超过小明后，两人之间的距离再次拉开，

∴该阶段两人相遇时：8t=24(t−0.5)，

解得t=0.75，

∴当0.75<t≤1时，两人之间的距离随时间t的增大而增大；

③当1<t≤2时，小聪停止前进，则两人之间的距离先减小，相遇后再增大，

此时，8t=12，

解得t=1.5，

∴当1.5≤t≤2时，两人之间的距离随时间t的增大而增大；

④当2<t≤3时，小聪的速度大于小明的速度，两人的距离逐渐减小知道到达终点，两人相遇．

综上所述，当0≤t≤0.5或0.75<t≤1或1.5≤t≤2时，两人之间的距离随时间t的增大而增大．

故答案为：0≤t≤0.5或0.75<t≤1或1.5≤t≤2．

(1)设小聪骑自行车的第一段路程速度是x千米/小时，则第二段的速度为15.【答案】解：(1)把点A(5,0)，B(−1,6)分别代入y=kx+b，

得0=5k+b,6=−k+b,

解得k=−1，b=5，

∴直线AB解析式为y=−x+5；

(2)由y=−x+5,y=2x−1,解得x=2,y=3,

∴C点坐标(2,3)．

∵直线y=2x−1交y轴于D(0,−1)，

设直线AB交y轴于点E(0,5)，点A(5,0)，

∴ED=6，

∴【解析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，关键是正确求出直线AB的解析式．

(1)利用待定系数法把点A(5,0)，B(−1,6)代入y=kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可求得直线AB的解析式；

(2)先求出两条直线的交点C的坐标；求得直线y=2x−1、直线AB与y轴的交点，然后根据三角形面积公式求解即可．16.【答案】(1)证明：∵AB=CD，

∴AC=BD，

∵AE/​/BF，

∴∠A=∠FBD，

在△AEC和△BFD中，

AE=BF,∠A=∠FBD,AC=BD,

∴△AEC≌△BFD(SAS)；

(2)解：∵△AEC≌△BFD，

∴∠A=∠FBD=42°，∠D=∠ACE=85°，

∴∠BOC=180°−42°−85°=53°【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

(1)由“SAS”可证△AEC≌△BFD；

(2)由全等三角形的性质可得∠A=∠FBD=42°，∠D=∠ACE=85°，由三角形内角和定理可求解．17.【答案】解：(1)∵y−2与x成正比例

∴设y−2=kx

∵x=3时，y=8

∴8−2=3k

∴k=2

∴y=2x+2

(2)把y=−6代入y=2x+2，可得：−6=2x+2，

解得：x=−4．

【解析】(1)设y−2=kx，利用待定系数法确定函数关系式即可；

(2)把y=−6代入解析式，解答即可．

此题考查待定系数法确定函数关系式，关键是利用待定系数法确定函数关系式解答．18.【答案】解：(1)由坐标系可得：A(1,3)，B(−1,2)，C(2,0)；

(2)如图所示：

A1(1,−3)，B1(−1,−2)，【解析】(1)根据平面直角系的特点，写出点A、B、C的坐标；

(2)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点然后顺次连接并写出各点的坐标．

此题主要考查了作图−轴对称变换，关键是找出对称点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标变化特点：横坐标不变，纵坐标变相反数．19.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，

∴AC=BC，EC=CD∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠BCE=∠ACD(等式的性质)．

在△BEC和△ADC中AC=BC∠BCE=∠ACDCE=CD，

∴△BEC≌△ADC(SAS)；

(2)证明：∴△BEC≌△ADC(已证)，

∴∠CAH=∠CBF

在△BCF和△ACH中BC=AC∠BCF=∠ACH=60°∠CAH=∠CBF，

∴△BCF≌△ACH(ASA)，

∴CF=CH．

又∵∠FCH=60°，

∴△CFH是等边三角形；

(3)证明：∵△CFH是等边三角形，

∴∠HFC=∠FCB=60°，

【解析】(1)根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；

(2)由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形；

(3)∠HFC=∠FCB=60°，可得FH//BD．

本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS.同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．20.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−3x+3与x轴交于点D，

令y=0，解得x=1，

∴D(1,0)，

∵A(4,0),B(3,−32)，设直线l2的表达式为y=kx+b，

∴4k+b=03k+b=−32，

解得：k=32b=−6，

∴l2的解析式为y=32x−6．

(2)存在，P(6,3)，理由如下，

∵直线l1：y=−3x+3与直线l2：y=32x−6交于点C，y=−3x+3y=32x−6，

解得x=2y=−3，

∴C(2,−3)，

∵D(1,0)，A(4,0)，

∴AD=3，

设P点的纵坐标为m，

∵△ADP与△ADC的面积相等，

∴1【解析】(1)根据直线l1：y=−3x+3与x轴交于点D，令y=0，解得x=1，求得点D的坐标，根据A(4,0),B(3,−32)，待定系数法求解析式即可求解；

(2)先求得点C的坐标，设P点的纵坐标为m，根据△ADP与△ADC的面积相等列出方程，求得m的值，代入直线21.【答案】证明：(1)∵AD⊥BD，

∴∠ADB=∠ACB=90°．

∵∠AED=∠BEC，

∴∠CAD=∠CBG．

在△ACD和△BCG中，

∠DCA=∠GCBAC=BC∠CAD=∠CB,

∴△ACD≌△BCG(ASA)，

∴CD=CG；

(2)证明：

∵GH⊥CG，

∴∠CGH=∠ADE=90°．

在△ADE和△CGH中，

∠ADE=∠CGH,AD=CG,∠DAE=∠GCH,

∴△ADE≌△CGH(ASA)【解析】(1)利用三角形内角和定理知∠CAD=∠CBG，再利用ASA证明△ACD≌△BCG，从而得出结论；

(2)利用ASA证明△ADE≌△CGH，得AE=CH．

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)设购买A种奖品m件，购买两种奖品的总费用为W元，则购买B种奖品(100−m)件，

根据题意得：W=10m+15(100−m)=−5m+1500；

(2)根据题意得：−5m+1500≤1150m≤3(100−m)，

解得：70≤m≤75．

∵在W=−5m+1500中，−5<0，

∴W随m值的增大而减小，

∴当m=75时，W取最小值，费用W的最小值为−5m+1500=−5×75+1500=1125(元)．【解析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系找出W关于m的函数关系式；(2)根据各数量之间的关系，找出关于m的一元一次不等式组．

(1)设购买A种奖品m件，购买两种奖品的总费用为W元，则购买B种奖品(100−m)件，根据总费用=A种奖品单价×购买数量+B种奖品单价×购买数量，即可得出W(元)与m(件)之间的函数关系式；

(2)根据“购买两种奖品的总费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的