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5.２二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数线性齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程第5章常微分方程5.1一阶线性微分方程5.２二阶常系数齐次线性微分方程5.3微分方程的简单应用举例

一、二阶常系数线性齐次微分方程

（1）（2）定义1

形如的方程称为二阶线性微分方程。在(1)中,若即称(2)为二阶齐次线性微分方程。若则称(1)为二阶非齐次线性微分方程。定理5.1

若与是方程(2)的两个解，那么也是方程的解定理5.2

若与是方程(2)的两个线性无关的解，那么也是方程的通解线性无关：函数与的线性相关与线性无关：常数。线性相关：常数。解：验证的两个线性无关解，并求方程通解是方程常数，线性无关，所以方程的通解为：所以例2.1可验证是方程的解定义2

形如（p、q为常数）（3）的方程称为二阶线性常系数齐次微分方程。（4）(3)的特征方程。(4)的特征根方程(2)的两个根微分方程的通解如下表特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例2.2

求微分方程的通解解所给微分方程的特征方程为特征根为因此所求通解为例2.3

求微分方程的满足初始条件的特解解所给微分方程的特征方程为特征根为因此所求通解为把初始条件代人得因此所求特解为例2.4

求微分方程的通解解所给微分方程的特征方程为特征根为因此所求通解为二、二阶线性常系数非齐次微分方程形如(p、q为常数)的方程称为二阶线性常系数非齐次微分方程设是二阶非齐次线性方程的一个特解,是对应的齐次方程的通解,则定理是二阶非齐次线性方程的通解.注：对应的齐次方程的通解与自身的一个特线性非齐次微分方程的通解，是由其解之和构成.二阶线性常系数非齐次微分方程的求解方法1、形如形式方程有形如的特解.其中是常数,为次多项式:说明：1、是与同次的多项式如则2、幂函数中的幂指数是随是否为特征根而定:①当不是特征根时,②当是特征方程的单根时,③当是特征方程的重根时,例2.5求方程的一个特解解:原方程对应的齐次方程为:特征方程为:特征根为:由于不是特征根,所以应设特解为:代入原方程得:整理得:对比同次项系数得:解得:故求得方程的一个特解为例2.6求微分方程的通解解:原方程对应的齐次方程为:特征方程为:特征根为:于是所给方程对应的齐次方程的通解为:由于是特征方程的单根,所以应设特解为:代入原方程得:整理得:对比同次项系数得:解得:故方程的特解为因此方程的通解为:2、形如形式方程有形如的特解.由于多项式,指数函数与正弦余弦函数的乘积求导后仍是这些函数的乘积,因此可设方程特解为说明：1、是次多项式,2、按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取例2.7求微分方程的通解解:原方程对应的齐次方程为:特征方程为:特征根为:所给方程的齐次方程的通解为:不是特征方程的根,故设特解为:代入原方程得:整理得:对比同次项系数得:解得:于是求得一个特解为因此方程的通解为:1.二阶线性微分方程、二阶线性

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