河北省保定市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册和集合与常用逻辑用语.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意得，，则.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，则所求切线切点坐标为，，有，则所求切线斜率为，所求的切线方程为，即.故选：B4.已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量x，y之间的相关系数为，，，则经验回归直线经过（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗B〖解析〗由相关系数为，知，负相关，所以又，，即点在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选：B.5.已知函数，其导函数为，集合若AB，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，解得，故，又，且AB，所以，解得.故选：A.6.已知函数，则“有极值”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗，若有极值，则有两个不相等的实数根，，解得；反之，时，有两个不相等的实数根，有极值.所以“有极值”是“”的充要条件.故选：C.7.有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（）A.32 B.36 C.48 D.56〖答案〗B〖解析〗周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法，周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法，所以分配方法的总数为36.故选：B8.一次知识竞赛中，共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：分值1020202030答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对题的概率为，答对题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若从，，中只选择了一题，则甲能获奖的概率；若从，，中选择了两题，则甲能获奖的概率；若从，，中选择了三题，则甲能获奖的概率.故甲能获奖的概率.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列说法正确的是（）A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为B.C.D.除以10的余数为9〖答案〗BC〖解析〗的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；令，可得，令，，则，故B正确；，故C正确；，故除以10的余数为1，故D错误.故选：BC.10.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是（）A.假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6B.假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16C.若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147D.假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，收到0的概率为，故A正确；对于B，收到1的概率为，所以收到11的概率为，故B正确；对于C，若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为，故C错误；对于D，设收到的信号是11为事件，发送的信号是11为事件，则，故D正确.故选：ABD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.存在，使得在上单调递减B.对任意，在上单调递增C.对任意，在上恒成立D.存在，使得在上恒成立〖答案〗BCD〖解析〗，因为，所以不存在，使得在上单调递减，故A错误；，因为，，所以，即，故B正确；当，时，，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，故C正确；当时，令，则，令，则，又，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量，若，则______，______.〖答案〗①②5〖解析〗，则，因为，所以，故，.故〖答案〗为：；.13.用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.〖答案〗72〖解析〗先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法；当1和5区域不同色时，有种涂法；综上所述：共有种涂法.故〖答案〗为：72.14.已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由，可得.令，则，，所以的图象关于直线对称.当时，，所以，又在上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减，由，可得，即，所以，解得.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.（1）计算样本平均数和样本方差；（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）附：若随机变量X服从正态分布，则，，.解：（1）解根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：数据的平均为，数据的方差为.（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布，设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，则，，，.因为，所以.因为，所以，因为，所以.综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.16.某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：合格品不合格品合计升级前12080200升级后15050200合计270130400（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.附：.010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：产品的合格率与技术升级无关，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为产品的合格率与技术升级有关.（2）升级前后合格品的比例为，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于升级后生产的，当，时，，当，时，，则的概率.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意知函数的定义域为，.当时，恒成立，在上单调递减；当时，由，得，由，得.所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，时，，则不一定成立，故不满足题意.当时，.令，则，，所以上单调递减，在上单调递增，而所以时，，且.所以的解集为，所以，即，故的取值范围为.18.在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.（1）求的分布列与期望；（2）证明为等比数列，并求关于的表达式.解：（1）的可能取值为2，3，4.，，，则的分布列为234故.（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为.故，，则，所以是公比为的等比数列.故，即19.若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.（1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由；（2）若与互为亲密函数，求的取值范围