广西壮族自治区钦州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区钦州市2023-2024学年高二下学期期中考试试卷一、单选题（每题5分，共分）1.下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（）X3459PA. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，解得.故选：C.2.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为事件，互斥，它们都不发生的概率为，所以.将代入上式可得，所以，.故选:B.3.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（）A.0.025% B.0.032% C.0.048% D.0.02%〖答案〗A〖解析〗设不吸烟患肺癌的概率为，则，解得.故选：A4.的展开式中所有的项的系数之和为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，，则展开式所有项的系数和为.故选：A.5.有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（）A.13 B.40 C.72 D.60〖答案〗B〖解析〗由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.故选：B.6.某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（）参考数据：，，．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，，，所以．故选：A7.定义：“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，比如“1005，2013”，则所有“幸运数”的个数为（）A.20 B.56 C.84 D.120〖答案〗B〖解析〗“各位数字之和为6的四位数叫幸运数”，故首位最大为6，且首位不为0，则有：若首位为6，则剩余三位均为0，共有1个“幸运数”；若首位为5，则剩余三位为，共有个“幸运数”；若首位为4，则剩余三位为或，共有个“幸运数”；若首位为3，则剩余三位为或或，共有个“幸运数”；若首位2，则剩余三位为或或或，共有个“幸运数”；若首位为1，则剩余三位为或或或或，共有个“幸运数”；综上所述：共有个“幸运数”.故选：B.8.某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，因此共有种方法，而写对的可能只有1种，所以他写错这个英语单词的情况有种，所以他写错这个英语单词的概率为.故选：D.二、多选题（每题6分，共分）9.已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）A.数列的第项小于 B.数列不可能是等比数列C.数列为递增数列 D.数列中存在大于的项〖答案〗BCD〖解析〗由题知，因为，所以当时，，可得，当时，，可得，又，且，所以，A错误；对于B，假设数列是等比数列，设其公比为，由于，即，变形可得，必有，与等比数列定义矛盾，B正确；对于C，当时，可得，必有即，则是递增数列，C正确；对于D，假设数列中不存在大于的项，即对于，有，则，所以有，变形得，与假设矛盾，故D正确.故选：BCD10.现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（）A.选人为负责人的选法种数为B.每组选名组长的选法种数为C.若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为D.若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种〖答案〗AD〖解析〗对于A，个数学课外兴趣小组共有（人），故选人为负责人的选法共有种，A对；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长，所以不同的选法共有（种），B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法；从第一、三组中各选人，有种不同的选法；从第一、四组中各选人，有种不同的选法；从第二、三组中各选人，有种不同的选法；从第二、四组中各选人，有种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有种不同的选法.所以不同的选法共有（种），C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有种选法，其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有种选法，所以不同的选法有（种），D对.故选：AD．11.如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（）123456789A.事件A1，A2是互斥事件B.事件A1，A2是独立事件C.P(A1|A3)＝P(A2|A3)D.P(A3)＝P(A1)＋P(A2)〖答案〗AC〖解析〗A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；B.事件A1，A2不是独立事件，错误；C.，正确；D.，，错误.故选：AC.三、填空题（每题5分，共分）12.已知，则的值是______.〖答案〗〖解析〗令，则，即令，则，即，两式相加可得.故〖答案〗为：13.已知向量，，且，，则______〖答案〗〖解析〗由知，，解得，故，又则，解得，故〖答案〗为：14.已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，得，当，即时，；当，即时，，而，即，则当时，；当时，，因此，则，所以的取值范围是．故〖答案〗为：四、解答题15.已知正项数列的前项和为是与的等比中项.（1）求证：数列是等差数列；（2）若，数列的前项和为，求.解：（1）由是与的等比中项，得.当时，.当时，，，即.，即.数列是等差数列.（2）数列首项，公差，通项公式为.则，则①两边同时乘以，得②①-②，得.解得.16.某班级数学竞赛学习兴趣小组有9名学生，若从这9名学生中选取3人，则选取的3人中至少有1名女生的概率是.（1）该小组中男女学生各多少人？（2）若9名学生站成一排，要求男生必须两两站在一起（不能有3名男生站在一起），有多少种站队的方法？（要求用数字作答）解：（1）设男生有人，则至少1名女生，即，又，且，解得，故男生有人，女生有人.（2）第一步：将6名男生分成3组，共有种方法；第二步：3组男生中每组男生站队方法共有种；第三步：3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种方法；所以一共有种站队方法.17.已知正项数列，满足．（1）求；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由，可得，，两式相减得，又，，即，，又，解得，所以数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，.（2）由（1），，所以.18.为打赢脱贫攻坚战，解决脱贫问题，政府重点扶持扶贫工厂.当地对某扶贫工厂进行设备改造，为分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取100件产品作为样本，检测质量指标值.该产品为次品、合格品、优等品所对应的指标值范围分别为，，.设备改造前的样本的频率分布直方图如图所示，设备改造后的样本的频数分布表如下所示.质量指标值频数14473810（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为设备改造与产品为次品有关？次品非次品合计改造前改造后合计（2）若工人的月工资是由基本工资1000元与效益工资两部分组成.效益工资实施细则如下：每生产一件产品是合格品的奖50元，是优等品的奖100元，是次品的扣20元.将频率视为概率，估计设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资为多少元？附：0.1500.1000.05000250.0102.0722.7063.8415.0246.635解：（1）根据图表得到列联表：次品非次品合计设备改造前1585100设备改造后595100合计20180200将列联表中的数据代入公式计算得：.∴有的把握认为设备改造与产品为次品有关.（2）优等品效益工资：（元），合格品效益工资：（元），次品效益工资：（元），工人的月工资约为（元），设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资大约为4090元.19.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230（其中）每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，