典中点《21.2课时5-21.3 一元二次方程解实际问题的十种常见应用》素养练

典中点《21.2课时5~21.3一元二次方程解实际问题的十种常见应用》素养练名师点金学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解決与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和所求问题，必要时可通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答，现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.应用1增长率问题1.【2020·宜昌】资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积.材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）.去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m=3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点.问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.应用2销售问题2.【2019·安顺】安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？应用3储蓄问题3.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（不计利息税）应用4趣味问题4.一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量得竹竿长比城门宽4米.旁边一个醉汉嘲笑他：“你没看城门高吗？竖着拿就可以进去啦！”结果竹竿竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着城门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城门，你知道竹竿有多长吗？应用5写古诗问题5.读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？应用6传播问题6.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请回答：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过700台？应用7情景问题7.收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分.如图是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.请问：（1）2019年到2021年甜甜和她的妹妹在六一收到红包钱数的年平均增长率是多少？（2）2021年六一，甜甜和她的妹妹各收到了多少元微信红包？应用8几何问题8.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽.应用9函数问题9.某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，因此博物馆采取了提高门票价格的方法来控制参观人数，在该方法的实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系，在这种情况下，如果要保证每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数为多少？门票价格应是多少？应用10新定义问题10.观察下列一组方程：①x2-x=0；②x2-3x+2=0；③x2-5x+6=0；④x2-7x+12=0…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根.

参考答案1.解析：（1）（答案不唯一）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比.，（2）依题意有3n（1+x%）=[3n（1+x%）+n（1+4x%）3n（1+x%）][3n（3n+n-n）+x%]，100（x%）2+45x%-13=0,解得x%=20%或x%=-65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）=7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an=5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）=55：72.2.解析：（1）设一次函数关系式为y=kx+b，将x=2，y=120和x=4，y=140分别代入得解得∴y与x之间的函数关系式为y=l0x+100.（2）由题意得（60-40-x）（10x+100）=2090，整理得x2-10x+9=0，解得x1=1，x2=9.∵要让顾客得到更大的实惠，∴x=9.答：这种干果每千克应降价9元.3.解析：设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000（1+x）-500]（1+0.9x）=530.整理，得90x2+145x-3=0.解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63（舍去）.答：第一次存款时的年利率约是2.04%.4.解析：设竹竿的长为x米，∵竹竿横着比城门宽4米，竖着比城门高2米，∴城门高为（x-2）米，宽为（x-4）米.∵沿着对角斜着拿刚好可以进城门，∴可列方程为（x-2）2+（x-4）2=x2，解得x1=2（舍去），x2=10.答：竹竿的长为10米.5.解析：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.根据题意，得x2=10（x-3）+x.即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜去世时的年龄为25岁，不合题意，舍去；当x=6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意.答：周瑜去世时的年龄为36岁.6.解析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.则1+x+x（1+x）=81，解得x1=8，x2=-10（舍去），三轮感染后被感染的电脑总数为81+81×8=729（台），729台>700台.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，若病毒得不到有效控制，三轮感染后被感染的电脑总数会超过700台.7.解析：（1）设收到红包钱数的年平均增长率是x，根据题意，得400（1+x）2=484，解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%.答：2019年到2021年甜甜和她的妹妹在六一收到红包钱数的年平均增长率是10%.（2）设甜甜收到了y元微信红包，则她的妹妹收到了（2y+34）元微信红包，根据题意，得y+2y+34=484，解得y=150，则2y+34=334.答：2021年六一，甜甜和她的妹妹分别收到了150元和334元微信红包.8.解析：设道路的宽为xm，依题意得（20-x）（32-x）=540，整理得x2-52x+100=0，解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2，故道路的宽为2m.9.解析：设每周参观人数y（人）与票价x（元）之间的一次函数关系式为y=kx+b（x>0），根据题意，得解得∴y=-500x+12000（x>0）.∵xy=40000，即x（-500x+12000）=40000，∴x2-24x+80=0，解得x1=20，x2=4.当x=20时，y=-500x+12000=2000，当x=4