高中数学北师大版必修五全册学案 第课时基本不等式

§3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么≥,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b)2,当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD２=CA·CB,即CD=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥，其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式≤（a≥0,b≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a2+b2≥2ab和≥（a,b>0）（1）两个不等式：a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者要求a,b都是实数，后者则要求a,b都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，而≥是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a2+b2≥2ab，≥都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取‘＝’”这句话的含义是“a=b”时，a2+b2≥2ab，≥中只有等号成立，反之，若a2+b2≥2ab,≥中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式≥，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地：x,y都为正数时，（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值;（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2.证明：∵x,y都为正数，∴≥(1)和式为定值S时，有≤，∴xy≤S2.上式当“x=y”时取“＝”号，因式当x=y时，积xy有最大值S2；(2)积式xy为定值p时，有≥,∴x+y≥2.上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2.注意：（1）在应用均值不等式≤求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b≥,等号当且仅当a=b时成立.［答案］1.≥a=b2.(1)最大值(2)最小值2思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小［例1］已知0＜a＜1,0<b<1,则a+b,2,a2+b2,2ab中哪一个最大？［分析］由已知a,b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］方法一：∵a>0,b>0,∴a+b≥2,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)<0,∴a2+b2<a+b,∴a+b最大．方法二：令a=b=,则a+b=1,2=1,a2+b2=,2ab=2××=,再令a=,b=,a+b=+=,2=2＝，∴a+b最大.［说明］运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性.变式应用1已知m=a+(a>2),n=22-b2(b≠0),则m、n的大小关系是（）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定［答案］A［解析］∵a>2,∴a-2>0,又∵m=a+=(a-2)++2≥２+2=4,当且仅当a-2=,即（a-2）2=1,又a-2>0，∴a-2=1,即a=3时取等号.∴m≥4.∵b≠0,∴b2≠0,∴2-b2<2,∴22-b2<4,即n<4，∴m>n.命题方向利用基本不等式求最值［例2］（1）若x>0，求函数f(x)=+3x的最小值；（2）若x<0，求函数f(x)=+3x的最大值.［分析］利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x>0,可得>0,3x>0.又因为·3x=36为定值，且=3x(x>0)时，x=2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x<0，得<0,3x<0,所以->0,-3x>0,所以对(-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.［解析］（1）因为x>0，所以>0,3x>0,所以f(x)=+3x≥2=2=x.当且仅当=3x,即x=2时，等号成立.所以当x=2时，f(x)取得最小值x.（2）因为x<0,所以-x>0,所以-f(x)=(-)+(-3x)≥2=x,所以f(x)≤-x.当且仅当-=-3x,即x=-2时，等号成立.所以当x=-2时，f(x)取得最大值-x.［说明］利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解.变式应用2设x>0，求y=2-x-的最大值.［解析］∵x>0,∴x+≥2=4,∴y=2-(x+)≤2-4=-2.当且仅当x=，即x=2时等号成立，y取最大值-2.［例3］（1）已知x<，求函数y=4x-2+的最大值；（2）已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值.［分析］此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值.［解析］（1）因为x<，所以4x-5<0,即5-4x>0,所以y=4x-2+=-(5-4x+)+3.因为5-4x+≥2=2,所以y≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立，所以当x=1时，函数y取得最大值1.（2）因为0<x<，所以1-3x>0,所以y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤[]2=.当且仅当3x=1-3x,即x=时等号成立，所以当x=时，函数y取得最大值.［说明］解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x-2拼凑成4x-5.(2)中将x拼凑成3x,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.变式应用3求函数y=+x(x>3)的最小值.［解析］y=+x=+(x-3)+3,∵x>3,∴x-3>0,∴+(x-3)≥2=2,当且仅当=x-3,即x-3=1,x=4时，等号成立.∴当x=4时，函数y=+x(x>3)取最小值2+3=5.命题方向利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（50<x≤80）时，每天销售的件数为p=,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？［分析］首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］解法一：由题意知利润S=（x-50）·=(x-50)·=.∵x-50≥0，∴（x-50）+≥20.∴S≤＝2500，当且仅当（x-50）＝，即x=60或x=40（不合题意舍去）时取=.解法二：由题意知利润S=（x-50）·令x－50＝t，x=t+50（t>0），则S===≤＝2500.当且仅当t=，即t=10时取等号，此时x=60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.［说明］1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值；（4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值.变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝(x>0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？［解析］（1）P=(32Q+3)·150％＋x·50%-(32Q+3)-x=--+49.5(x>0)；（2）P＝-(＋)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］已知a>0,b>0,且+=1,求a+b的最小值.［误解］∵a>0,b>0∴+≥2=6,∴6≤1，∴≤，∴ab≥36.∴a+b≥2≥x.∴a+b的最小值为x.［辨析］上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为+,即b=9a,x次等号成立的条件为a=b，故a+b取不到最小值x.［正解］∵a>0,b>0，+＝1，∴a+b=(+)(a+b)=1+9+≥10+2=10+2×3＝16.当且仅当，即b2=9a2时等号成立.解得a=4,b=x.故当a=4,b=x时，a+b取最小值16.课堂巩固训练一、选择题1.已知ab>0，则的取值范围是（）A.（2，+∞）B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］B［解析］∵ab>0,∴>0,>0,∴≥2=2.当且仅当，即a=b时，等号成立.2.不等式a2+4≥4aA.a=±2B.a=2C.a=-2D.a=4［答案］B［解析］因为a2-4a+4=(a-2)2≥0,当且仅当a=2时取“＝”，所以a=2.3.如果a,b满足0<a<b,a+b=1,则,b,2ab,a2+b2中值最大的是（）A.B.aC.2abD.a2+b2［答案］D［解析］解法一：∵0<a<b,∴1=a+b>2a,∴a<,又a2+b2≥2ab,∴最大数一定不是a和2ab,又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,∵1=a+b>2,∴ab<,∴1-2ab>1-=,即a2+b2>.解法二：特值检验法：取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,∵>>>,∴a2+b2最大.二、填空题4.若x>0,则x+的最小值为.［答案］2［解析］∵x>0,∴x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时，等号成立.5.x,y∈R,x+y=5,则3x+3y的最小值是.［答案］18［解析］3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2=2=2·（）5＝18,当且仅当x=y=时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（）A.y=x+B.y=sinx+,x∈(0,)C.y=D.y=+［答案］D［解析］A中，不满足正数这一条件；B中，∵x∈(0,),∴sinx∈(0,1),∴等号不成立；C中，y===+,当=时，x2+2=1,x2=-1(不成立)；D中>0,y=+≥2,当且仅当=,即x=1时，取最小值2.2.a,b∈R+，则,，三个数的大小顺序是（）A.≤≤B.≤≤C.≤≤D.≤≤［答案］C［解析］解法一：取a=2,b=8,则=5，=4，=3.2,∴选C.解法二：已知≥，又-==≥0∴≥.也可作商比较≥1.3.(x·上海理，15)若a,b∈R，且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（）A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.>D.≥2［答案］D［解析］本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b时不满足；B:a<0,b<0时不满足；C:a<0,b<0时不满足；D:>0,>0,+≥2=2.4.设x+3y=2,则函数z=3x+27y的最小值是（）A.B.2C.3D.6［答案］D［解析］∵x+3y=2,∴x=2-3y.∴z=3x+27y=32-3y+27y＝+27y≥2＝6，当且仅当=27y,即27y=3,∴33y=3,∴3y=1,∴y=.即x=1,y=时，z=3x+27y取最小值6.5.某工厂第一年产量为A,x年的增长率为a,x年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（）A.x=B.x≤C.x＞D.x≥［答案］B［解析］∵这两年的平均增长率为x，∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b)，∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由题设a＞0,b＞0.∴1+x=≤=1+，∴x≤.等号在1+a=1+b即a=b时成立.6.若x>4，则函数y=x+（）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］B［解析］∵x>4,∴x-4>0,∴y=x-4++4≥2+4＝6.当且仅当x-4=，即x-4=1，x=5时，取等号.7.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则（）A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］B［解析］由a＞b＞1,得lga＞lgb＞0，Q=(lga+lgb)＞=P，R=lg()＞lg=(lga+lgb)=Q，∴R＞Q＞P.8.设正数x,y满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是（）A.40B.10C.4D.2［答案］B［解析］∵x+4y≥2＝4,∴≤==10,当且仅当x=4y即x=20,y=5时取“＝”，∴xy≤100,即（xy）max=100,∴lgx+lgy=lg(xy)的最大值为lg100=2.二、填空题9.周长为l的矩形对角线长的最小值为.［答案］l［解析］设矩形长为a,宽为b,则a+b=,∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤2a2+2b2，∴a2+b2≥，∴对角线长≥=l.当且仅当a=b时，取"＝".10.若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）.①ab≤1；②≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.［答案］①③⑤［解析］①ab≤()2=()2=1,成立.②欲证≤,即证a+b+2≤2，即2≤0,显然不成立.③欲证a2+b2=（a+b）2-2ab≥2,即证4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立.④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3a2-ab+b2≥(a+b)2-3ab≥4-≥3abab≤,由①知，ab≤不恒成立.⑤欲证+≥2,即证≥2,即证ab≤1,由①知成立.x.(x·山东·文)已知x，y∈R+，且满足=1，则xy的最大值为.［答案］3［解析］∵x>0,y>0,且1=≥2,∴xy≤3,当且仅当,即x=,y=2时，等号成立.x.(x·x文，16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是［答案］［解析］题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力.由x2+y2+xy=1可得，（x+y）2=xy+1而由均值不等式得xy≤（）2∴（x+y）2≤（）2+1整理得，（x+y）2≤1∴x+y∈［-，］∴x+y的最大值为.三、解答题13.设实数a使a2+a-2>0成立，t>0，比较logat与loga的大小.［解析］∵a2+a-2＞0,∴a＜-2或a＞1，又a＞0且a≠1,∴a＞1，∵t＞0,∴≥,∴loga≥loga=logat,∴logat≤loga.14.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+，β=b+,求α+β的最小值.［解析］因为a,b的等差中项是,所以a+b=1,α+β=(a+)+(b+)=(a+b)+(+)=1+=1+,∵ab≤()2=,∴≥4,α+β≥5(当且仅当a=b=时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求+的最小值.［解析］方法一：由已知条件lgx+lgy=1可得：x>0,y>0,且xy=10.则+=≥=2，所以(+)min=2,方法二：由已知条件lgx+lgy=1可得：x>0,y>0,且xy=10,+≥2=2=216.(x·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？［分析］本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2=24500.当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=a,代入①式得a=x0,从而b=75,即当a=x0,b=75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小.第2课时基本不等式与最大（小）值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式≤.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.知能自主梳理常见的不等式：1.a2+b2≥(a、b∈R).2.ab≤（）2≤(a、b∈R).3.若0<a<b,m>0,则.［答案］1.2ab2.3.>思路方法技巧命题方向不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法［例1］已知a、b、c是正实数求证：++≥a+b+c.［分析］由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.［证明］∵a、b、c是正实数，∴≥2=2c(当且仅当＝,即a=b时，取等号);+≥2=2a(当且仅当=,即b=c时，取等号)；+≥2=2b(当且仅当=,即a=c时，取等号).上面3个不等式相加得2·+2·+2·≥2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时，取等号).∴++≥a+b+c.［说明］1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论.变式应用1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca.［解析］∵a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，c2+a2>2ca，以上三式相加得：2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca，∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.命题方向利用均值不等式证明不等式［例2］已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证：≥9.［解析］解法一：∵a>0,b>0,c>0,∴==3+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.即≥9（当且仅当a=b=c时取等号）.解法二：∵a>0,b>0,c>0,∴＝（a+b+c）()=1+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9.∴≥9（当且仅当a=b=c时取等号）.［说明］含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c=1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.变式应用2已知a、b、c为正数，求证:++≥3.［解析］左边＝=－３.∵a,b,c为正数，∴≥2（当且仅当a=b时取“＝”）；≥2（当且仅当a=c时取“＝”）；≥2（当且仅当b=c时取“＝”）.从而()+()+()≥6（当且仅当a=b＝c时取等号）.∴-3≥3.即++≥3.探索延拓创新命题方向利用基本不等式求范围［例3］当x>0时，求f(x)=的值域.［分析］此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.［解析］∵x>0,∴f(x)==.∵x+≥2,∴0<≤.∴0<f(x)≤1.当且仅当x=1时取“=”号.所以函数f(x)＝的值域为(0,1］.［说明］本题中若没有x>0的限制，仅有x∈R，那么应如下求解.当x>0时，同上.当x<0时，x+≤-2，∴-≤<0.∴-1≤f(x)<0.当x=0时，f(x)=0.∴-1≤f(x)≤1.∴函数f(x)的值域为［-1，1］.变式应用3设a＞b＞c,且≥恒成立，求m的取值范围.［解析］由a＞b＞c知：a-b＞0,b-c＞0,a-c＞0.因此，不等式等价于≥m,要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可.∵==2+≥2+2=4.当且仅当，即2b=a+c时，等号成立.∴m≤4,即m∈(-∞,4］.名师辨误做答［例4］已知0<x<1,求函数f(x)=3+lgx+的最值.［误解］f(x)=3+lgx+≥3+2＝3+2×2＝7，∴f(x)min=7.［辨析］∵0<x<1,∴lgx<0,<0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式.［正解］∵0<x<1,∴lgx<0,<0,∴-lgx>0,->0,∴(-lgx)+(-)≥2＝4，当且仅当-lgx=-,即lgx=-2,x=时，取等号.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3+（-4）＝－1.∴f(x)有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若b>a>0,则下列不等式中一定成立的是（）A.a>>>bB.b>>>aC.b>>>aD.b>a>>［答案］C［解析］∵b>a>0,显然有b>,>a,由均值不等式有>,故选C.2.已知a≥0，b≥0，且a+b=2,则（）A.ab≤B.ab≥C.a2+b2≥2D.a2+b2≤2［答案］C［解析］由a+b=2,得ab≤（）2=1,排除A、B；又≥（）2,∴a2+b2≥2.故选C.3.用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A.3米B.4米C.6米D.x米［答案］A［解析］解法一：设隔墙的长度为xm,则矩形的宽为xm,长为=（x-2x）m,矩形的面积为S=（x-2x）x=-2x2+xx=-2(x-3)2+18,∴当x=3时，S取最大值,故选A.解法二：(接解法一)S＝（x-2x）·x=2(6-x)·x≤2·=18当且仅当6-x=x即x=3时取“＝”.故选A.二、填空题4.若x>0，则3＋3x+的最小值为.［答案］9［解析］∵x>0,∴3+3x+≥3+2=3+2×3＝9.当且仅当x=1时，取等号.5.设x,y∈R，且x+y=3，则2x+2y的最小值为.［答案］4［解析］∵x+y=3,∴y=3-x,∴2x+2y=2x+23-x=2x+≥2=4,当且仅当2x=,即2x=2,∴x=,y=时，等号成立.三、解答题6.设a≥0，b≥0，a2+=1,求a的最大值.［解析］∵a2+=1,∴a2+=,a=·a·≤·.∴当a2+=1且a=,即a=,b=时，a的最大值为.课后强化作业一、选择题1.设a＞0,b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A.8B.4C.1D.［答案］B［解析］由已知，得3a·3b=3,∴3a+b=3,∴a+b＝1.∵a>0,b>0,∴=()(a+b)=2+≥2+＝4，当且仅当a=b=时，等号成立.2.若x＞0,y＞0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A.≤B.+≥1C.≥2D.≥1［答案］B［解析］取x=1,y=2满足x+y≤4排除A、C、D选B.具体比较如下：∵0<x+y≤4,∴≥故A不对；∵4≥x+y≥2，∴≤2,∴C不对;又0＜xy≤4,∴≥∴D不对;+=≥，∵≥，∴+≥1.3.设函数f（x）=2x+-1（x<0），则f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数［答案］A［解析］令2x=，由x<0得x=-，∴在x=-两侧，函数f（x）的单调性不同，排除C、D.f（x）=2x+-1=-（-2x-）-1≤-2-1=-2-1，等号在x=-时成立，排除B.4.(x·x文，7)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=（）A.1+B.1+C.3D.4［答案］C［解析］该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题.f(x)=x+(x>2)=x-2++2≥2+2=4.当且仅当x-2=即(x-2)2=1,∵x>2,∴x-2>0,∴x-2=1,即a=3.5.设x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则（）A.x+y≥2(+1）B.xy≤+1C.x+y≤(+1）2D.xy≥2(+1）［答案］A［解析］∵x>0,y>0,∴xy=x+y+1≤（）2,∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0，∴x+y≥2+2.故选A.6.若x∈R，则下列不等式成立的是（）A.lg(x2+1)≥lg2xB.x2+1>2xC.<1D.2x≤［答案］D［解析］A中，x≤0时，不等式不成立；B中x=1时，不等式不成立；C中x=0时，不等式不成立，故选D.7.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运年，其营运的年利润最大.A.3B.4C.5D.6［答案］C［解析］由图像知，y=-(x-6)2+x,∴年平均利润为＝=x-(x+)≤x-10＝2.当且仅当x=，即x=5时取等号.∴每辆客车营运5年，其营运的年利润最大.8.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（）A.0B.1C.2D.4［答案］D［解析］因为x,a,b，y成等差数列，所以a+b=x+y.因为x,c,d,y成等比数列，所以cd=xy,所以===+2.因为x>0,y>0,所以+2≥+2=4,当且仅当x=y时，等号成立.二、填空题9.(x·天津文，x)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为［答案］18［解析］本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值.∵log2a+log2b≥1∴log2ab≥1,ab≥2.∴a·2b≥4,∴a+2b≥2≥4（当且仅当a=2b=2时取“=”）3a+9b=3a+32b≥2=2≥2=18.（当且仅当a=2b=2时取“=”）10.函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则+的最小值为.［答案］8［解析］函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图像恒过点A(-2,-1),则有2m+n-1=0,即2m+n=1.又∵mn>0,∴+=(+)·（2m+n）=4+()≥4+4=8,当且仅当2m=n时等号成立.x.已知a、b为实常数，函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值为.［答案］(a-b)2［解析］从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者完成）.但若注意到（x-a）+(b-x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷.∴y=(x-a)2+(x-b)2≥2［］2=.当且仅当x-a=b-x,即x=时，上式等号成立.∴当x=,ymin=.x.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是.①6.5m②6.8m③7m④7.2m［答案］③［解析］设两直角边分别为a,b，直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).∵够用且浪费最少，∴应选择③.三、解答题13.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：≥4.［解析］=＝≥2+2＝4（当且仅当a=b且c=d时，取“＝”）.14.已知正常数a、b和正实数x、y，满足a+b=10，=1,x+y的最小值为18，求a,b的值.［解析］x+y=(x+y)·1=(x+y)·()=a+b+≥a+b+2=()2，等号在即时成立，∴x+y的最小值为（）2=18，又a+b=10,∴ab=16.∴a,b是方程x2-10x+16=0的两根，∴a=2,b=8或a=8,b=2.15.已知a>b>0,求a2+的最小值.［解析］∵a>b>0,∴a-b>0.∴b(a-b)≤()2=,当且仅当a-b=b,即a=2b时，等号成立.∴y=a2+≥a2+≥2=16,当且仅当a2=,即a=2时，等号成立.故当a=2,b=时，a2+有最小值16.16.(x·郑州模拟)某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用x万元.从x年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？［分析］设出变量→列函数关系式→利用函数求最大值→求平均利润→利用均值不等式求值→结论［解析］（1）设船捕捞n年后的总盈利y万元.则y=50n-98-［x×n+×4］＝－2n2+40n-98=-2(n-10)2+102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为=-2(n+-20)≤-2(2)=x当且仅当n=,即n=7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是x万元.§4简单线性规划第1课时二元一次不等式（组）与平面区域知能目标解读1.明确二元一次不等式及二元一次不等式组的概念.2.理解二元一次不等式的解集的几何意义是平面内一个区域.3.掌握二元一次不等式（组）所表示的平面区域的画法，特别是边界为实线还是虚线的确定.4.能解决与平面区域有关的一些问题，如平面区域的面积、整点个数等问题.5.能从实际情境中抽象出二元不等式（组），并会用平面区域表示此不等式组.重点难点点拨重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式.探索二元一次不等式（组）表示的平面区域及其画图.难点：怎样确定不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域.学习方法指导1.二元一次不等式（组）的解集二元一次不等式（组）的解集是指满足此二元一次不等式（组）的变量x和y的取值所构成的有序数对（x，y）的集合.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合.这种对应思想，为我们下面用平面区域表示二元一次不等式做好理论上的铺垫.2.二元一次不等式（组）表示的平面区域通过上面的分析，用有序数对表示二元一次不等式（组）的解集，就构成二元一次不等式（组）与直角坐标平面内某个平面区域的一一对应关系.我们知道，坐标平面内的一条直线Ax+By+C=0把整个平面分成三部分，即直线两侧的点集及直线上的点集，它们构成不同的平面区域.把平面内的任一点的坐标（x,y）代入三项式Ax+By+C，得到一个实数，或大于0，或等于0，或小于0.在直线Ax+By+C=0上的点，使Ax+By+C的值都为0；在直线同侧的点使Ax+By+C的符号都相同.根据这一点，我们可以用Ax+By+C＞0或Ax+By+C＜0判断代表直线的哪一侧.其方法是：在直线的一侧任取一点（x0,y0），若Ax0+By0+C＜0,则Ax+By+C＜0表示这点所在的一侧；若Ax0+By0+C＞0，则Ax+By+C＜0表示这点所在直线的一侧的相反一侧.如果C≠0，我们一般取原点（0，0）作为测试点.简称为直线定界，特殊点定域.一般地，（1）y=kx+b表示的直线将平面分成两部分，即y＞kx+b表示直线上方的半平面区域，y＜kx+b表示直线下方的半平面区域，而直线y=kx+b是这两个区域的分界线.（2）对于Ax+By+C＞0（或＜0）表示的平面区域可以这样来确定：不等式（A＞0）区域：在直线Ax+By+C=0B>0B<0Ax+By+C＞0右上方右下方Ax+By+C＜0左下方左上方当x的系数小于0时，可通过不等式两边乘以-1的方法转化成上述情况.当A或B为0时，可通过不等式直接确定，对于区域的确定要灵活，如果给定点P（x0，y0），和直线Ax+By+C=0（B≠0）判断点P在直线哪一侧时，设d=B·（Ax0+By0+C），则d＞0P在直线上方，d=0P在直线上，d＜0P在直线下方.3.本节学习的关键就是运用数形结合的思想方法.抓住直线定界、特殊点定域，突破点在直线哪一侧的问题.并熟练地用集合语言对有关问题加以描述.知能自主梳理1.二元一次不等式（组）的概念二元一次不等式是指含有 未知数，且未知数的最高次数为 的不等式.二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组.2.二元一次不等式（组）表示的平面区域一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分为三部分：（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0;（2）直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0.（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 ,从 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.在这里，直线l:ax+by+c=0叫做这两个平面区域的边界.一般地，把直线l:ax+by+c=0画成 ，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线l:ax+by+c=0画成 ，则表示平面区域不包括这一条边界直线.3.直线两侧的点的坐标满足的条件直线l:ax+by+c=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax+by+c的值具有 的符号，并且两侧的点的坐标使ax+by+c的值的符号 ，一侧都 ，另一侧都 .4.二元一次不等式表示区域的确定在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点 区域就是所求的区域；否则l的另一侧就是所求的区域.如果直线不过 ，则用 的坐标来进行判断，比较方便.［答案］1.两个12.（x0,y0）ax0+by0+c实线虚线3.相同相反大于0小于04.任取满足所在的这一侧另一侧原点原点思路方法技巧命题方向二元一次不等式表示的平面区域［例1］画出下列不等式表示的平面区域.（1）2x+y-10<0;（2）y≤-2x+3.［分析］对于（1），先画出直线2x+y-10=0(用虚线表示)，再取坐标原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-10<0表示的平面区域.对于（2），先把y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0的形式，再画出直线2x+y-3=0（用实线表示），取原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-3≤0表示的平面区域.［解析］（1）先画出直线2x+y-10=0（画成虚线）,取点（0,0），代入2x+y-10，得2×0+0-10=-10<0,∴2x+y-10<0表示的平面区域是直线2x+y-10=0的左下方的平面区域，如图（1）所示.(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0.先画出直线2x+y-3=0（画成实线）.取点（0,0），代入2x+y-3，得2×0+0-3=-3<0，∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及其左下方的平面区域,如图（2）所示.［说明］画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”，即画出边界Ax+By+C=0，要注意是虚线还是实线；②“特殊点定域”，取某个特殊点（x0,y0）作为测试点，由Ax0+By0+C的符号确定出所求不等式表示的平面区域.当C≠0时，通常取原点(0,0)作为测试点.变式应用1画出不等式x+2y-4＜0表示的平面区域.［解析］先画直线x+2y-4=0(画成虚线）.把原点（0,0)的坐标代入x+2y-4，则0+2×0-4=-4＜0，所以原点在x+2y-4＜0表示的平面区域内，所以不等式x+2y-4＜0表示的区域如图所示中的阴影部分.命题方向二元一次不等式组表示的平面区域x-y+5≥0［例2］画出不等式组x+y≥0,表示的平面区域.x≤3［分析］不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.［解析］不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0及其右下方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域，x≤3表示直线x=3及其左侧的平面区域，所以不等式组x-y+5≥0x+y≥0，表示的平面区域如图所示.x≤3［说明］画不等式组表示的平面区域时，只需作出每一个不等式所表示的平面区域，再求出它们的公共部分即可.x<3变式应用2画出不等式组2y≥x,表示的平面区域.3x+2y≥63y<x+9［解析］不等式x<3表示直线x=3左侧的平面区域.不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直线x-2y=0及其左上方的平面区域.不等式3x+2y≥6，即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0及其右上方的平面区域.不等式3y<x+9表示直线x-3y+9=0右下方的平面区域.所以原不等式组表示的平面区域如图所示.命题方向求平面区域的面积x-y+6≥0［例3］x+y≥0，所表示的平面区域，并求出平面区域的面积.x≤3［分析］先画出不等式组表示的平面区域，再求其面积.［解析］先画出直线x-y+6=0（画成实线），不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0及其右下方的平面区域.画出直线x+y=0(画成实线)，不等式x+y≥0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域.画出直线x=3（画成实线），不等式x≤3表示直线x=3及其左侧的平面区域.所以原不等式组所表示的平面区域如图所示.因此其区域面积即为△ABC的面积.由于直线x-y+6=0与直线x+y=0垂直，所以△ABC为直角三角形.x=3由,得B(3,-3).x+y=0x=3由得C(3,9).x-y+6=0x+y=0由得A(-3,3).x-y+6=0所以|AB|=6,|AC|=6,所以S△ABC=|AB|·|AC|=×6×6=36,所以原不等式组表示的平面区域的面积为36.［说明］解本题时注意到：AB⊥AC，联立方程组解得A,B,C三点的坐标，经计算求得△ABC为等腰直角三角形，从而其面积可求.变式应用3求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面区域的面积.［解析］可将两个原不等式转化成如下两个不等式组:x≥0,x<0,①y≥x,或②y≥-x,y≤x＋1,y≤-x+1,y≤2,y≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,它所围成的面积为S=×4×2-×2×1=3.命题方向求范围问题［例4］已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域（包括边界与内部），如图所示.（1）写出表示区域D的不等式组；（2）若点B(-1,-6),C（-3,2）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a的取值范围.［分析］由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的过程正好互逆.另外，在第（2）问中由B,C两点位于直线4x-3y-a=0的异侧，可知将B,C两点坐标代入代数式4x-3y-a所得的值的符号正好相反.［解析］（1）由A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)，得直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-x=0,4x+y+10=0.原点（0,0）在区域D内，所以表示区域D的不等式组为7x-5y-23≤0x+7y-x≤0.4x+y+10≥0（2）将B,C的坐标分别代入4x-3y-a,得4×(-1)-3×(-6)-a=14-a,4×(-3)-3×2-a=-18-a.由题意，知(14-a)(-18-a)<0,解得a的取值范围是-18<a<14.［说明］点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号；在异侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号.变式应用4若点（3,1）和（4,-6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.(－24,7) B.(7,24) C.(-7,24) D.(-24,-7)［答案］D［解析］把点(3,1)和（4,-6）分别代入3x-2y+a得7+a，24+a,由题意得(7+a)(24+a)<0.∴-24<a<-7.探索延拓创新命题方向二元一次不等式组表示实际问题［例5］某工厂生产甲、乙两种产品，需经过制造和装配两个车间.已知制造车间生产1件甲产品需4小时,生产1件乙产品需3小时,总有效工时为480小时;装配车间生产1件甲产品需2小时,生产1件乙产品需5小时,总有效工时为500小时.若工厂安排生产x件甲产品，y件乙产品，试列出x,y满足的关系，并画出图形.［分析］将已知数据列成下表：加工时间(小时/件)总有效工时(小时)甲乙车间制造43480装配25500［解析］依题意，可列出下面的条件：4x+3y≤4802x+5y≤500，x,y∈N+可行域为如图所示阴影部分（不含坐标轴）内的整点.［说明］用二元一次不等式（组）表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.变式应用5某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于x，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为x方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围.［分析］设出桌椅数量x、y,把x、y的限制条件列成不等式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围.［解析］设每天生产桌子x张，椅子y把，由题意得x≥x，y≥x，0.3x+0.2y≤x，x+≤30，x,y∈N,由不等式组画出区域如图阴影部分.(x,y)的取值范围即图中阴影部分的整点.名师辨误做答［例6］画出二元一次不等式2y-5x-10>0表示的区域.［误解］作出直线2y-5x-10＝0,即5x-2y+10=0.将（0，0）代入5x-2y+10可得5×0-2×0+10>0,∴所示区域为含有（0，0）的一侧，如图所示.［辨析］取特殊点检验时，应代入原式（2y-5x-10），而不能代入变形后的（5x-2y+10）进行检验.［正解］设F(x,y)=2y-5x-10,作出直线2y-5x-10=0.∵F(0,0)=2×0-5×0-10＝-10<0，∴所求区域为不含（0，0）的一侧，如图所示.课堂巩固训练一、选择题1.不在3x+2y＜6表示的平面区域内的点是（）A.（0,0） B.（1,1） C.（0,2） D.（2,0）［答案］D［解析］只有（2，0）点不满足3x+2y＜6.y＜x2.不等式组x+y≤1表示的区域为D，点P1（0，-2）,点P2（0，0），则（）y≥3A.P1D，P2DB.P1D，P2∈DC.P1∈D,P2DD.P1∈D,P2∈D［答案］A［解析］P1点不满足y≥3，P2点不满足y＜x,∴选A.3.表示图中阴影部分的区域的二元一次不等式组为（）x+y-1≥0x+y-1≤0A.B.x-2y+2≥0x-2y+2≤0x+y-1≥0x+y-1≤0C.D.x-2y+2≤0x-2y+2≥0［答案］A［解析］取原点0（0，0）检验满足x+y-1≤0，故异侧点应为x+y-1≥0排除B、D,O点满足x-2y+2≥0，排除C.二、填空题4.已知集合A={（x,y）||x|+|y|≤1},B={（x,y）|y2-x2≤0}，M=A∩B，则集合M所表示的平面区域的面积等于 .［答案］1［解析］如图，A表示的区域为横条阴影部分，B表示的区域为竖条阴影部分，M=A∩B为阴影重叠部分，其面积为2×()2=1.5.点（1，2）和点（-1，3）在直线2x+ay-1=0的同一侧，则实数a的取值范围是 .［答案］（-∞,-)∪(1,+∞)［解析］∵(2a+1)(3a-3)＞0,∴a＜-或a＞1.三、解答题6.如图所示,在△ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.［解析］解法一:由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简.AB:x＋2y-1=0,BC:x-y+2=0;CA:2x+y-5=0.∵原点（0,0）不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组x+2y-1≥0x-y+2≥02x+y-5≤0解法二：由AB的方程及三角形区域在AB右方，得不等式x+2y-1≥0.同理得x-y+2≥0.由CA的方程及三角形区域在CA左方，得不等式2x+y-5≤0.x＋2y-1≥0从而可得不等式组x-y+2≥0.2x+y-5≤0课后强化作业一、选择题1.不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（）A.右上方 B.右下方C.左下方 D.左上方［答案］C［解析］画出不等式x+3y-1<0表示的平面区域如图所示.2.不等式x-y+1≥0表示的平面区域是（）［答案］B［解析］将点（0，0）代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点（-2,0）代入不等式，得-1≥0,不成立，排除A，故选B.x≥0,3.(x·x文，8)直线2x+y-10=0与不等式组y≥0,表示的平面区域的公共点有()x-y≥-2,4x+3y≤20A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个［答案］B［解析］本题考查不等式（组）表示平面区域，考查学生分析问题的能力.不等式（组）表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”.可行域如图所示.由于-2<-,且直线2x+y-10=0过（5,0）点，所以交点个数为1个，是（5,0）.4.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2:3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是（）2x+3y≤550x+40y≤2000A. B.x、y∈N＋=5x+4y≤2005x+6y＜100C.= D.=x、y∈N＋［答案］C［解析］因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2000元，∴50x+40y≤2000即5x+4y≤200.x、y表示人数∴x、y∈N＋，∴答案为C.5.原点和点（1，1）在直线x+y-a=0两侧，则a的取值范围是（）A.a<0或a>2 B.a=2或a=0C.0<a<2 D.0≤a≤2［答案］C［解析］根据点（0，0）和点（1，1）位于直线x+y-a=0的两侧可得(-a)(2-a)<0，解得0<a<2.2x+y-6≤06.不等式组x+y-3≥0，表示的平面区域的面积为（）y≤2A.4 B.1 C.5 D.无穷大［答案］B［解析］如图，作出可行域，△ABC的面积，即为所求，易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),则S△ABC=×1×2＝1.（x-y+1）(x+y+1)≥07.不等式组表示的平面区域是（）-1≤x≤4A.两个三角形 B.一个三角形C.梯形 D.等腰梯形［答案］B［解析］如图,∵（x-y+1）(x+y+1)≥0表示如图A所示的对角形区域.且两直线交于点A（-1，0）.故添加条件-1≤x≤4后表示的区域如图B.x+y-1≥08.在平面直角坐标系中，若不等式组x-1≤0,（a为常数）所表示的平面区域的面积ax-y+1≥0等于2，则a的值为（）A.-5 B.1 C.2 D.3［答案］Dy=ax+1［解析］由,得A(1，a+1),x=1x=1由,得B(1,0)，x+y-1=0y=ax+1由,得C(0,1).x+y-1=0∵S△ABC=2,且a>-1,∴S△ABC=|a+1|=2,∴a=3.二、填空题9.已知点P（1,-2）及其关于原点的对称点均在不等式2x-by+1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是 .［答案］(-，-）［解析］由点P（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），它们均在2x-by+1>0表示的平2+2b+1>0,面区域内，则故-<b<-.-2-2b+1>0,10.点P（1，a）到直线x-2y+2=0的距离为，且P在3x+y-3＞0表示的区域内，则a= .［答案］3［解析］由题意，得=，∴a=0或3，又点P在3x+y-3＞0表示的区域内，∴3+a-3＞0，∴a＞0，∴a=3.x.不等式|x|+|y|≤2所表示的平面区域的面积为 .［答案］8［解析］不等式|x|+|y|≤2等价于不等式组x+y-2≤0(x≥0,y≥0)x-y-2≤0(x≥0,y<0)x-y+2≥0(x<0,y≥0)x+y+2≥0(x<0,y<0)画出不等式组表示的平面区域如图所示.由图可知，四边形ABCD为正方形，|AB|=2，∴S=（2）2=8.（x-y+5）(x+y)≥0x.不等式组，表示的平面区域的形状是 .0≤x≤3［答案］等腰梯形［解析］画出不等式组表示的平面区域如图所示.由图可知，平面区域为等腰梯形.三、解答题13.画出下列不等式表示的平面区域.(1)x-y+1<0;(2)2x+3y-6≥0.［解析］(1)画出直线x-y+1=0(画成虚线)，取原点（0，0），代入x-y+1,得0-0+1=1>0,∴原点不在x-y+1<0表示的平面区域内，∴不等式x-y+1>0表示的平面区域如图（1）所示.(2)画出直线2x+3y-6=0(画成实线)，取原点（0，0），代入2x+3y-6,得2×0+3×0-6=-6<0,∴原点不在2x+3y-6≥0表示的平面区域内，∴不等式2x+3y-6≥0表示的平面区域如图（2）所示.x+y≤514.画出不等式组x-2y>3，表示的平面区域.x+2y≥0［解析］不等式x+y≤5表示直线x+y=5及其左下方的区域，不等式x-2y>3表示直线x-2y=3右下方区域，不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及其右上方区域，故不等式组表示的平面区域如图所示.15.画出≤0表示的平面区域.［解析］≤0x+2y+1≥0（Ⅰ）x-y+4＜0x+2y+1≤0或(Ⅱ)x-y+4＞0则所求区域是（Ⅰ）和（Ⅱ）表示区域的并.不等式x+2y+1≥0表示直线x+2y+1=0上及其上方的点的集合，不等式x-y+4＜0表示直线x-y+4=0上方的点的集合.所以所求不等式表示的区域如图所示.16.某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务.已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次.列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域.［解析］设每天派出A型车x辆、B型车y辆，x+y≤10x+y≤1024x+30y≥1804x+5y≥30则x≤8，即x≤8.y≤4y≤4x，y∈N+x，y∈N+画出平面区域如图中阴影部分.第2课时简单线性规划知能目标解读1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.重点难点点拨重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.难点：线性目标函数最值（即最优解）求法.学习方法指导一、简单线性规划的几个概念1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数.2.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式（组），又称线性约束条件.3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解.5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域.6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.二、目标函数的最值问题在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值.1.求目标函数z=ax+by+c,b>0的最值.在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0：ax+by=0；(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.2.求目标函数z=ax+by+c,b<0的最值.在线性约束条件下,当b<0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0;(3)确定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.注意：确定最优解的方法:①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；②利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1<k2<…<kn,且目标函数的斜率为k,则当ki<k<ki+1时,直线li与li+1相交的点一般是最优解.知能自主梳理对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为 .z=f(x,y)是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做 ，当f(x、y)是x,y的一次解析式时，z=f(x、y)叫做 .求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为 ；满足线性约束条件的解（x，y）叫做 ；由所有可行解组成的集合叫做 ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 .［答案］线性约束条件目标函数线性目标函数线性规划问题可行解可行域最优解思路方法技巧命题方向求线性目标函数的最值问题x-4y≤-3［例1］设Z=2x+y，式中变量x，y满足条件3x+5y≤25，x≥1［分析］由于所给约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.［解析］作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.把Z=2x+y变形为y=-2x+Z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为Z，随Z变化的一族平行直线.由图可看出，当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小.x-4y+3=0解方程组，得A点坐标为（5，2），3x+5y-25=0x=1解方程组，得B点坐标为（1，1），x-4y+3=0所以Zmax=2×5+2=x，Zmin=2×1+1=3.［说明］由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解Z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得.x+y≤6,变式应用1（x·大纲文，4）若变量x、y满足约束条件x-3y≤-2,则z=2x+3yx≥1,最小值为（）A.17 B.14 C.5 D.3 ［答案］C［解析］本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，注意各直线的斜率之间的关系.x+y≤6，由x-3y≤-2，作出可行域如图x≥1.作出l0:2x+3y=0，在可行域内平移l0，显然当l0过A点时z=2x+3y取最小值.x-3y=-2联立得A(1,1)x=1∴z=2x+3y的最小值为2×1+3×1=5.命题方向利用线性规划问题求取值范围［例2］已知二次函数f(x)=ax2-c(a≠0)满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围.［分析］本题看似不是线性规划问题，但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线-4≤a-c≤-1性规划问题求解.否则直接用不等式知识求解，容易出现由求出a,c的范围，-1≤4a-c≤5进而确定f(3)的范围而发生错误.［解析］∵f(x)=ax2-c(a≠0),f(1)=a-c∴，又∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,f(2)=4a-4≤a-c≤-1∴