人教版高中数学新教材必修第一册第二章教案（表格式、值得收藏）

中学教案迪年月日

第二章一元二次函数、方程和不等式

课题

2.1等式性质与不等式性质

教知识目标掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

学

目通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解

能力目标

标决问题的方法

情感目标通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式

教学难点利用不等式的性质证明简单的不等式。

主要教法

教学媒体

教学过程

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若a>b^>a±c>b±c

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若a>b,c>0=ac>bc

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若〃>"cV0=vbe

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1)V(a+c)—(b+c)

=a—b>0,

.*.a+c>b+c

2)(a+c)—(b+c)=a-b>0,

J.a+c>b+c.

1

实际上，我们还有〃>/?,/?>c=>Q>c,(证明：Va>b,b>c,

/.a-b>0,b—c>0.

根据两个正数的和仍是正数，得

(a—b)+(b—c)>0,

即a—c>0,

・・ac•

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

(1)a>b,b>c^>a>c

(2)a>b=>a+c>b+c

(3)a>b,c>0=ac>be

(4)a>b,c<0^ac<bc

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

(1)a>b.c>da+c>b+d

(2)a>b>O,c>d>Q^>ac>bd；

nn

(3)a>b>O.n^N.n>l^a>b；yfa>y/bo

证明：

1)Va>b,

.\a+c>b+c.①

Vc>d,

.•・b+c>b+d.②

由①、②得a+c>b+d.

a>b,c>0^ac>be],

2)ac>bd

c>d.b>0=>Z?c>bd

3)反证法)假设加《会，

2

^ifa<^ifb=>a<b

则：若「「这都与a>6矛盾,

迎=%=>a=》

.•.标>花

［范例讲解］:

例1、已知tz>Z?>0,c<0,求证

CC

—>-O

ab

证明：以为a>b>0,所以ab>0,」->0。

ab

十日1111

于是ciX>/7?X—,即Hn一>一

ababba

由c<0,得一>一

ab

3.随堂练习1

1、课本P74的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)(V3+)26+2-\/-6；

(2)(V3—V2)2(y/~6—I)?；

V5-2V6-V5，

(4)当a>b>0时，log］alog】b

22

答案：(1)V(2)<(3)<(4)<

［补充例题］

例2、比较(刘+3)(a—5)与例+2)例-4)的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并

同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根

据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号

问题。

解：由题意可知：

(〃+3)(〃-5)一(〃+2)(〃-4)

=(/—2a—15)一(/-2a—8)

=—7<0

(〃+3)(a—5)<(〃+2)(4—4)

随堂练习2

1、比较大小：

(1)(x+5)(x+7)与(x+6)2

(2)%?+5尤+6与2x?+5尤+9

3

4.课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两

个实数（代数式）的大小一一作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是〃个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论

5.作业

课本P75习题3.1［A组］第2、3题；［B组］第1题

教学成败得失及改进设想：

课

后

反

思

4

中学教案辿年月日

课题2.2基本不等式1

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，

教知识目标并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个

学数相等

目

能力目标通过实例探究抽象基本不等式

标

情感目标通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式J法<包心的证明

教学重点2

过程

教学难点基本不等式4ab<*等号成立条件

2

主要教法

教学媒体

教学过程

1.课题导入

基本不等式J法<土心的几何背景：

2

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图

设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一

些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车，，抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两

条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方

形的面积为由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

cr+b2>labo

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有=2a人。

2.得到结论：一般的，如果a,beR,那么/+/之2。优当且仅当=6时取=”号）

5

3.思考证明：你能给出它的证明吗？£

证明：因为a2+b--2ab=(a-b)2尸、八

当2A

aw阴寸,(a-b)2>0,当。=阴寸,(a-»2=0,

所以，(a—勿220,Bp(fl2+b^>2ab.

4.0从几何图形的面积关系认识基本不等式J法〈”幺

2

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得a+人联>2y[ab

通常我们把上式写作：4ab<^(a>0,b>0)

2)从不等式的性质推导基本不等式J法<色心

2

用分析法证明：

要证色2箍(1)

2

只要证a+b>_______(2)

要证(2),只要证a+b-_______>0(3)

要证(3),只要证(____-____)2(4)

显然，(4)是成立的。当且仅当a=b时，(4)中的等号成立O

3)理解基本不等式J法的几何意义

2

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=bo过点C作4韭直

+b

于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不停享式yfab<£

的几何解释吗？4

易证Ht/\ACMRt^DCB,那么Cl}=CA•CB

r

即CD—4ab.

这个圆的半径为"显然，它大于或等于切，即巴心

2,>4ab,其匚口当且攸［当点。与圆心重

22

合，即a=8时，等号成立.

因此：基本不等式J法<巴心几何意义是“半径不小于半

弦”

2

评述：1.如果把仁心看作是正数a、6的等差中项，

4ab看作是U激a、6的今手比中项，那么该

2

定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称"2为a、6的算术平均数，称

为a、方的几何平均数.本节定理

2

还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

6

[补充例题]

例1已知x、y都是正数，求证:

⑴

%y

(2)(x+y)(/+y2)(/+/)8/y.

分析：在运用定理：3士22疝时，注意条件a、6均为正数，结合不等式的性质(把握好

2

每条性质成立的条件)，进行变形.

解：y都是正数>0,->0,x>0,/>0,/>0,/>0

y%

I+J/AJXV>0

(x+y)(/+/)(/+y)^2.y[xy,2yjx2y2,2yjxiy3—8xy

即(x+y)(/+y)(/+y)8

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

(a+6)(6+c)(c+z)8abc

分析：对于此类题目，选择定理：生吆2疝(a>0,6>0)灵活变形，可求得结果.

2

解：:a,b,。都是正数

.\a+b^2y[ab>0

b+c=2屈>0

c+a^2y[ac>0

(a+6)(6+c)(c+a)22•2-fac=8abc

即(a+6)(6+c)(c+a)8abc.

4.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a?+6222a6；两正数a、6的算术平均数(”々)，几何平

2

均数(J法)及它们的关系(竺幺》J茄).它们成立的条件不同，前者只要求a、6都是实数,

2

而后者要求a、6都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节

2,/2

我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab^------,abW

2

7

（a+b）2

2

5.作业

课本第100页习题［A］组的第1题

教学成败得失及改进设想：

课

后

反

思

8

中学教案四组年月日

课题2.2基本不等式2

进一步掌握基本不等式J法〈巴心；会应用此不等式求某些函

教知识目标2

数的最值；能够解决一些简单的实际问题

学

通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式J法<竺2,并

目

能力目标2

标会用此定理求某些函数的最大、最小值。

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事

情感目标

求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

教学重点基本不等式4ab<—的应用

2

教学难点利用基本不等式J石<小求最大值、最小值

2

主要教法

教学媒体

教学过程

1.课题导入

1.重要不等式：

2

如果cR,那么/+b>2a优当且仅当cz=b时取一号）

2.基本不等式：如果a,b是正数，那么疯（当且仅当a=6时取"="号）.

3.我们称应乎为。力的算术平均数，称而为a力的几何平均数.

a2+b2>2ab和色土9>J痴成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b

2

都是正数。

2.讲授新课

例1（1）用篱笆围成一个面积为lOOnJ的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用

篱笆最短。最短的篱笆是多少？

9

(2)段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜

园的面积最大，最大面积是多少？

解：(1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m。由X+J区,

可得x+y>2A/100,2(%+y)>40o等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

(2)解法一：设矩形菜园的宽为xm,则长为(36—2x)m,其中其面积S

2%+36—2x.O362

X(36—2x)=—・2x(36—2x)W—(•

22

当且仅当2x=36—2x,即％=9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9m时菜园面积最大为81

2

解法二：设矩形菜园的长为xm.,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xymo

而〈苫2=?=9,可得xy<81

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a,6GR+,且a+仁弘〃为定值,

则励W——，等号当且仅当a=6时成立.

4

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,力GR+,且加=尸，尸为定值，

贝！|a+6N2j^,等号当且仅当a=6时成立.

例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1后的造价

为150元，池壁每In?的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，

其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为/元，根据题意，得

I=240000+720(%+

>240000720x2.

=240000720x2x40=29760C

10

当X=更"，即X=40时,/有最小值2976000.

X

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是

不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

3.随堂练习

Q1

1.已知xWO,当x取什么值时，V+—的值最小?最小值是多少？

X

2.课本第100页的练习1、2、3、4

4.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。

在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个

条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有

一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函数的

最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

5.作业

课本第100页习题［A］组的第2、4题

教学成败得失及改进设想：

课

后

反

思

11

中学教案迪年月日

课题2.2基本不等式3

进一步掌握基本不等式J法〈生吆；会用此不等式证明不等式，

2

教知识目标

会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问

学题

目通过例题的研究，进一步掌握基本不等式J法<土心，并会用

标能力目标2

此定理求某些函数的最大、最小值。

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事

情感目标

求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

掌握基本不等式J法会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些

教学重点2

函数的最值

教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值。

主要教法

教学媒体

教学过程

1.课题导入

1.基本不等式：如果a,b是正数，那么应乎2«分（当且仅当。=6时取"="号）.

2.用基本不等式J法<巴心求最大（小）值的步骤。

2

2.讲授新课

1）利用基本不等式证明不等式

24

例1已知m>0,求证---F6m>24。

m

24

［思维切入］因为m>0,所以可把一和6m分别看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。

m

［证明］因为m>0,,由基本不等式得

12

—+6m>2x—x6m=2^24x6=2x12=24

m'm

24

当且仅当——=6m,即m=2时，取等号。

m

24

规律技巧总结注意：m>0这一前提条件和—x6m=144为定值的前提条件。

m

3.随堂练习1

［思维拓展1］已知a,b,c,d都是正数，求证(〃Z?+cd)(ac+M)2

［思维拓展2］求证(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.

4

例2求证：----\-a>l.

a—3

［思维切入］由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左

44

边——+a=——+(。-3)+3.这样变形后,在用基本不等式即可得证.

u—3a—3

［证明］~^—+3=^—+(a-3)+3>2^—(a—3)+3=24+3=7

33V3

4

当且仅当——二3即a=5时,等号成立.

。-3

规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

2)利用不等式求最值

9

例3(1)若x>0,求/(x)=4x+—的最小值；

x

9

(2)若x<0,求/(x)=4%+—的最大值.

x

9

［思维切入］本题(l)x>0和4xx—二36两个前提条件；(2)中x<0,可以用-x>0来转化.

解(1)因为x>0由基本不等式得

9Ig,—a3Q

/(%)=41+—22」4%+—=2衣=12,当且仅当41=—即x=一时，/(x)=4x+—取最小值

XVxx2x

12.

⑵因为x<0,所以-x>0,由基本不等式得：

-/(%)=-(4%+-)=(-4x)+(--)>2.(^x)-(--)=2A=12,

%XVX

所以/(x)<12.

939

当且仅当-4x=——即x=—-时，/(x)=4%+—取得最大-12.

x2x

规律技巧总结利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正.

随堂练习2

13

9

［思维拓展1］求/(x)=4%+^(x>5)的最小值.

x-5

2Q

［思维拓展2］若x>0,y>0,且一+?=1,求xy的最小值.

xy

4.课时小结

用基本不等式，石〈巴心证明不等式和求函数的最大、最小值。

2

5.作业

1.证明：a1+b2+2>2a+2b2.若%>-1,则％为何值时x+一一有最小值，

最小值为几？x+l

教学成败得失及改进设想：

课

后

反

思

14

中学教案四组年月日

课题2.3二次函数与一元二次方程、不等式

理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图

教知识目标象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类

讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力

学

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函

目

能力目标数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元

标

二次不等式的解法

激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同

情感目标

时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

主要教法

教学媒体

教学过程

L课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：尤2-5%<0...........(1)

2.讲授新课

1)一元二次不等式的定义

象必―5%<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不

等式

2)探究一元二次不等式必―5%<0的解集

怎样求不等式(1)的解集呢？

15

探究：

(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：玉=0,々=5

二次函数有两个零点：%=0,%=5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。J/3一“

(2)观察图象，获得解集]],

画出二次函数y=d-5九的图象，如图，观察函数图象，可知：7|

当x<0,或x〉5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即V-5x>0；

当0〈x〈5时，函数图象位于x轴下方，此时，y〈0,即尤2—5了<0；

所以，不等式V—5x<0的解集是{X|0<%<5},从而解决了本节开始时提出的问题。

3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

ax2+Zzx+c>0,(a>0)或加+Z?x+c<0,(«>0)

一般地，怎样确定一元二次不等式ax?+Z?x+c>0与ax?+bx+c<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下

两点：

(1)抛物线y=ax2+Zur+c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ad+bx+c=Q的根

的情况

(2)抛物线y=ad+人x+c的开口方向，也就是a的符号

总结讨论结果：

(1)抛物线y^ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次

方程ax2+bx+c=0的判别式A=〃—4ac三种取值情况(△>0,A=0,A<0)来确定.因此，要

分二种情况讨论

(2)a〈0可以转化为a〉0

分△>(),A=0,△〈()三种情况，得到一元二次不等式ax?+bx+c>0与ad+/?x+c〈0的解集

一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<O(a#O)的解集：

设相应的一元二次方程ax2+bx+c=O(a2O)的两根为玉、巧且无1<无2，