广东省广州市七区2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（含解析）

广东省广州市七区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）

2022学年第二学期期末教学质量监测高二数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从

甲地到乙地，共有不同走法的种数是（)

A.18B.20C.26D.1080

2.某质点A沿直线运动，位移'（单位：m）与时间f（单位：S）之间的关系为y（7）=2尸+1,则质点A在

f=ls时的瞬时速度为（）

A.5m/sB.4m/sC.3m/sD.2m/s

3.数歹，则‘z是这个数列（）

1x22x33x44x556

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

4.现有5个节目准备参加比赛，其中3个舞蹈类节目，2个语言类节目.如果不放回地依次抽取2个节目,

则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言节目的概率为（）

11

AC.—D.一

-143

5.在等差数列｛4｝中，%=3,牝=11，直线/过点M（加则直线/的

斜率为（）

A.2B.-2C.4D.-4

6.在下列求导数运算中正确的是（)

B.^x2cosx)=-2xsinx

c-(fl4

D.[ln(2x1)]=21

7.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少

安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同

的安排方法总数为（）

A.20B.24C.30D.36

8.设a=M-l,b=lnZ，c=,，则的大小关系为（）

66

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（）

A.在经验回归方程y=-0.6x+5中，当解释变量》每增加1个单位时，响应变量y增加0.6个单位

B.决定系数R2的值越接近于1,回归模型的拟合效果越好

C.样本相关系数厂的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱

D.在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好

10.已知随机变量X的分布列为尸（X=0）=0.2,0（X=l）=a,0（X=2）=0.2,则（）

A.a-0.6B.£（X）=1C.E（2X+1）=2D.Z）（2X+3）=1.6

11.如图，等边;ABC的边长为2cm,取等边43c各边的中点。,£,尸，作第2个等边J无尸，然后再

取等边_DEF各边的中点G,,作第3个等边..GHI,依此方法一直继续下去.设等边；ABC的面积为％,

后继各等边三角形的面积依次为4，6，，”,，，则下列选项正确的是（）

/G\~7H\

BFC

A百

B.lna“+］是g和1叫+2的等比中项

C.从等边，43。开始，连续5个等边三角形的面积之和为巴史

256

D.如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于述

3

12.我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，给出了表示二项式系数规律的三角形数阵，现称为“杨辉

三角'’（如图所示），下列选项正确的是（）

第0行1

第1行1I

第2行121

第3行1331

第4行14641

A.若用表示三角形数阵的第i行第/个数，则4融3=4851

B.该数阵第B行各数之和为1024

C.该数阵第98行中存在三个相邻的数，它们依次所成的比为4:5:6

D.在该数阵中去掉所有为1项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…，则此数列的前

50项和为3047

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(x+yf的展开式中x2/的系数是.(用数字作答)

14.设随机变量X服从正态分布若P(X>6)=P(X<2),则〃=.

15.某机构近期对某种二手车的使用年数x(0<x<10)与再销售价格y(单位：万元/台)进行数据收集，得

到如下统计表：

使用年数X246810

再销售价格y16139.575

根据上表数据该种二手车的使用年数x与再销售价格)之间的经验回归方程为：>=_1.4x+a，现有一台

该种二手车使用了9年，估计这台手车的再销售价格为万元.

16.已知；I为正实数，若—Xx+二>0对XG(O,M)恒成立，则4的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步紧.

17.已知函数/(力=一次3+48%,％6[-2,5].

(1)求函数“X)的单调区间；

(2)求函数“X)的最大值与最小值.

18.已知等差数列｛《,｝的首项q=4,公差d=10,在｛《,｝中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原

数列的数一起构成一个新的等差数列｛2｝.

⑴求数列也｝通项公式；

1，'

(2)若c“=7i，求数列｛%｝的前八项和7；.

19.某校开设跳绳特色课程，为了解学生对该课程的爱好情况，采用问卷调查得到如下列联表:

性另

跳绳合计

力生女生

爱好402060

不爱好203050

合计6050110

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该校学生爱好跳绳与性别有关？

(2)现采用比例分配的分层抽样方法，从爱好跳绳的学生中抽取6人组成集训队.若从集训队中抽取4人组成

校队，参与区里举办的跳绳比赛，记抽到的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望.

n^ad-bey

附：-,其中〃=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

20.已知数列｛a“｝的前〃项和为=1,且a,m=2S“+l(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足a=(-1)%,，求数列｛an+bn｝的前2〃一1项和弓.

21.某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个

球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从

甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地

均匀的骰子，如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出一

个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.

(1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？

(2)若某员工获得io次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球次数为y,当尸(丫=左)取得最大

值时，求攵的值.

22.已知函数〃(x)=e2，,g(x)=2〃ze*.

⑴若函数〃(x)与g(x)的图象有一条斜率为1的公切线，求”的值；

⑵设函数"x)='(x)—g(%)-4"。证明：当心，时，/(“有旦仅有两个零点2022学年第

二学期期末教学质量监测高二数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

I.从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从

甲地到乙地，共有不同走法的种数是()

A.18B.20C.26D.1080

【答案】C

【解析】

【分析】根据分类加法原理求解即可.

【详解】由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，

根据分类加法原理知共有5+12+3+6=26种不同走法.

故选：C

2.某质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间f(单位：s)之间的关系为)，(/)=2/+1,则质点A在

t=ls时的瞬时速度为()

A.5m/sB.4m/sC.3m/sD.2m/s

【答案】B

【解析】

【分析】求得y'(r)=4r,令，=1时，得到y'(D=4,即可求解.

【详解】由函数y(r)=2产+1,可得＞'(7)=4f,

当r=l时，可得y'(D=4,即质点A在，=ls时的瞬时速度为4m/s.

故选：B.

3.数歹IJ」，工,」，丁匚，，则」7是这个数列的()

1x22x33x44x556

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

【答案】C

【解析】

【分析】通过裂项的知识求得正确答案.

.111111..............

【详国军】----=1,----=----,----=----,----=----,,

1x222x3233x4344x545

而'-=』-』，所以'-是这个数列的第7项.

567856

故选：C

4.现有5个节目准备参加比赛，其中3个舞蹈类节目，2个语言类节目.如果不放回地依次抽取2个节目，

则在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言节目的概率为（）

3111

A.-B.T-C.—D.—

4243

【答案】B

【解析】

【分析】本题是有条件的抽取，注意”在第1次抽到舞蹈节目的条件下''按要求抽取即可；’

【详解】在第1次抽到舞蹈节目的条件下，还有4个节目，其中2个舞蹈节目，2个为语言类节目，由此求

得第二次抽到语言节目的概率为：

故选：B.

5.在等差数列｛q｝中，。2=3,4=11，直线/过点则直线/的

斜率为（）

A.2B.-2C.4D.-A

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出M,N,即可求出结果.

【详解】因为｛%｝是等差数列，4=3,4=11，

令数列｛4｝的公差为d，

所以。6—。2=41=8,d=2,

则4=%+（〃-2”=2〃-1,

所以2n—1）,

9/2—2/72

则直线I的斜率为-------=2.

n-m

故选：A

6.在下列求导数的运算中正确的是（）

A.（不一，）=1一二B.（—cos%）=-2xsinx

c-（7）=5D,［g-1）］'=高

【答案】D

【解析】

【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，得到答案.

【详解】A选项，fx-11=1+二，A错误；

X）x~

B选项，（/cos^）=2xcosx-x2sinx»B错误；

C选项，（土］=上三，c错误；

le'JeJ

D选项，［ln（2x—D正确.

故选：D

7.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少

安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同

的安排方法总数为（）

A.20B.24C.30D.36

【答案】C

【解析】

【分析】依题意去三所学校的教师人数可能为（1、1、3）或（1、2、2）两种情况，先分组，再分配，最后

根据分类加法计数原理计算可得.

【详解】依题意去三所学校的教师人数可能为（1、1、3）或（1、2、2）两种情况，

若是1、1、3,则有C；A；=18种安排，

若是1、2、2,则C；A"C；A；=12种安排，

综上可得一共有18+12=30种安排.

故选：c

8.设。=&一1/=lnN,c=L,则a,6,c的大小关系为()

66

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数/(x)=e*-，-1和g(x)=lnx-x+l,通过导数判断函数的单调性，然后比较a,b,c大

小；

【详解】记/(x)=e*—x—l,则r(x)=e"-l,

当x>0时，>0,故/(x)在(0,+动上单调递增，

(1A1|11

故/->/(0)=>e6——l>0=>e6-l>-,故a>c,

(6J66

I1_r

记g(x)=hu-x+l,则g'(x)=——1=-

xx

当X>1时,g'(x)<o,故g(x)在(1,+8)单调递减，

z7771

故g-<^(l)=0=>ln---+l<0=>ln-<-,故〃<c，

\6)6666

因此a>c>〃.

故答案为：b<c<a

故选;D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关回归分析的结论中，正确的有()

A.在经验回归方程y=-0.6x+5中，当解释变量X每增加1个单位时，响应变量y增加0.6个单位

B.决定系数R2的值越接近于1,回归模型的拟合效果越好

C.样本相关系数厂的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱

D.在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好

【答案】BC

【解析】

【分析】根据回归分析相关知识逐一判断即可.

【详解】对于A,在经验回归方程y=-O.6x+5中，当解释变量X每增加1个单位时，响应变量y减小0.6

个单位，故A错误；

对于B,决定系数内的值越接近于1,回归模型的拟合效果越好，故B正确；

对于C,样本相关系数"的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C正确；

对于D,在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明拟合的精度越小，即说

明模型拟合效果越差，故D错误；

故选：BC

10.己知随机变量X的分布列为尸（X=0）=0.2,P（X=l）=",P（X=2）=0.2,则（）

A.a=0.6B.£（X）=1C.E（2X+1）=2D.Z）（2X+3）=L6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据分布列的性质求结合期望和方差的定义求石（x）,r＞（x）,再由期望的性质求七（2x+i）,

方差的性质求。（2X+3）,由此可判断结论.

［详解】因为随机变量X的分布列为尸（X=0）=0.2,P（X=1）=a,p（X=2）=0.2,

所以0.2+a+0.2=l,

所以a=0.6,A正确；

所以E（X）=0x0.2+lx0.6+2x0.2=l,B正确；

£（2X+1）=2£（X）+1=3,C错误；

由方差的定义可得。（X）=（O—l『x0.2+（l—1『X（）.6+（2-1）2X0.2=（）.4,

所以£＞（2X+3）=4D（X）=L6,D正确；

故选：ABD.

11.如图，等边，ABC的边长为2cm,取等边ABC各边的中点。E,F,作第2个等边J无尸，然后再

取等边_DEF各边的中点G,,作第3个等边.GHI,依此方法一直继续下去.设等边,ABC的面积为q,

后继各等边三角形的面积依次为。2，色，,则下列选项正确的是（）

A

B.lna“+i是lna„和lnan+2的等比中项

C.从等边./RC开始，连续5个等边三角形的面积之和为把电

256

D.如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于迪

3

【答案】ACD

【解析】

(11

【分析】利用边长关系，得到%=G--，即可得到数列｛4｝是以后为首项，[为公比的等比数列,

、4J4

即可判断A、B,然后利用等比数列求和公式判断C、D.

【详解】设三角形的边长为数列勿，

由题意知，三角形的边长是以2为首项，：为公比的等比数列，所以么=-，

2nQ

根据三角形面积公式，4=51=百(;1,则数列｛4｝是以G为首项，;为公比的等比数列，

令〃=4,久=走，选项A正确；

464

/]、〃-1([(1、〃+1

'则?+1=".,4+2="-,

W

两边取对数,In。”=lnV3-(n-l)ln4,Ina〃+]=Ing—九In4,Inan+2=lng-(〃+l)ln4,

(Ina,山丫wlna〃-lna/l+2,选项B错误；

根据等比数列求和公式,选项C正确;

当〃趋向于无穷大时，（5）趋向于0,面积和将趋近于华，选项D正确;

4

故选：ACD

12.我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，给出了表示二项式系数规律的三角形数阵，现称为“杨辉

三角''（如图所示），下列选项正确的是（）

第

行

z

行

第1o

行

第2

第

3行

第

414亍

A.若用《7表示三角形数阵的第i行第，个数，则弓00_3=4851

B.该数阵第10行各数之和为1024

C.该数阵第98行中存在三个相邻的数，它们依次所成的比为4:5:6

D.在该数阵中去掉所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…，则此数列的前

50项和为3047

【答案】BC

【解析】

【分析】A.由第i行第，个数应为C/T求解判断；B.由第10行的和为4+%+*++第*=21°求

解判断；C.由第〃行各数从左到右均满足求解判断；D.由去除所有为1的项后，由前〃行共

有+个数求解判断.

2

【详解】A.依据二项展开式系数可知，第i行第j个数应为C/T,

故第100行第3个数为C盆=工~^=4950,故A错误.

B.由题得第10行的和为金+%+《，++=210,

故答案为21°（或1024）,故B正确.

C依题意，〃eN*，第〃行各数从左到右均满足C：,reN,r4",

c>:c：=4:5

设第〃行的相邻三个数为C：T,C：,C；|,于是得<

C：：C>=5:6'

n\n\

=4:5

(r-l)!(n-r+l)!r!(n-r)!4n-9r=-4r=44

即《,整理得«5-'解得

n\n\〃二98

=5:6

r!(/?-r)!(r+l)!(n-7--l)!

所以这一行是第98行.故C正确.

D.去除所有为1的项后，由图可知前〃行共有-----个数,

2

当〃=10时，10x（10+1）=55,即前10行共有55个数.

2

因为第n—l行的和为C：+C；++C：T=2"-2,

所以前10行的和为（22—2）+03-2）++（2"-2）=212-24=4072.

因为第10行最后5个数为c,7C，《，，G：，

所以此数列的前50项的和为4072—11—55-165—330—462=3049,故D错误.

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（x+y）5的展开式中X2/的系数是.（用数字作答）

【答案】10

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中炉产的系数.

【详解】（》+》）5的展开式的通项7；旬=仁（力*（城=G/了"=0,1,2,5,

所以展开式中炉产的系数是C：=10.

故答案为：10.

14.设随机变量X服从正态分布N（〃,cr2）,若P（X>6）=P（X<2）,贝ij〃=

【答案】4

【解析】

【分析】由对称性求出答案.

【详解】因为正态分布曲线以x=4为对称轴，又P(X>6)=P(X<2),

由正态分布的对称性可知〃=一万一=4.

故答案为：4

15.某机构近期对某种二手车的使用年数x(O<x<10)与再销售价格y(单位：万元/台)进行数据收集，得

到如下统计表：

使用年数X246810

再销售价格y16139.575

根据上表数据该种二手车的使用年数X与再销售价格y之间的经验回归方程为：y=_L4x+a，现有一台

该种二手车使用了9年，估计这台手车的再销售价格为万元.

【答案】5.9

【解析】

【分析】由已知条件求出样本点的中心，根据回归方程必过样本点的中心求出回归方程，最后利用回归方

程估计即可.

【详解】由已知得

-2+4+6+8+10,-16+13+9.5+7+5,

x=---------------=6,y=-----------------=10.1,

55

则该回归方程必经过样本点的中心(610.1),代入回归方程得a=1.4乂6+10.1=18.5，

所以回归方程为Y=—1.4X+18.5，

所以一台该种二手车使用了9年后再销售价格为y=—1.4x9+18.5=5.9万元，

故答案为：5.9.

2

16.已知;I为正实数，若ln(/U+l)—/U+^>0对xe(0,+8)恒成立，则2的取值范围是

【答案】0<4Wl

【解析】

【分析】设〃x)=ln(/lx+l)—/U+](x>0),利用导数法求解.

【详解】解：设/(x)=ln(/U+l)—/Lx+、(x>0),

Axx-\A—

则"高一"=1I%

Ax+1

①若X—4W0,即0</lWlJ'(x)>0,函数/(x)在区间(O,+8)单调递增，故〃x)>/(0)=0,满

A

足条件；

②若X—；>0,即冗>1,当尤《0"-£|时，r(x)<0,函数/(x)单调递减，则〃x)</(o)=o,

矛盾，不符合题意.

综上所述：0<4Wl.

故答案为：0</lWl

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步紧.

17.已知函数〃%)=7?+48%,工€[-2,5].

⑴求函数/(x)的单调区间;

⑵求函数“X)的最大值与最小值.

【答案】(1)/(%)的递增区间为[-2,4),函数的递减区间为(4,5]

⑵/(x)的最小值是一88,最大值是128

【解析】

【分析】⑴根据函数/(x)=—d+48x,xe[—2,5],求导得到了'⑺=-3d+48,然后分户㈣>0和

求解即得.

(2)由(1)先求得极大值和极小值，然后结合/(5)=115,/(-2)=-88得到最值.

【小问1详解】

由/(xb-Y+dSX'可得/'(%)=-3%2+48,

令/'(力=0,解得x=4,或x=T(舍去)，

由解得—2Wx<4,

函数〃x)在[-2,4)上是递增函数,

由r(x)<0,解得4<xW5,

函数/(力在(4,5］上是递减函数，

所以，函数/(x)的递增区间为［-2,4),函数的递减区间为(4,5］.

【小问2详解】

由⑴知函数“X)在［-2,4)上是递增函数，函数“X)在(4,5］上是递减函数，所以当x=4时，所以函数

的最大值是128,

又因为/⑸=115,/(—2)=—88,

所以函数/(九)的最小值是一88,最大值是128.

18.已知等差数列｛a“｝的首项q=4,公差d=10,在｛4｝中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原

数列的数一起构成一个新的等差数列｛2｝.

(1)求数列｛2｝通项公式；

(2)若。〃二益一，求数列｛qj的前〃项和

【答案】(1)2=2〃+2

n

⑵"=8(〃+2)

【解析】

【分析】⑴设数列｛〃,｝公差为小，根据题意得到白=4,%=%，求得d'=2,即可求解；

(2)由d=2〃+2,得到q,=J—=!(」匚——二)，结合裂项法，即可求解

4(〃+1n+2)

【小问1详解】

解：设数列｛2｝的公差为d',

由在｛%｝中每相邻两项之间都插入4个数构成一个新的等差数列，可得仇=q=4,%=4，

所以％一4=10，所以5d'=10,解得4=2,

所以数列｛勿｝的通项公式为bn=2〃+2.

【小问2详解】

解：由2=2〃+2,可得么用=2"+4,

“"bnbn+l(2〃+2)(2〃+4)4("+1)(“+2)4、〃+1〃+2/

71C111111

所以北=一|-----+-----++------------|,

”4(2334n+1n+2)

n

Tinii

所以7

19.某校开设跳绳特色课程，为J'解学生对该课程的爱好情况，采用问卷调查得到如下列联表:

性别

跳绳合计

男生女生

爱好402060

不爱好203050

合计6050110

(1)依据小概率值c=0.001的独立性检验，能否认为该校学生爱好跳绳与性别有关？

(2)现采用比例分配的分层抽样方法，从爱好跳绳的学生中抽取6人组成集训队.若从集训队中抽取4人组成

校队，参与区里举办的跳绳比赛，记抽到的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望.

2n(ad-be)-

附:其中r?=a+A>+c+4.

(a+/?)(c+d)(a+c)(0+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)认为爱好跳绳与性别之间无关联

Q

(2)分布列见解析，-

【解析】

【分析】(1)计算出卡方，与10.828比较后得到结论；

(2)得到X的可能取值和对应的概率，写出分布列，得到数学期望.

【小问1详解】

零假设为“0：爱好跳绳与性别之间无关联.

由/=________n(ad-bc)2_____

根据列联表,

田/(a+b)(c+d)(a+c)(O+d)例

110x(40x30-20x20)2

«7.8<10.828=x,

60x50x50x60oool

根据小概率值a=0.001的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立，因此可以认为Ho成立，

即认为爱好跳绳与性别之间无关联.

【小问2详解】

在分层抽样中，爱好跳绳的男生有4人，女生有2人,

则X的可能取值为2,3,4,

且P(X=2)=咎=|,P(X=3)=罟=1,P(X=4)=鲁

〜6〜615

则X的分布列为

EnZ13

13

EQ1Q

7

则E(X)=2X*+3X9+4X-5-=2

''515153

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=1,且a向=2S“+l(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵若数列｛hn｝满足a=(—1)%“，求数列｛4+"｝的前2〃一1项和耳t.

【答案】(1)%=3"T

⑵人=弛"一)

【解析】

【分析】⑴利用递推关系式和4,与5“的关系求解即可.

0,〃为奇数

(2)由⑴可得4+々利用前2〃一1项和表示出(a,即可得出结果.

23、〃为偶数

【小问1详解】

当〃22时，a“=2S,i+l(〃GN"),

所以--a„=2(S.一S,i)=2an,

所以a”+i=3。”(〃22),即^^=3,

%

当〃=1时，4=3，所以'■=3,

所以｛凡｝是以1为首项，3为公比的等比数列.

所以。,=3"T.

【小问2详解】

由⑴可知么=(一1)%“=(一I)"?'

0,〃为奇数

则4+a=3,1+(-1)”

23一,〃为偶数

则岂a=0+23+0+2・33+...+0+2・32~3+0

13,36（1-9）37,\

=2-3'+2-33++2-32,,-3=-i---------=

1-94、>

21.某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个

球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从

甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地

均匀的骰子，如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出一

个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.

（1）某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？

（2）若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为丫，当尸（丫=4）取得最大

值时，求女的值.

【答案】（1）选择方案一

⑵15

【解析】

【分析】（1）选择方案一：法一，设出积分为X，写出X可能取值及相应的概率，求出分布列和期望；法

二：设抽中红球的次数为积分为X，则J〜利用二项分布求解期望值；选择方案二：利用

条件概率求出最终摸出红球的概率，进而得到积分的期望值，比较后得到结论;

（2）由题意得到丫〜台。。,3）,列出不等式组，求出答案.

【小问1详解】

选择方案一：法一：

因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放回地摸球，每次摸到红球的概率为』=’,

102

由题意可得，设积分为X，

X可能取值为0，10，20,30,

由题意可得，设抽中红球的次数为积分为X,

因为所以E（g）=3xg=1.5,

因为X=10J,所以E（X）=10E（J）=10x1.5=15；

若选择方案二：设事件A="从甲袋摸球“，则事件”从乙袋摸球“，事件6="摸出的是红球“，设方案二

的积分为Z，

则P（B）=P（A）P（B|A）+P®P（咽gg+|x^磊

73

则E（Z）=15X—+5X3=12,

''1010

因为E(Z)<E(X),所以选择方案一;

【小问2详解】

p(y=k)=G。出"(y=z+i)=c吗)

由题意得丫~8卜0,；

则.

P(Y=k)

解得14.5«左415.5,又左eN,即左=15时，尸(丫=4)最大.

22.已知函数〃(x)=e2',g(x)=2/m*.

⑴若函数/l(x)与g(x)的图象有一条斜率