11.5用一元一次不等式解决问题（原卷版）

11.5用一元一次不等式解决问题用一元一次不等式解决问题的一般步骤(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．行程问题速度×时间=路程.顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）流速度.逆水（风）速度=静水（水）速度-水（风）流速度.同时不同地相向运动的相遇问题：路程和=速度和×时间同时不同地同向运动的追及问题：路程差=速度差×时间同时同地同向运动的环形跑道问题：路程差=n×一圈周长（n代表第n次相遇）工程问题工作总量＝工作效率×工作时间（在没有明确工作总量的前提下，通常把工作总量看做单位“1”）各部分劳动量之和＝工作总量.利润问题商品利润＝商品售价－商品进价，.实际售价=商品标价×折数方案选择问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如人员的分配、旅游购票等。题型1：由实际问题抽象一元一次不等式1．代数式2x﹣1的值是非负数，用不等式表示为．【变式1-1】如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x（g），请根据天平列不等式：．【变式1-2】某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于10%，那么商店可降价多少元出售此商品？设商店降价x元出售此商品．列出的不等式为．【变式1-3】一次环保知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明的得分为优秀（85分或85分以上）．若设小明答对了x道题，则根据题意，得不等式为．题型2：行程问题2.甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇；若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时．两车也恰好相遇．（1）求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．（2）若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？【变式2-1】随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A，B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．（1）求A，B两车的平均速度分别为多少千米/时；（2）两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？题型3：工程问题3.截至12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元．（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？（2）若投入的10个车间每周生产的疫苗不少于135万剂，至少开设多少个大车间？【变式3-1】为全力保障人民群众身体健康和生命安全，我区开展新一轮全员核酸检测第一天甲、乙两支核酸检测队共32人在某乡镇进行核酸采样，当天采样13840人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样440人．（1）求甲、乙两支检测队各有多少人？（2）根据计划安排，第二天需抽取甲、乙两支核酸检测队若干人共同完成对A、B、C三所学校共8640名师生的核酸采样任务，已知甲检测队抽取8人，则乙检测队需至少抽取多少人才能保证当天完成任务？【变式3-2】2020年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元，从2021年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2021年处理的这两种垃圾数量与2020年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2020年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业计划2021年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2021年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？题型4：利润问题4.文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册，已知甲种纪念册进价为每本12元，乙种纪念册进价为每本10元，文教店在销售时甲种纪念册售价为每本15元，乙种纪念册售价为每本12元，全部售完后共获利270元．（1）求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本？（2）若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册，且购进甲种纪念册的数量不变，而购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍，乙种纪念册按原售价销售，而甲种纪念册降价销售，当两种纪念册销售完毕时，要使再次购进的纪念册获利不少于340元，求甲种纪念册每本最低售价应为多少元？【变式4-1】某超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元．（1）求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；（2）若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？【变式4-2】某超市计划经销A，B两种新型品牌的农产品共100箱，这两种农产品的进价，售价如下表所示．A品牌B品牌进价（元/箱）80130售价（元/箱）120200（1）若该超市购进这两种新型品牌的农产品共用去10000元，问这两种新型品牌农产品各购进多少箱？（2）在每个品牌农产品销售利润不变的情况下，若该超市销售这批农产品的总利润不少于5600元，则至少需购进B品牌农产品多少箱？【变式4-3】某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．（1）求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？（2）根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？题型5：分段收费问题5.某营业厅在元旦推出两种套餐方案，具体计费方式如下表：每月基本话费主叫限定时间主叫超时费用被叫套餐一58元150分钟0.25元每分钟免费套餐二88元350分钟a元每分钟免费（1）若主叫时间为260分钟，则选择套餐一的费用为元，套餐二的费用为元．（2）若表中的a＝0.3，请你分情况讨论说明，是否存在主叫时间t，使得两种套餐的计费相等？（3）若主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，则a＝．此情况下，当主叫时间t满足条件时，选择套餐一更省钱．【变式5-1】为了促进消费，端午节期间，甲乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同促销方案：甲商场的优惠方案：购物价格累计超过200元后，超出200元部分按70%付费；乙商场的优惠方案：购物价格累计超过100元后，超出100元部分按80%付费；若某顾客准备购买标价为x（x＞200）元的商品．（1）在甲商场购买的优惠价为元，在乙商场购买的优惠价为元；（均用含x的式子表示）；（2）顾客到哪家商场购物花费少？写出解答过程；（3）乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠：购物价格累计超过100元后，但不超过1000元，超出100元部分按80%付费；超过1000元后，超出1000元部分按60%付费．甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时x（x＞200）的取值范围．【变式5-2】根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年5月1日起对居民生活用电试行新的“阶梯电价”收费，具体收费标准如表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b超过300千瓦时的部分a+0.52016年5月份居民甲用电200千瓦时，交费170元；居民乙用电500千瓦时，交费530元．（1）求上表中a、b的值；（2）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.85元？【变式5-3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费．已知小王家今年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a，b的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过本月计划支出的2%．若小王的本月计划支出为7500元，则小王家6月份最多能用水多少吨？题型6：方案选择问题6.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，经预算，该企业购买设备的资金不高于130万元，现有A，B两种型号的设备可供选择，其中每台的价格、月处理污水量如表：A型B型价格（万元/台）1512处理污水量（吨/月）250220（1）该企业有几种购买方案？（2）若企业每月产生的污水量为2260吨，为节约资金，应选择哪种购买方案？【变式6-1】小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【变式6-2】某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【变式6-3】截至2021年12月25日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂．（1）该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？（2）若一周内需要生产140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？一．选择题（共7小题）1．某图书馆阅览室出售会员卡，每张会员卡60元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张1元，不凭会员卡购入场券每张3元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（）A．购票少于30次 B．购票多于30次 C．购票少于20次 D．购票多于20次2．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）A．5x+（20﹣x）≥85 B．5x+（20﹣x）＞85 C．5x﹣（20﹣x）＞85 D．5x﹣（20﹣x）≥853．某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（）A．2000-1600-x1600≥20% B．C．2000-1600-x2000≥20% D4．某经销商销售一批电话手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，第二个月降价处理，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，这两个月的销售总额不少于86000元．则这批电话手表的总数量x（块）应满足的不等式为（）A．600×60+500x≥86000 B．600×60+500x≤86000 C．600×60+500（x﹣60）≥86000 D．600×60+500（x﹣60）≤860005．已知三个连续正整数的和小于15，则这样的数共有（）组．A．6 B．5 C．4 D．36．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（）A．5x+2（30﹣x）＜100 B．5x+2（30﹣x）≤100 C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞1007．某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是（）A．7本 B．8本 C．9本 D．10本二．填空题（共6小题）8．某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共有50元和70元两种门票，某公司需购买100张门票，且票价为70元的票数不少于票价为50元的票数的两倍，则购买这些门票最少需要元．9．某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．已知水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用不超过1000元，那么额温枪至多有支．10．某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为．11．某班级若干名同学星期天去公园游览，公园票价10元/人，团体25人以上（含25人）8折优惠，他们发现买团体票比买单人票便宜，则他们至少有人12．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为10cm，已知以后此树树围平均每年增长3cm，若生长x年后此树树围超过90cm，则x满足的不等式为．13．小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是立方米．三．解答题（共8小题）14．为落实乡村振兴战略的重大决策部署．某驻村工作队为农户甲与农户乙两家都购买了相同形量的种兔．一年后，农户甲养兔数比去年种兔数增加了2只，农户乙养兔数比去年种兔数的2倍少1只，农户甲养兔数不超过农户乙养兔数的2315．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商场用25000元购进“雪容融”摆件和挂件，售完后共获利11700元．其中“雪容融”摆件每件进价40元，售价58元；“雪容融”挂件每件进价30元，售价45元．（1）请分别求出该商场购进“雪容融”摆件和挂件的数量．（2）商场第二次以原进价购进“雪容融”摆件和挂件，购进“雪容融”摆件的件数不变，而购进“雪容融”挂件的件数是第一次的2倍，“雪容融”摆件按原售价出售，而“雪容融”挂件打折销售．若“雪容融”摆件和挂件销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于10800元，则“雪容融”挂件最低可以打几折？16．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司共捐款21600元，已知甲公司的人数比乙公司少30人，甲公司的人均捐款数是60元，乙公司的人均捐款数是70元．（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱1350元，B种防疫物资每箱1080元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．17．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购买一批免洗手消毒液和84消毒液，如果购买50瓶免洗手消毒液和100瓶84消毒液，共需花费1150元，如果购买40瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1080元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）经过协商，商场将免洗手消毒液按原价的8折卖给学校，84消毒液仍按原价，若学校购买两种消毒液共200瓶，且总花费不超过1500元，最多可购买多少瓶免洗手消毒液？18．某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪．若购买1个大地球仪和2个小地球仪需用90元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用105元．（1）求每个大地球仪和每个小地