辽宁省2024届高三重点高中协作校联考模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省2024届高三重点高中协作校联考模拟预测数学试题一、选择题1.若复数为实数，则实数等于（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗，若复数为实数，则，即.故选：D.2.已知集合..若，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合..，.故选：C3.下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据出行方式高铁自驾飞机客车频数27162829某实验点从这批游客中抽取25人，当中选择飞机出行的人数大约为（）A.8 B.7 C.6 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可知：每人被抽到乘飞机的可能性均为，所以选择飞机出行的人数大约为.故选：B.4.在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，建立平面直角坐标系，则，因为，可设，则，可得，其中，因为，所以.故选：A.5.数列中，，，，则的值为（）A. B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以6为周期的周期数列，所以.故选：A6.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.7.某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记“甲借走的有一支是红色”为事件A，“甲借走的两支都是红色”为事件B，则，，所以所求的概率为.故选：D.8.已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可设：，则，令，则，注意到，则，可知的图象开口向上，对称轴为，当，即时，可知在内的最小值为，则，整理得，解得，不合题意；当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；综上所述：.可得椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.二、选择题9.已知，下列不等式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：因为，可得，故A正确；对于选项B：例如满足，但，故B错误；对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；对于选项D：例如满足，但，即，故D错误；故选：AC.10.若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（）A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项〖答案〗ACD〖解析〗由题意可知：的展开式通项为，因为中第4项的二项式系数最大，当为偶数，则，即，此时，令为整数，可得，即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；当为奇数，则或，即或，且，可得，此时，令为整数，可得，即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；故选：ACD.11.已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（）A.当时，过点作球的截面的最小面积B.当时，多面体C.到平面距离是2D.与平面夹角正弦值是〖答案〗ABC〖解析〗设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，可得，,即，且正四棱台的高,设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，可得，，故或，即或，解得,故，即为球心.易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系，则故，对于A，当时，，故，故，过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小，此时截面半径为,最小面积，故A正确；对于B，当时，，故,故B正确；对于C，到平面距离即到平面的距离，易知垂直平面，故到平面的距离为，故C正确；对于D，设平面的法向量为，则令，解得.设与平面的夹角正弦值是，则，故D错误.故选：ABC.三、填空题12.过点且与圆相切的直线的方程是______．〖答案〗或〖解析〗当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.综上：直线的方程为或，故〖答案〗为：或13.已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和________.〖答案〗〖解析〗由题意可得：，解得或，注意到，则，可得，则，当时，则，即当时，.故〖答案〗为：.14.若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”________.〖答案〗960〖解析〗因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；所以“有序子集列”共有个.故〖答案〗为：960.四、解答题15.在中，角所对的边分别为，，，已知，.（1）求的值；（2）若，求的面积.解：（1）由题意可知：，可得，因为，由正弦定理可得，即，所以.（2）因为，即，由余弦定理可得，即，整理得，解得或，若，可得的面积；若，可得的面积；所以的面积为或.16.如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.（1）证明：平面；（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：设，连接，因为为正方形，则为的中点，又因为是的中点，则∥，且平面，平面，所以∥平面，由题意可知：四边形是平行四边形，∥，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面.（2）解：由题意可知：，且，平面，可得平面，取的中点，连接，可知分别为的中点，可得∥，所以平面，由平面，可得，又因为是等边三角形，可得，且，平面，可得平面，以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，可得，且，设平面的法向量，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数，（1）求的最小值；（2）证明：.（1）解：令，由可知，构建，则在内恒成立，可知在内单调递减，则，所以的最小值为1.（2）证明：由（1）可知：，即，又因为，则，可得，则，构建，，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，即，可得，注意到，则，所以.18.（1）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线，记为曲线；（2）设点在曲线上，在曲线上，且满足，求方程；（3）点在上，过点的直线与的渐近线交于，两点，且满足，求（为坐标原点）的面积.（1）证明：设，显然直线上，则，同理可得，若，则，当且仅当，即时等号成立，则，，可得；若，则，当且仅当，即时等号成立，可得，则，，可得；综上所述：，所以方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线；（2）解：因为点在曲线上，则，又因为，可得，所以方程为；（3）解：令，可得，即曲线的渐近线为，由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设，联立方程，解得，即，同理可得：，因为，可知为线段的中点，则，即，又因为在曲线上，则，整理得，且，即，可得，注意到直线与x轴的交点坐标为，则的面积.19.某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.（1）求的分布列；（2）记随机变量.已知，（i）证明：，；（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差