第14讲 指数函数及其性质 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第14讲指数函数及其性质1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2.理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；3.掌握指数函数图象的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质.1指数函数概念一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x2指数函数的图像与性质函数名称指数函数定义函数y=ax(a>0图象a>10<a<1定义域R值域(0,+∞)过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数3指数型函数模型形如y=k·ax(k∈R，且k≠0；

【题型一】指数函数的概念相关知识点讲解一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x解释(1)指数函数y=ax(a>0且a≠1)中系数为1，底数是不为1的正实数的常数，指数是变量x.注意与幂函数的区别，如y=(2)指数函数中为什么要限制a>0且a≠1呢？①若a<0，则对于x的某些值ax无意义，如−2x，此时x取②若a=0或a=1时，函数没研究价值.【典题1】已知指数函数fx=a−1bx的图像经过点2,4，则ab=A．4 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】由指数函数fx=a−1bx的图象经过点2,4所以ab=4，故选：A.变式练习1.给出下列函数，其中为指数函数的是(

)A．y=x4 B．y=xx C．【答案】C【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解.【详解】因为指数函数的形式为y=ax(a>0且所以y=π故选：C.2.已知函数fx=axa>0,a≠1的图象过点PA．3 B．-3 C．13 D．【答案】C【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知f2所以f−1故选：C3.若指数函数fx的图象过点3,8，则fx的解析式为【答案】fx【分析】设出解析式，将点3,8代入，求出解析式.【详解】设fx=ax(解得a=2，故fx【题型二】指数函数过定点问题相关知识点讲解指数函数y=ax(a>0且a≠1)过定点0,1，因为不管a为何值，x=0【典题1】已知函数f(x)=2+a2x−4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A．(0,2) B．(2,3)C．(2,4) D．(4,0)【答案】B【分析】由指数型函数所过的定点求解即可.【详解】令2x−4=0，解得x=2，则f(2)=2+a2×2−4=2+故选：B变式练习1.已知函数y=ax−1+4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点PA．0,5 B．0,4 C．1,5 D．1,4【答案】C【分析】由指数函数性质确定图象所过定点.【详解】令x=1，则y=a1−1+4=5故选：C2.当a>1时，fx=aA．2,5 B．3,5 C．2,6 D．3,6【答案】C【分析】令x−2=0，求出x【详解】对于函数fx=ax−2+5则f2所以fx=a故选：C3.已知函数y=2ax−3−1(a>0，且a≠1)恒过定点Ax0,y0，且满足A．16 B．6 C．23 D．【答案】A【分析】通过x−3=0可得定点A，代入等式得3m+n=1，然后通过展开3m【详解】令x−3=0，得x=3，此时y=1，∴Ax0,∴3m+n=1.∴3当且仅当3nm=3m故选：A.【题型三】指数函数的图象辨析相关知识点讲解指数函数的图像与性质函数名称指数函数定义函数y=ax(a>0图象a>10<a<1定义域R值域(0,+∞)过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．【例】画出函数y=2x和解y=2x：在R上递增，非奇非偶函数，值域是y=12x：在Ry=2x与y=1【典题1】若函数y=ax−(b+1)(a>0,a≠1)A．0<a<1，b>0 B．0<a<1，b<0 C．a>1，b<0 D．a>1，b>0【答案】D【解析】函数y=ax−(b+1)的图像是由y=ax的图像向下平移(b+1)【详解】由指数函数y=ax图像的性质知函数y=a而函数y=ax−(b+1)的图像是由y=故若函数y=ax−(b+1)的图像过第一、三、四象限，则a>1且b+1>1，从而a>1且b>0变式练习1.如图是指数函数①y=ax、②y=bx、③y=cx、④y=dx的图像，则a，A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜aC．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b【答案】B【分析】由指数函数的单调性分析得到a，b大于1，c，d大于0小于1，再通过取x=1得到具体的大小关系．【详解】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，可知a，b大于1，c，d大于0小于1．又由图可知a1>b1，即a>b，∴a，b，c，d与1的大小关系是d<c<1<b<a．故选B．2.函数y=ax与y=xa的图象如图所示，则实数A．14 B．13 C．1【答案】B【分析】利用指数函数与幂函数的图像性质判断得a的可能取值.【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数y=ax，图像②是幂函数因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知0<a<1，排除D；再由图像②存在−∞,0的图像，由幂函数的图像性质可知综上：13满足a的取值要求，故a的可能取值为1故选：B.3.函数y=|2xA． B．C． D．【答案】C【详解】y=|当x<0时，y=1－2x的图象是将y=2x图象先沿x轴对称下来，再沿y只有C项满足题意．故选C【题型四】指数函数的应用角度1比较幂的大小【典题1】已知a=0.60.5，b=0.50.5，A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a【答案】C【分析】由指数函数与幂函数的单调性即可判断a,b,c大小关系.【详解】设fx=0.5所以b=f0.5令ℎx=x0.5，由幂函数的性质知所以a=ℎ0.6所以a>b>c.故选：C变式练习1.设a=30.8,b=A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】A【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.【详解】∵b=13−0.7=∴a>b>1.∵y=0.8x在R上单调递减，故选：A．2.已知a=0.32，b=20.1，c=30.2，则a，A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a【答案】B【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断.【详解】因为y=0.3x在R内单调递减，则0<0.3且y=2x在R内单调递增，则20且y=x0.2在0,+∞内单调递增，2综上所述：a<b<c.故选：B.角度2最值问题【典题1】函数f(x)=(13)【答案】(0,3]【详解f(x)由y∵u由指数函数性质，y=(故答案为：(0,3]【典题2】若函数fx=3x−a,x<2A．0,1∪3,+∞C．−∞,0∪【答案】B【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论a≤2、a>2研究f(x)有最小值情况下参数范围.【详解】由y=3x−a在(−由y=x2−2ax+3a=所以，二次函数在(−∞,a)上递减，在要使f(x)有最小值，当a≤2时，f(2)=4−a≤−a显然不成立；当a>2时，f(a)=3a−a2≤−a，则a综上，实数a的取值范围是4,+∞故选：B变式练习1.已知函数fx=axa>0,a≠1在区间0，【答案】52或【分析】分a>1与0<a<1两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.【详解】当a>1时，fx=ax在0，故a2−1=14，解得当0<a<1时，fx=ax在0，故1−a2=14综上a=52或故答案为：52或2.已知函数f(x)=(4−2a)x+1,x<2ax−1,x≥2，若f(x)的值域为R，则实数A．1,95 B．95,2 C．【答案】A【解析】对a分两种情况讨论，结合函数的图象和性质分析得解.【详解】如果0<a<1，则x<2时，f(x)<f(2)；x≥2时，f(x)≤a此时函数的值域不可能是R；如果a>1，x≥2时，f(x)≥a如果函数的值域是R，必须满足a>14−2a>0解之得1<a≤故选：A3.已知函数fx=4(1)当a=2时，求fx(2)记fx的最小值为ga，求【答案】(1)−4(2)g(a)=【分析】(1)当a=2时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；(2)由(1)知，令2x=t，t∈12,4【详解】(1)设2x=t，因为x∈[−1,2]，则则gt=t当a=2时，gt=t∴t=2时，gtmin=g2=−4(2)由(1)知gt=t其图象的对称轴为t=a．①当a≤12时，gt在1②当12<a<4时，③当a≥4时，gt在12,4综上，g(a)=1角度3指数型函数综合问题【典题1】设函数fx=2x−1，c<b<a，且fc>fA．2a+2C．2a+2【答案】D【分析】运用分段函数的形式写出fx的解析式，作出fx=2x−1的图象，由数形结合可得c<0且a>0，【详解】fx=2由图可知，要使c<b<a且fc>fa>fb故必有2c<1且又fc−fa∴2a故选：D．【典题2】已知函数fx(1)证明函数fx(2)对于∀x∈R，fx≤m【答案】(1)证明见解析(2)−【分析】(1)先分析fx的定义域，然后根据f(2)将问题转化为“fxmax≤m2【详解】(1)fx的定义域为−又因为f−x所以fx(2)因为fx=2所以2x+1所以fx又因为∀x∈R，fx≤m所以1≤m2−2m−2，解得m≤−1所以m的取值范围为−∞变式练习1.已知fx=2x−a+1，且fx<6A．−∞,1 B．−1,+∞ C．−1,1【答案】B【分析】fx<6在区间1,2恒成立，只需要【详解】由解析式易知：fx当x∈1,2时，fx<6恒成立，则f故选：B．2.函数y=2A．(12,+∞) B．(−∞,12【答案】B【详解】要求y=∵y=2∴只要求g(而由二次函数的性质可知g(x故选：B．3.已知实数a,b满足等式2a=3A．0<b<a B．a<b<0 C．b<a<0 D．a=b【答案】C【分析】作出函数y=2x与函数y=3x的图像，分2a【详解】作出函数y=2x与函数当2a=3当2a=3当2a=3故不可能成立的是b<a<0.故选：C4.若直线y=3a与函数y=ax−1(a>0，且a≠1A．2 B．13 C．14 【答案】C【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得【详解】由题意，直线y=3a与函数y=ax−1当0<a<1时，y=a由已知得0<3a<1，∴0<a<1当a>1时，y=a由已知可得0<3a<1，∴0<a<13，结合a>1可得综上可知，a的取值范围为(0,1故选：C5.已知实数a，b满足52a−5−3b≤A．有最大值1 B．有最小值0C．有最小值1 D．有最大值0【答案】A【分析】构造函数f(x)=5x−2−x，可知f(x)为R【详解】因为52a所以52a所以52a令f(x)=5x−2−x52a−2所以2a≤−3b，所以2a+3b≤0，则32a+3b≤3故选：A.6.已知函数fx=x+4(1)证明函数fx=x+4(2)若∀x1∈12,1，(3)若关于x的不等式：fx≤gx在0,2【答案】(1)证明见解析(2)a≤1(3)a≥0【分析】(1)利用定义法作差变形判断得到结论即可；(2)转化为f(x)(3)转化为a≥x+【详解】(1)证明：任取0<x1∵0<x1<x2∴f即函数fx=x+4(2)由(1)的结论知fx在12,1因为gx在2,3上单调递增，所以若∀x1∈1即5≥4+a，解得a≤1.(3)由题意得x+4x≤即a≥x+4x−2x设ℎx因为fx=x+4x在0,2单调递减，所以ℎx=x+4所以ℎxmin=ℎ【A组基础题】1.已知函数fx=ax−2+1a>0,a≠1的图像恒过定点A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】求出m，n得到gx【详解】∵fx=∴m=n=2，∴gx∴gx为减函数，且过点0,1∴gx故选：C2.设a=0.91.3,b=A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设fx则由指数函数fx=0.9得f1.3设ℎx=x1.4，则幂函数得ℎ0.9所以a>b>c.故选：B3.已知实数a，b满足等式3a=6A．a=b B．0<b<aC．a<b<0 D．0<a<b【答案】D【分析】在同一坐标系内分别画出函数y=3x和【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数y=3x和由图象知，当a=b=0时，3a=6作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k当0<k<1时，若3a=6b=k所以不可能成立的是D，故选：D．4.设函数f(x)=a−3x,x≤02x+1,x>0A．[2,+∞) B．(1,2] C．(−∞,2) D．(−∞,2]【答案】D【详解】当x>0时，f(x)=2x+1在(0,+∞)上单调递增，则值域为(1,+∞)；当x≤0时，f(x)=a−3x在(−∞,0)上单调递减，则值域为因为函数f(x)=a−所以函数f(x)有最小值时，需满足a−1≤1，即a≤2，所以实数a的取值范围是(−∞,2]，故选：D.5.已知函数fx=3x+4,x<13x−2,x≥1,若m<n，且A．−43,7 B．[−1,7] C．[−1,7)【答案】D【分析】作出fx的图象，得到m=3n【详解】作出fx

由3m+4=3n−2,n∈[1,2)则mfn令t=3则mfn故mfn故选：D．6.不等式4x−2x+1+a>0对任意x∈【答案】(1,+∞【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数a的取值范围.【详解】原不等式可化为a>−4x+令t=2x，则t>0，所以当t=1时，ymax=1，所以故答案为:(1,+∞7.设函数fx=kax−2(1)确定k的值.(2)若f1=3，判断并证明(3)若a=3，使得2fx≤λ+1fx【答案】(1)2(2)fx在R(3)−【分析】(1)根据奇函数的性质f(−x)+f(x)=0计算可得；(2)首先求出a的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可；(3)依题意可得2λ−13x−3−x≥0【详解】(1)因为fx=ka则f(−x)+f(x)=ka而ax+a所以k的值是2.(2)由(1)得fx=2ax−2又f1=3，则2a−2a−1=3，即2则f所以函数fx在R设∀x1,则f(x因为x1<x2，则0<2于是得fx1−f所以函数fx在定义域R(3)当a=3时，f(x)=23因为∀x∈−2