2024年内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区中考二模数学试题

2024年呼和浩特市赛罕区初三年级质量普查调研考试（二模）数学注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置．2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题纸一并交回．3．本试卷满分120分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1.如图，数轴上点M所表示的数可能是（）A.1.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行判断即可．【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．∴A、B、D三选项错误，C选项正确．故选C．【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，解答即可．本题考查了完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，熟练掌握公式和性质是解题的关键．【详解】A.，错误，不符合题意；B，错误，不符合题意；C.不是同类项，无法计算，错误，不符合题意；D.，正确，符合题意，故选Ｄ．3.如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A.20° B.25° C.30° D.35°【答案】A【解析】【详解】如图，过点B作BD//l，∵直线l//m，∴BD//l//m．∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°．∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°．∴∠2=∠3=20°．故选A．4.不透明袋中装有除颜色外完全相同的个白球、个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据概率公式直接求解即可．【详解】共有个球，其中红球b个从中任意摸出一球，摸出红球的概率是．故选A．【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．5.如图所示，该几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．

故选：D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．6.在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方差的知识，解答本题需掌握方差的意义；

根据题意得到甲、乙两人成绩的方差分别为：，，，；

然后再结合方差的意义并比较方差即可得到结论．【详解】∵，，，∴，根据方差越小，越稳定，故选乙，故选B．7.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．原图是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项合题意；C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．原图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．8.若，且有，及，则值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．【详解】解：根据，方程除以得，故是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．故选：A．9.如图，已知菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，与相交于点G，则的长等于（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接，证明是等边三角形，取的中点M，连接，利用勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，解得即可．本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】连接，∵菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，∴是等边三角形，，，∴，，，取的中点M，连接，则，∴，，，∴，∴，∴，故选D．10.关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，设的对称点为，根据题意，，结合，得，结合，得，从而判定成立，判定③正确，解答即可．本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．【详解】解：∵二次函数，∴抛物线的对称轴为直线：，∵，∴两点是对称点，故对应函数值相等，∴①正确；∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个，∴，∴；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个，∴，∴；∴②正确；∵抛物线与x轴交于不同两点，，设的对称点为，根据题意，，∵，∴，∵，∴，∴成立，∴③正确，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：__________【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解．观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．【详解】解：．故答案为：．12.不等式组的所有整数解的和为_________．【答案】【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．【详解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式组的解集为，故其整数解有，且，故答案为：．13.如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度；圆锥的侧面积是__________．【答案】①.##18度②.【解析】【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可．本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，得，故答案为：，．14.已知一次函数（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表：x0123y6420那么方程的解是________，不等式的解集是_______.【答案】①.②.【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：方程的解是时函数的x的值．根据图表格中的数据即可得出此方程的解．【详解】解：根据表格可得：当时，；当时，；因而方程的解是；不等式的解集是；故答案为：；．15.如图，已知，，．是的中点，与，分别相切于点D与点E．点F是与的一个交点，连并延长交的延长线于点G．则_______，_______．【答案】①.##②.##【解析】【分析】连接，根据与，分别相切于点D与点E．得到，结合，得到继而得到，结合得到，利用中位线定理，得到，连接，同理可证，，于是得到，根据圆的半径相等，得到，继而得到，，根据，得到，继而得到，得到，利用解答即可．本题考查了切线性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握切线性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键．【详解】连接，∵与，分别相切于点D与点E．∴，∵，∴，∴，∵O是

的中点，即∴，∴，连接，同理可证，，∴，根据圆的半径相等，得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：，．16.如图，在边长为的正方形中，E是边上一点，G是延长线上一点，，连接，交于点H，交于点F，连接，．若，则________．【答案】【解析】【分析】连接，证明，过点Ｈ作，垂足分别为M，N，再证明，利用三角函数解答即可．本题考查了正方形性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵在边长为的正方形中，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，过点H作，垂足分别为M，N，则四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形正方形，∴∵，，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，∴，解得，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共72分．）17.计算求解：（1）；（2）解方程组：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分母有理化计算即可．（2）利用加减消元法解方程组即可．【小问1详解】．【小问2详解】，整理，得即故，得，解得；把代入得，故方程组的解为．【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分母有理化，解方程组，熟练掌握公式和解方程的基本方法是解题的关键．18.如图，在中，对角线，，，O为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．求证：（1）；（2）当取何值时，四边形为矩形．【答案】（1）见解析（2），四边形为矩形【解析】【分析】（1）根据得到，继而得到，证明；（2）根据，，，结合四边形为矩形，得到，继而得到，列比例式计算即可．本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的性质，熟练掌握三角形全等的判定和相似的判定是解题的关键．【小问1详解】∵，O为的中点，∴，，∴，，∵，∴．【小问2详解】∵，，，四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，解得故当时，四边形为矩形．19.如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是，然后，她沿着坡度是（即）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡的长度．（参考数据：，结果精确到米）【答案】米．【解析】【分析】根据速度乘以时间得出的长度，通过坡度得到，作辅助线，通过平角减去其他角从而得到即可求出的长度．本题考查了仰角，俯角，坡比的应用，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：作，根据题意，米，∵，∴，∵，∴米，∵，∴∴米，答：的长度为米．20.某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级9090b38.7九年级90c10038.1根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____；（2）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数．（3）为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．【答案】（1）：40；96，（2）980人（3）游戏公平，见解析【解析】【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B的频数，后求得D的频数，再根据众数，中位数的定义计算解答．（2）利用样本估计总体的思想计算即可．（3）利用画树状图计算即可．本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】A的频数为：(人)，B的频数为：(人)，C的频数为：6(人)，∴D的频数为（人），∴，故a为40；96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94，出现次数最多是数据是96，故b为96；根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即，故答案为：40；96，．【小问2详解】根据题意，得：(人)．【小问3详解】公平，根据题意，画树状图如下：一共有12种等可能性，恰好是偶数可能性有6种，∴八年级获胜的概率是，九年级获胜的概率是．概率相等，故游戏公平．21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．（1）分别求出和的值；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．【答案】（1），；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答（2）根据函数图象结合解析式即可判断（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到，设直线的关系式为，把将，代入得到解析式，即可解答【详解】（1）∵点，∴，∵，即，∴，∵点在第二象限，∴，将代入得：，∴反比例函数的关系式为：，把代入得：，∴因此，；（2）由图象可以看出的解集为：或；（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，此时最大，∵∴设直线的关系式为，将，代入得：解得：，，∴直线的关系式为，当时，即，解得，∴【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式22.春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂灯笼和对联，某商店看准了商机，购进了一批红灯笼和对联进行销售，已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍．（1）求每幅对联和每个红灯笼的进价分别是多少？（2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进300副对联和200个红灯笼，已知对联售价为6元一幅，红灯笼售价为24元一个，销售一段时间后，对联卖出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出，求商店最低打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%？【答案】（1）每幅对联的进价为2元，每个红灯笼的进价为12元；（2）商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%．【解析】【分析】（1）设每幅对联的进价为x元，则每个红灯笼的进价为（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设剩下的对联和红灯笼打y折销售，根据总利润＝销售收入﹣成本结合总利润率不低于90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设每幅对联的进价为x元，则每个红灯笼的进价为（x+10）元，依题意，得：＝6×，解得：x＝2，经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意，∴x+10＝12．答：每幅对联的进价为2元，每个红灯笼的进价为12元．（2）设剩下的对联和红灯笼打y折销售，依题意，得：300××6+200××24+300×（1﹣）×6×+200×（1﹣）×24×﹣300×2﹣200×12≥（300×2+200×12）×90%，解得：y≥5．答：商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%．【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.如图，在中，，点D是边中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．（1）求证：是⊙的切线；（2）若，，求⊙的半径及的长．【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案．【小问1详解】证明：如图，作，垂足为H，连接，∵，D是的中点，∴，∴，∵，又∵，∴∠BDC=2∠FAC，∴，即是的平分线，∵O在上，与相切于点E，∴，且是的半径，∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，∴是的半径，∴是的切线．【小问2详解】解：如（1）图，∵在中，，∴可设，∴，则，设的半径为r，则，∵，∴，∴，即，则，在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，由勾股定理得，又，∴，在中，由勾股定理得：．【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理