2025届上海市黄浦区数学高一下期末教学质量检测试题含解析

2025届上海市黄浦区数学高一下期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列大小关系正确的是()A.B.C.D.2．在中，角的对边分别为，若，则A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数无法确定3．如图，是的直观图，其中轴，轴，那么是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形4．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为A． B． C． D．5．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（）A． B． C． D．6．在各项均为正数的等比数列中，公比.若，，，数列的前n项和为，则当取最大值时，n的值为（）A．8 B．9 C．8或9 D．177．已知，则的值等于()A．2 B． C． D．8．若直线xa+yb=1(a>0,b>0)A．3 B．4 C．3+22 D．9．已知向量，，则（）A．-1 B．-2 C．1 D．010．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（）A．4 B．5 C．9 D．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.12．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.13．某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥最长棱的棱长为．14．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7从散点图分析，与线性相关，且，则______．15．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．16．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AD，BD⊥CD，点E、F分别是棱BC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求证：AE⊥BD．18．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持岁以下岁以上（含岁）(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．19．已知圆以原点为圆心且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于、两点，过、两点分别作直线的垂线交轴于、两点，求线段的长．20．在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边的长.21．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：因为，，，所以。故选C。考点：不等式的性质点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。2、C【解析】

求得，根据，即可判定有两解，得到答案.【详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、D【解析】

利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出的形状．【详解】在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，则在原图形中，轴，轴，所以，，因此，是直角三角形，故选D．【点睛】本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题．4、B【解析】

由抛掷两枚骰子得到点的坐标共有36种，再利用列举法求得点落在圆内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的坐标，共有种结果，而满足条件的事件是点P落在圆内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式，可得，故选B．【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5、D【解析】

先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．【详解】从，，三个同学中选2名代表，基本事件总数为：，共个，被选中包含的基本事件为：，共2个，被选中的概率．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．6、C【解析】∵为等比数列，公比为，且∴∴，则∴∴∴，∴数列是以4为首项，公差为的等差数列∴数列的前项和为令当时，∴当或9时，取最大值.故选C点睛：（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；（2）求等差数列的前项和最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法：当时，满足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.7、D【解析】

根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系，代值即可.【详解】故选：D【点睛】本题考查了分段函数的求值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.8、C【解析】

将1,2代入直线方程得到1a+2【详解】将1,2代入直线方程得到1a+b=(a+b)(当a=2故答案选C【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.9、C【解析】

根据向量数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量，，所以.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.10、C【解析】由，得，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.12、【解析】

由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围.【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，，，，解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角.13、【解析】

先通过拔高法还原三视图为一个四棱锥，再根据图像找到最长棱计算即可。【详解】根据拔高法还原三视图，可得斜棱长最长，所以斜棱长为。【点睛】此题考查简单三视图还原，关键点通过拔高法将三视图还原易求解，属于较易题目。14、【解析】

根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.【详解】根据表中数据得：，又由回归方程知回归方程的斜率为截距本题正确结果：【点睛】本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.15、825【解析】

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，当且仅当4（k+3），即k3时取等号；②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.故答案为：825【点睛】本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、2【解析】

建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以,因为，，所以,因为，所以当时，取得最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）证明EF∥CD，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF∥平面ACD；（2）证明BD⊥平面AEF，然后说明AE⊥BD．【详解】（1）因为点E、F分别是棱BC、BD的中点，所以EF是△BCD的中位线，所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，EF∥平面ACD．（2）由（1）得，EF∥CD，又因为BD⊥CD，所以EF⊥BD，因为AB=AD，点F是棱BD的中点，所以AF⊥BD，又因为EF∩AF=F，所以BD⊥平面AEF，又因为AE⊂平面AEF，所以AE⊥BD．【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是基本知识的考查．18、(1)120;(2).【解析】

（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【详解】（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.（2）总体的平均数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）计算原点到直线的距离，作为圆的半径，从而可得出圆的方程；（2）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出，过点作，垂足为，求出直线的倾斜角为，再利用锐角三角函数的定义可求出.【详解】（1）把直线化为一般式，即，到直线的距离为，圆的半径为，圆的方程为；（2）直线的一般方程为，点到直线的距离为，圆的半径为，则，过点作，垂足为，．又的倾斜角为，，．因此，线段的长为．【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及了锐角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理实现边角转化，逆用两角和的正弦公式，进行化简，最后可求出角的大小；（2）利用面积公式结合，可以求出的值，再利用余弦定理可以求出边的长.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，故，，，代入，并两边同除以，得：，即，因为在中，，所以，故，又由可得，所以，同样由得：.（2）