2023-2024学年重庆市丰都县融智教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市丰都县融智教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(

)A.4，5，6 B.1，1，2 C.6，8，11 D.5，12，2.下列计算正确的是(

)A.(−3)2=−3 B.12÷3.如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于点E，则∠BAE等于(

)

A.20° B.110° C.70° D.50°4.估计3×(18A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间5.下列命题中，真命题是(

)A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

D.一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG=2.5，BD=8，则菱形ABCD的面积是(

)A.48

B.36

C.24

D.187.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.对角线AC，BD相交于点O.点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为(

)A.6

B.7

C.8

D.98.勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一.如图，以Rt△ABC(∠ACB=90°)的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1=3，则S2A.1

B.1.5

C.2

D.2.5

9.如图：正方形ABCD中，点E、F分别是CD、CB边上的点，连接AE，DF交于点N，∠ADF的角平分线DM交AB于M，过点M作MQ//AE分别交DF于点H，交BC于点Q，连接DQ，若DE=CF，∠AMG=a，则用含a的代数式表示∠DQC为(

)

A.135°−a B.90°−12a C.45°+10.对于从左到右依次排列的三个实数a、b、c，在a与b之间、b与c之间只添加一个四则运算符号“+”、“−”、“×”、“÷”组成算式(不再添加改变运算顺序的括号)，并按四则运算法则计算结果，称为对实数a、b、c进行“四则操作”，例如：对实数4、5、6的“四则操作”可以是：4+5÷6=296，也可以是4−5−6=−7；对实数2，−1，−2的一种“四则操作”可以是2−(−1)+(−2)=1.给出下列说法：

①对实数1、4、2进行“四则操作”后的结果可能是6；

②对于实数2、−5、3进行.“四则操作”后，所有的结果中最大的是21；

③对实数x、x、2进行“四则操作”后的结果为6，则x的值共有16个；

其中正确的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.若式子2x−4有意义，则x的取值范围是______．12.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=14，则EF的长为

．

13.我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺(绳索比木柱长4尺)，牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时绳索用尽，则木柱长为______尺.14.已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简(−a)215.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，AC=16，BD=12，则DE的长为______．

16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，D是AC边的中点，连接BD，将△ABD沿BD翻折，得到△EBD，连接CE，则点E到BC的距离为______．

17.如果关于x的不等式组3x−12<x+23x+1≥x+m至少有两个整数解，且关于y的分式方程3yy−1=1−18.对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“差双数”，记F(m)为m的各个数位上的数字之和.例如：m=1632，∵1+6−(3+2)=2，∴1632是“差双数”，F(1632)=1+6+3+2=12；m=6397，∵6+3−(9+7)=−7≠2，∴6397不是“差双数”.若5k41−与3st2−都是“差双数”，且F(5k41−)=F(3st2−)，则“差双数”3st2−是______；已知M，N均为“差双数”，其中M=2000a+100b+10c+d，N=1000x+300b+40−d(1≤a≤4,0≤b≤3,0≤c≤9,1≤d≤9,1≤x≤9,a,b,c,d,x是整数)，已知F(M)+F(N)−2三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

计算：

(1)50−8+|20.(本小题10分)

如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF与BD交于点O.求证：OE=OF．21.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若CE=23，∠ADC=120°，求四边形ABCD的面积．22.(本小题10分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于E．

(1)尺规作图：过点C作CF⊥BD于点F，连接AF.(要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论)

(2)求证：CE=AF.将下面的过程补充完整．

证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴①______，∠AED=∠CFB=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴②______，AD//BC，

∴③______．

在△ADE和△CBF中，

∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，

∴△ADE≌△CBF(AAS)，

∴④______，

又∵AE/​/CF，

∴四边形AFCE是⑤______，(⑥______)(填推理的依据)

∴CE=AF23.(本小题10分)

阅读理解：我们把abcd称作二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad−bc，例如2345=2×5−3×4=−2，根据阅读理解解答下列各题：

(1)23−324.(本小题10分)

小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点.已知景点E位于景点A的东南方向4006米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上．

(1)求景点A与景点B之间的距离.(结果保留根号)

(2)小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计.已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C.(25.(本小题10分)

如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，以AE为边在AB右侧作正方形AEFH，连接AF，交CD于点N，连接EN.过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

(1)求证：BE=CG；

(2)求证：BE+DN=EN．26.(本小题10分)

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC上任意一点，E为AC上任意一点．

(1)如图1，连接DE，若∠CDE=60°，AC=4AE，求DE的长．

(2)如图2，若点D为BC中点，连接AD，点F为AD上任意一点，连接EF并延长交AB于点M，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG.点N在AC上，∠AGN=∠AEG且AM+AF=2AE，求证：GN=MF．

(3)如图3，点D为BC中点，连接AD，点F为AD的中点，连接EF、BF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG，H为直线AB上一动点，连接FH，将△BFH沿FH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′FH，连接B′G，直接写出线段答案和解析1.【答案】B

解：A、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；

B、因为12+12=(2)2，故三角形是直角三角形．故此选项正确；

C2.【答案】B

解：A．(−3)2=3，故此选项不合题意；

B.12÷3=2，故此选项符合题意；

C.419=3.【答案】D

解：∵DB=DC，

∴∠C=∠DBC=70°，

∴∠CDB=180°−140°=40°，

∵CD/​/AB，

∴∠ABE=∠CDB=40°，

∴AE⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAE=90°−40°=50°．

故选：D．

在Rt△AEB中，想办法求出∠ABE即可解决问题．

本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质．直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．4.【答案】C

解：原式=54−3，

∵49<54<64，

∴7<5.【答案】B

解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故A选项错误；

B、对角线互相垂直的平分的四边形是菱形，是真命题，故B选项正确；

C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，是假命题，故C选项错误；

D、一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形也可能是直角梯形，故D选项错误．

故选：B．

利用矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理，属于基础定理，难度不大．6.【答案】C

解：∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，AC=2AO，BO=12BD，

∵OG=2.5，BD=8，

∴AB=2OG=5，BO=4，

∴AO=AB2−BO2=3，

∴AC=2AO=6，

∴菱形ABCD的面积是12AC⋅BD=24．

故选：C7.【答案】D

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，∠BAD=90°，OB=OD=OA=OC，

在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=62+82=10，

∴OD=OA=OB=5，

∵E.F分别是AO，AD中点，

∴EF=12OD=52，AE=52，AF=4，

∴△AEF的周长为9，

故选：D．

8.【答案】B

解：设Rt△ABC的直角边AC=a，BC，BA=c．

∴a2+b2=c2，

∵面积为S2的矩形的长和宽分别是c−a，c−b，

∴S2=(c−a)(c−b)=c2−(a+b)c+ab，

∵面积为S1的正方形的边长是a−(c−b)=a+b−c，

∴S1=(a+b−c)2=3，

∴a2+b2+c29.【答案】A

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，AD=CD，又DE=CF，

∴△ADE=△DCF(SAS)，

∴∠DAE=∠CDF，

∵∠DAE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADE=90°，

∴∠DNA=∠DNE=90°，

∵MQ//AE，

∴∠MHN=∠DNA=90°，

∵DM是∠ADF的角平分线，

∴∠ADM=∠HDM，

又∵MD=MD，

∴△ADM≌△HDM(AAS)，

∴∠HMD=∠AMG=α，AD=DH=DC，

又∵DQ=DQ，∠DHQ=∠C=90°，

∴Rt△DHQ≌Rt△DCQ(HL)，

∴∠DQC=∠DQH，

∵∠BMQ=180°−∠AMG−∠HMD=180°−2α，

∴∠MQC=∠BMQ+∠ABC=180°−2α+90°=270°−2α，

∴∠DQC=12∠MQC=135°−α，

故选：A．

先证明△ADE=△DCF(SAS)得到∠DAE=∠CDF，进而证得∠MHN=∠DNA=90°，再证明△ADM≌△HDM(AAS)得到∠HMD=∠AMG=α，AD=DH=DC，进而证明Rt△DHQ≌Rt△DCQ(HL)得到∠DQC=∠DQH，利用三角形的外角性质求得∠MQC=270°−2α10.【答案】B

解：对于实数1、4、2进行“四则操作”可以是：1×4+2=6，

∴结果可能为6，

故①正确；

对于实数2、−5、3进行．“四则操作”，可以是2−(−5)+3=2+5+3=10或2+(−5)−3=−6或2×(−5)+3=−7或2÷(−5)+3=135或2−(−5)×3=17，

∴最大结果是17，

故②错误；

③对实数x，x，2进行．“四则操作”后的结果为6，可以是x+x−2=6或x+x+2=6或x×x+2=6或x×x−2=6或x+x×2=6或x×x÷2=6或x+x÷2=6或x×x×2=6或x−x÷2=6，的x=4或x=±2或x=±22或x=±23或x=±3或x=12，共10个，故③错误；

∴正确的只有①，共1个，11.【答案】x≥2

解：由题可知，

2x−4≥0，

解得x≥2．

故答案为：x≥2．

根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．

本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．12.【答案】3

解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，AB=8，

∴D为AB中点，DE=12BC=7，DF=12AB=4，

∴EF=DE−DF=7−4=3，

故答案为：3．

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得13.【答案】6

解：由题意作出图形如下：

则BC=8尺，AC−AB=4尺，

由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，

即AB2+82=(AB+4)2，

解得AB=6，

14.【答案】−c

解：由图可知，b<a<0<c，

∴−a>0，a+b<0，b+c<0，

∴(−a)2−|a+b|+(b+c)2

=−a−[−(a+b)]+[−(b+c)]

=−a+(a+b)−(b+c)

=−a+a+b−b−c

=−c．

故答案为：−c．

根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出−a>0，a+b<0，b+c<015.【答案】9.6

解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=16，BD=12，

∴AC⊥BD，OA=12AC=8，OB=12BD=6，

∴AB=AO2+OB2=64+36=10，

∵S菱形ABCD=AB⋅DE=12AC⋅16.【答案】2125解：连接AE，过点B作BF⊥AC于点F，BG⊥CE延长线于点G，过E作EH⊥BC于点H，如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，则由勾股定理可得AB=AB2+BC2=5，

∵S△ABC=BC⋅AB=12×AC⋅BF，则3×4=5BF，

∴BF=125，

∴AF=AB2−BF2=32−(125)2=95，

∴CF=AC−AF=5−95=165，

∵BD是AC边上的中线，

∴AD=DC=BD=52，

由翻折可知AD=DE，AB=BE，

∴AD=DB=DE=DC=52，

∴∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，

∴2∠DAE+2∠DCE=180°，

∴∠DAE+∠DCE=90°，

∴∠AEC=90°，

∴AE⊥EC，

由翻折可知BD是AE的垂直平分线，

∴AE⊥BD，

∴CE/​/BD，

∴∠DBC=∠ECB，

∵∠DBC=∠DCB，

∴∠DCB=∠ECB，

在△FBC和△GBC中，

∠BFC=∠G=90°∠FCB=∠GCBBC=BC，

∴△FBC≌△GBC(AAS)，

∴BG=BF=125，CF=CG=165，

在Rt△ABF和Rt△EBG中，

AB=EBBF=BG，

∴Rt△ABF≌Rt△EBG(HL)，

∴GE=AF=95，

∴CE=CG−GE=17.【答案】12

解：解不等式组3x−12<x+23x+1≥x+m，得：x<5x≥m−12，

∵不等式组至少有两个整数解，

∴m−12≤3，

解得：m≤7，

解关于y的分式方程3yy−1=1−m1−y，

得：y=m−12，且y−1≠0，

∴y=m−12≠1，

∴m≠3，

∵分式方程解为正整数，且m≠3，

∴符合条件的所有整数m的值为5，7，

18.【答案】3432

8628

解：∵5k41−与3st2−都是“差双数”，

∴(5+k)−(4+1)=2，(3+s)−(t+2)=2．

∴k=2，s−t=1．

∵F(5k41−)=F(3st2−)，

∴5+2+4+1=3+s+t+2，

∴s+t=7．

∴s−t=1s+t=7．

解得：s=4t=3．

∴“差双数”3st2−=3×1000+4×100+3×10+2=3432；

∵M=2000a+100b+10c+d，N=1000x+300b+40−d，

∴M=2a×1000+b×100+c×10+d，N=x⋅1000+3b⋅100+3×10+(10−d)．

∴M千位上的数字是2a，百位上的数字是b，十位上的数字是c，个位上的数字是d，N千位上的数字是x，百位上的数字是3b，十位上的数字是3，个位上的数字是10−d．

∴F(M)=2a+b+c+d，F(N)=x+3b+3+10−d=x+3b+13−d．

∵M，N均为“差双数”，

∴(2a+b)−(c+d)=2，(x+3b)−(3+10−d)=2．

∴2a+b=2+c+d，x+3b=15−d．

∴F(M)=2c+2d+2，F(N)=28−2d．

∴F(M)+F(N)−2=2c+2d+2+28−2d−2=2c+28，

F(N)F(M)=28−2d2c+2d+2=14−dc+d+1．

∵F(M)+F(N)−2能被6整除，

∴2c+286=24+2c+46=4+2c+46是整数．

∵0≤c≤9，且c为整数，

∴c=1或c=4或c=7．

当c=1时，F(N)F(M)=14−d1+d+1=14−d2+d．

∵F(N)F(M)为整数，1≤d≤9，d为整数，

∴d=2或d=6；

当c=4时，F(N)F(M)=14−d4+d+1=14−d5+d．

∵F(N)F(M)为整数，1≤d≤9，d为整数，

∴d不存在；

当c=7时，F(N)F(M)=14−d7+d+1=14−d8+d．

∵F(N)F(M)为整数，1≤d≤9，d为整数，

∴d不存在．

①c=1，d=2．

∵2a+b=2+c+d，

∴2a+b=5．

∵1≤a≤4，0≤b≤3，

∴a=1，b=3或a=2，b=1．

∵x+3b=15−d．

当a=2，b=1，c=1，d=2时，x=10，不符合题意，舍去．

∴M=2000a+100b+10c+d=2312．

②c=1，d=6．

∵2a+b=2+c+d，

∴2a+b=9．

∵1≤a≤4，0≤b≤3，

∴a=3，b=3．

∴M=2000a+100b+10c+d=631619.【答案】解：(1)原式=52−22+2−2+42

=62【解析】(1)依据题意，由二次根式的混合运算法则及绝对值的意义进行计算可以得解；

(2)依据题意，由平方差公式及二次根式的混合运算法则计算可以得解．

本题主要考查了二次根式的混合运算及平方差公式，解题时需要熟练掌握并理解．20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠OBF=∠ODE，

∵AE=CF，

∴DE=BF，

∵∠EOD=∠FOB，

在△BOF和△DOE中，

∠FOB=∠EOD∠OBF=∠ODEBF=DE，

∴△BOF≌△DOE(AAS)，

∴OE=OF【解析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，由对顶角相等可得∠EOD=∠FOB，再根据平行线的性质可得∠OBF=∠ODE，从而可证△BOF≌△DOE(AAS)，即可得出结论．

本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得△BOF≌△DOE是解题的关键．21.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∴AD=CD，

∵AB=AD，

∴AB=CD，

∵AB/​/CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=AD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

((2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠DAB=60°，∠CAB=12∠DAB=30°，

∴AC=2CE=43，AB=2BO，

∴AO=CO=23，

∴AB2=AO2+BO2，

∴4BO2【解析】(1)先证CD=AD=AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD=AB，即可得出结论；

(2)由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠DAB=60°，∠CAB=12∠DAB=30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求AC，BD22.【答案】AE/​/CF

AD=CB

∠ADE=∠CBF

AE=CF

平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

解：如图所示．

(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE//CF，∠AED=∠CFB=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，AD//BC．

∴∠ADE=∠CBF．

在△ADE和△CBF中，

∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，

∴△ADE≌△CBF(AAS)．

∴AE=CF．

又∵AE/​/CF，

∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

∴CE=AF．

故答案为：AE/​/CF；AD=CB；∠ADE=∠CBF；AE=CF；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

(1)根据垂线的作图方法作图即可．

(2)根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案．

本题考查作图−23.【答案】5

解：(1)23−32

=2×2−3×(−3)

=2+3

=5；

故答案为：5；

(2)1234+5678+…+979899100

=(1×4−2×3)+(5×8−6×7)+(97×100−98×99)

=−2+(−2)+…+(−2)

=−2×25

=−50；

(3)(a−ba2−2ab+24.【答案】解：(1)如图，过点E作EH⊥AB于点H，

在Rt△AHE中，∠EAH=45°，AE=4006米，

则AH=EH=22AE=4003(米)，

由题意可知：∠EBH=60°，

∵tan∠EBH=EHBH，

∴BH=EHtan∠EBH=40033=400(米)，

∴AB=AH+BH=(4003+400)米；

(2)如图，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF于点G，

则四边形ADGB为矩形，

∴BG=AF，GF=AB=(4003+400)米，

在Rt△AFD中，∠FAD=60°，AD=1500米，

则AF=AD⋅cos60°=1500×12=750(米)，FD=AD⋅sin60°=7503(米)，

∴GD=FD−FG=7503−(4003+400)=(3503−400)米，

在Rt△BGC中，BG=AF=750米，【解析】(1)过点E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AH、EH，根据正切的定义求出BH，进而求出AB；

(2)过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF于点G，根据余弦的定义求出AF，根据正弦的定义求出DF，进而求出CD，求出AD+DC、EB+BC，比较大小得到答案．

本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFH是正方形，

∴AE=EF，∠B=∠AEF=90°，

∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠GEF，

∴∠BAE=∠GEF，

∵FG⊥BC，

∴∠G=90°=∠B，

∴△ABE≌△EGF(AAS)，

∴AB=EG=BC，

∴BE=CG；

(2)延长EB至点M，使得BM=DN，连接AM，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABM=∠D=90°，

∴△ABM≌△ADN(SAS)，

∴AM