山东省威海市2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省威海市2024届高三二模数学试题一、选择题1.样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为（）A.20 B.21 C.22 D.23.5〖答案〗C〖解析〗样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36共9个数字，所以，所以分位数为从小到大排列的第个数，即为.故选：C.2.在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题：所以，故选：A.3.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，，解得，又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.故选：D.4.已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗因为，，成等差数列，所以，因为是正项等比数列，且，，所以，解得：或（舍去），所以.故选：A.5.已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=（）A.2 B.4 C.8 D.12〖答案〗B〖解析〗过点A作x轴的垂线，垂足为H，因为直线AF的斜率为，所以，则，所以，点A坐标为，代入得，整理得，解得或（舍去）.故选：B6.在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为E，F分别为棱BC，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面平面，，所以，又，所以，所以l与直线所成角的大小等于.故选：C7.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，因为对，，所以，所以，所以.故选：C.8.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，可得，所以在上单调递增，当时，，所以，所以，所以，令，求导可得，当，，所以单调递减，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故选：B.二、选择题9.下列命题为真命题的是（）A.是纯虚数B.对任意的复数z，C.对任意的复数z，为实数D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，是纯虚数，A正确；对于B，对任意复数，，，所以和不一定相等，B错误；对于C，设，则，则，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.在上单调递减B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C.在上有两个零点D.〖答案〗BCD〖解析〗于A，因为，所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；对于B，由上知，的图象关于对称，所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；对于C，由得函数的零点为，令，解得，所以，即在上有两个零点，C正确；对于D，因为，，，所以因为的最小值周期，所以，D正确.故选：BCD11.数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则（）A.B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12C.椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值〖答案〗ACD〖解析〗A选项，由题意得边长为的正方形为的蒙日圆的内接正方形，故，解得，，A正确；B选项，若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形为的蒙日圆的内接矩形，其中蒙日圆的半径为，设矩形的长为，宽为，故，故矩形面积为，当且仅当时，等号成立，故该矩形面积的最大值为24，B错误；C选项，由题意得，蒙日圆方程为，设，故，，由得，故，解得，显然点可能在第一象限或第四象限，C正确；D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，代入椭圆方程得：，由，化简得：，所以，把代入，得：，于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到，其中，故，即，当时，此时或，当时，切线方程为，满足，当时，切线方程为，满足，综上：椭圆在处的切线方程为；设切点为，故，则椭圆C的切线方程为，联立与得，设，则，，将代入得，，，故，为定值，D正确.法2：若的斜率存在，则设直线，则联立与得，由得，联立与得，，设，则，故，将代入得，故，若的斜率不存在，则：或，若：，则或，此时均有，同理当：，也有，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.的展开式中的系数为______．（用数字作答）〖答案〗35〖解析〗，令，解得，所以的系数为.故〖答案〗为：3513.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______．〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，所以，所以，因为，所以，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所以.故〖答案〗为：.14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．〖答案〗〖解析〗如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，，记则圆锥侧面积为，若相同时，较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时两点位于球心两侧，此时，，而,又，故令，，当时，单调递增；当时，单调递减，故当时，最大，圆锥侧面积最大，此时，此时圆锥体积，故〖答案〗为：.四、解答题15.市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到产品达到优秀等级的概率；（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）记质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级为事件，则，（2）由（1）可知每件产品达到优秀等级的概率均为，故，，所以，，，，，的分布列为：16.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．（1）证明：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：设中点为O，连接，为等边三角形，故，由题意知平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，又M为的中点，为等边三角形，则,平面，所以⊥平面；（2）解：由（1）知平面，平面，故，连接，，则，即四边形为平行四边形，故，故以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，设直线与平面所成角为，则.17.已知函数．（1）求的极值；（2）证明：．（1）解：由题意得的定义域为，则，当时，，在上单调递增，无极值；当时，令，则，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；（2）证明：设，，令，则，即在上单调递增，，故，使得，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故即，即，则.18.在直角坐标系xOy中，已知曲线C：过点，且与x轴的两个交点为A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直线l与C相切．（i）若l与直线的交点为M，证明：；（ii）若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程．（1）解：因为曲线C：过点，所以，由，可得，因，所以，解得，所以曲线C的方程为.（2）（i）证明：设直线l与C相切的切点为，因为，所以，则直线l的方程为，即，所以，由题意可知，所以，可得，所以；（ii）解：设P的坐标为，则，因为l与直线OP所成角的大小为，且l的一个方向向量为，所以，可得，即，所以或，当时，，因为，所以，可得，即，因为，所以，当时，，因，同理，所以点P的轨迹方程为或.19.设，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．（1）当时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；（2）是否存在正数M，对，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，