广东省佛山市南海区2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市南海区2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求.1.已知向量，，那么向量的坐标是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以．故选：D．2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点.故选：C．3.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：.故选：C.4.“”是“函数为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗时，是偶函数，充分性满足，但时，也是偶函数，必要性不满足，应是充分不必要条件．故选：A．5.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的表面积的比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的表面积，球的表面积，所以球的表面积和圆柱的表面积的比是.故选：A.6.向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.7.在正方形中，在上且有与对角线交于，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，正方形中，，则，因为，所以，则，故.故选：C.8.复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（）A.3 B.4 C. D.5〖答案〗B〖解析〗设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，如图，最小值为.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗函数的最小正周期，时，，则函数在区间上不单调，故A不符合；函数的最小正周期，时，，则函数在区间上单调递增，故B符合；函数的最小正周期，故C不符合；函数的最小正周期，时，函数单调递增，故D符合.故选：BD.10.一个平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标可能是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论：①若四边形为平行四边形，则，即，即，解得，此时，点的坐标为；②若四边形是平行四边形，则，则，即，解得，此时，点的坐标为；③若四边形为平行四边形，则，即，即，解得，此时，点的坐标为，综上所述，第四个顶点的坐标为或或.故选：ABC.11.已知函数，，则下列结论中正确的是（）A.若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B.若，且的最小值为，则C.若在上单调递增，则的取值范围为D.当时，在有且只有3个零点〖答案〗ABD〖解析〗函数，A：若，，将图象向左平移个单位长度后得到，其图象关于原点对称，故正确；B：若，且的最小值为，则，解得，故正确；C：当时，，若在上单调递增，则，解得，故错误；D：当时，，令，解得，因为，所以，所以在有且只有3个零点，故正确.故选：ABD.12.已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.面积的最大值为C.圆锥的外接球的表面积为D.若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为〖答案〗BCD〖解析〗对于A：由题意可知：，故圆锥的侧面积为，故A错误；对于B：的面积，在中，，故为钝角，由题意可得，故当时，面积的最大值为，故B正确；对于C：由选项B可得：，则为钝角，可得，由题意可得圆锥外接球半径为的外接圆半径，设其半径为，则，即，故圆锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D：当水的平面过的中点时，则水的体积为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在四边形中，若，则________.〖答案〗〖解析〗因为，，且，所以，解得，又因为为四边形，所以与反向共线，则.故〖答案〗为：.14.根据诱导公式，填适当的式子，使__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.求值：__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.16.的内角，，的对边分别为，，，，，边上的高为，则的面积是________.〖答案〗〖解析〗因为，，设边上的高为，由正弦定理得，化简得，又，解得或（舍去），所以，因为，解得，，解得，所以的面积．故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，其中，.（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值.解：（1）∵，，∴，，∴，，∴.（2）由（1），，，∴.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值与最大值，并求出取最大值、最小值时自变量的值.解：（1），函数的最小正周期，令，解得：，所以函数的单调递增区间为.（2）函数图象上所有点向作平移个单位，得到函数，由，，则当，即时，函数取得最小值，最小值是，当，即时，函数取得最大值，最大值是，综上可知，最小值是，此时，最大值是，此时.19.如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是.（1）求石凳的体积；（2）求石凳的表面积.解：（1）根据题意可知正方体的体积为，又截去的每个四面体体积为，石凳的体积.（2）石凳的每个正方形面面积为：，又石凳的每个正三角形面面积为：，石凳的全面积为．20.已知内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若周长为9，外接圆的半径为，判断的形状，并求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，又，所以，得，又，所以.（2）依题意，由正弦定理得，因为的周长为9，所以，由余弦定理得，即，所以，由得，所以为等边三角形，所以的面积．21.如图在四边形中，，，，.（1）当平分四边形面积时，求长度：（2）问是定值吗?为什么?解：（1）设，，因为，，，所以，在中，由余弦定理可得，，也即，整理可得，①，又因为平分四边形面积，所以，也即，整理可得，②，①②可得，，则，由可得，整理可得，，解得或（舍去），将代入①可得，则，所以当平分四边形面积时，求长度为.（2）是定值，理由如下：分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，由题意可得，，设，由可得，，整理可得，，则，，所以.22.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），为当地的纬度值.（1）若，，求的值，并直接写出用，表示的关系式；（2）某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：观测站ABC观测站所在纬度/度40.000023.43930.0000观测站正午太阳高度角/度66.387082.946473.6141太阳直射点的纬度/度16.385716.3859太阳直射点的纬度平均值/度请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；（3）设第天时太阳直射点的纬度平均值为.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断与近似满足函数，经计算，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日?（4）定义从某年春分到次年春分所经历时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.解：（1）由题意得，，，间的关系式为.（2）根据可得：观测站A