2024年山东省青岛市市北区中考二模数学试题（解析版）

九年级数学质量调研

（考试时间：120分钟；满分：120分）

说明：

本试题分第I卷和第n卷两部分，共26题.第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为

填空题、作图题、解答题，共18小题，96分.

所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效.

第I卷（共24分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.

1.下列各数中最小的是（）

1厂

A.-1B.一一C.0D.J3

2

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大且

值越小进行求解即可.

【详解】解：=

-i<--<o<V5,

2

••・四个数中最小的数为

故选：A.

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键.在平面内，

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图

形；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图

形.根据轴对称图形的定义与中心对称图形的定义，对各选项分析判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；

B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；

C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意：

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.

故选：B.

3.下列运算正确的是（）

23646s26

A.ni-m=mB.2m+3n=5mnC.（―〃内7）__mnD.m-i-m-m

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了同底数塞相乘、相除、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即

可作答.

【详解】解：A、加2.机3=加5/机6。故该选项是错误的；

B、2根,3〃不是同类项，故该选项是错误的；

C、（-机=机4〃6,故该选项是错误的；

D^m8-m6＞故该选项是正确的；

故选：D

4.下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可,

熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

【详解】解：由题意得，

该几何体的俯视图是：

5.正八边形如图所示，ZC与5〃交于点。，则血9。的度数为（）

A.135°B,120°C.110°D.100°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求

出NBAH=ZAHG=NABC=135°,再求出NBHA=NABH=ABAC=NACB=22.5°即可解决问题.

【详解】解：：正八边形ABCDEFGH,NBAH=ZAHG=ZABC=135°，

：.AH=4B=BC,NBHA=NABH=ABAC=NACB=22.5°

ZHOC=AAOB=180°-2ZCAB,

/.ZHOC=NAOB=180°-2x22.5°=135°,

故选：A.

6.数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，

平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x人，则可

列方程为（）

A.10x=40（x+6）B.-^-=—

x-6x

10401c/八An

C.——=----D.10（x+6）=40x

xx+6

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题

的关键.设第二次分钱的人数为X人，则第一次分钱的人数为（X-6）人，根据两次每人分得的钱数相同,

即可得出关于X的分式方程，此题得解.

【详解】解：设第二次分钱的人数为X人，则第一次分钱的人数为（X-6）人,

故选：B.

7.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学

生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A.3,3B.3,7C.2,7D.7,3

【答案】A

【解析】

【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后

的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；

【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3,所以众数是3.

将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3,所以中位数为：—3+3=3

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键.

8.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的

高度丸（cm）是液体的密度夕（g/cn?）的反比例函数，其图象如图所示（夕〉0）.下列说法正确的是（）

M（cm）

iLnrI2ol：\\

li.:

-0H----:’.

工1p（g.«n]

A.当液体密度夕21g/cn?时，浸在液体中的高度为220cm

B.当液体密度P=2g/cn?时，浸在液体中的高度力=40cm

C.当浸在液体中的高度0</z<25cm时，该液体的密度220.8g/cn?

D.当液体的密度OvpWlg/cn?时，浸在液体中的高度/z<20cm

【答案】C

【解析】

k

【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设〃=一,把2=1,人=20代入解析式，进而结

P

合函数图象，逐项分析判断，求解即可.

k

【详解】解：设〃关于夕的函数解析式为力=一,

P

把2=1,力=20代入解析式，得左=1x20=20.

,20

关于夕的函数解析式为〃.

P

A.当液体密度22lg/cn?时，浸在液体中的高度为<20cm,故该选项不正确，不符合题意；

B.当液体密度P=Zg/cn?时，浸在液体中的高度〃=10cm,故该选项不正确，不符合题意；

C.当浸在液体中的高度0<%<25cm时，该液体的密度220.8g/cn?,故该选项正确，符合题意；

D.当液体的密度0<夕<lg/cn?时，浸在液体中的高度N20cm,故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

第II卷（共96分）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.利用量子模拟器将原子尽可能紧密地排列在一起，有助科学家探索奇异物质状态，构建新型量子材

料.据最新一期《科学》杂志介绍，研究人员已开发出一种技术，可以将原子排列间隔缩小到原来的

1/10,相距仅50纳米.50纳米用科学记数法表示是米.

【答案】5x10-8

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1〈同〈10,〃为整

数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于或等于10时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.根据1纳米

TOm米，得50纳米=50x10-9米，再表示为科学记数法.

【详解】解：50纳米=50x10-9米，故50纳米用科学记数法表示为5x10-8米;

故答案为5x10*.

10.计算:(V18+V6jx^|=.

【答案】373+3

【解析】

【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，

根据二次根式的混合运算法则进行运算即可得到答案

=372+3.

故答案为373+3.

11.甲、乙两射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是8,8,8,9,8,9,10,9,9,9,乙的成绩如图

所示.则甲、乙射击成绩的方差之间关系是尺填“<”，"="，

【答案】<

【解析】

【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、方差等知识，熟练掌握方差的求法是解题关键.分别计算

甲、乙射击成绩的方差，然后比较即可.

【详解】解：根据题意，甲成绩的平均数为2——~~-=8.7,

10

，甲射击成绩的方差M='x[4x(8—8.7『+5义(9_8.7)2+(10-8.7)2]=0.41,

由图可知，乙射击成绩是8,9,7,10,7,9,10,7,10,8,

7x3+8x2+9x2+10x3

则乙成绩的平均数为

二乙射击成绩的方差破=^x13x(7—8.5)2+2x(8—8.5)2+2x(9—8.5)2+3x(10—8.5)[=1.45,

故答案为：＜.

12.如图，PA、尸8是。。的切线，/、B为切点,点C、。在上.若/尸=100°,则//+NC=

【答案】220°

【解析】

【分析】连接N3,先根据切线长定理证得尸/=&,再根据等腰三角形的性质求得NP/8的度数，然后根

据圆内接四边形的两对角互补求解即可.

【详解】解：连接N8,

■■PA,尸8是。。的切线,

：.PA=PB,

,・2尸=100°,

:ZPAB=LPBA=—(180°-100°)=40°,

2

•./D48+NC=180°,

：.^PAD+^C=乙PAB+力AB+^C=180°+40°=220°,

故答案为：220。.

【点睛】本题考查切线长定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的两对角互补，熟练掌握切线长定理和

圆内接四边形的两对角互补是解答的关键.

13.如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A,B两点的坐标分别

为（-3,2）,（3,2）,则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为

【答案】（一1,一2）

【解析】

【分析】本题考查建立平面直角坐标系.根据题意，建立平面直角坐标系，写出点C的坐标.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为（-1,-2）,

故答案为：（T-2）.

14.若关于X的一元二次方程（加+1）必-2x+l=o有实数根，则〃?的取值范围是.

【答案】机＜0且加片一1

【解析】

【分析】由一元二次方程的定义，加+1*0,有实数根，则A20,建立不等式求解.

【详解】解：由题意得，A=（—2）2—4（机+1）x120且机+1R0,

解得机＜0且加w—1.

故答案为：机＜0且加力―1

【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关

犍.

15.如图，在中，以8C为直径的。（9,交48的延长线于点。，交ZC于点E,连接O。，

OE.若OO的半径为1,ZA=a,则用含a的代数式表示族的长度为.

A

E

rAsVriL_190°—CC

【答案］-------n

180

【解析】

【分析】本题主要考查了圆周角的相关性质（直径所对的圆周角是直角）、三角形内角和定理以及同弧所对

的圆心角等于圆周角的2倍，

连接。C,根据直径所对的圆周角是直角得到/8£>C=90°,再根据三角形内角和定理得到

NNCD=9（）2-a，最后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出

ADOE=2ZDCA=180°-2ZA,即可得到答案.

【详解】解：如图，连接。C,

•1,8C是直径，

ZBDC=9Q0（直径所对的圆周角是直角）,

又「AA=a,

.•.Z^CZ）=180o-90°-a=90°-a，（三角形内角和定理）,

ZDOE=2NACD=180。—2a（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）,

180°—2a90。—a

•••DE的长=xFX"=7C

360°180

,,,90°—cc

故答案为w：一.

180

16.如图，矩形Z8CZ）中，AB=6,BC=8,点、E、歹分别是边48、8C上的动点，在运动过程中始

终保持4E=CF,连接斯，取E厂中点G,连接ZG,则NG的最小值是

【答案】N拒##递

22

【解析】

【分析】本题考查了动点问题中线段最短问题，平面图形中建立平面直角坐标系，以及点与点之间的距离

的公式进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键.

先建立平面直角坐标系，设成长为x（O〈xW6）,可得£（0,x）,F（2+x,0）,幺（0,6）,从而得出

根据点与点之间的距离公式可得出得出NG=j[言+]|-6），利用配方法可将式

子变形为\G=J（x5,+49,从而根据o〈x<6,得出当x=5时，幺G取最小值，代入计算值即可.

【详解】根据题意，可以以B为原点，BC为横轴，氏4为纵轴建立平面直角坐标系,

设BE长为x（O<x<6）,故根据题意可得£（0,x）,F（2+x,0）,幺（0,6）.

2+xx।

G

2

故线段NG的长为

解答AG=10x+74

2

将二次根式的分子进行配方法，原式变形为AG=

由于0<x<6,故x=5时，ZG取最小值一行.

2

故ZG的最小值为工行.

2

三、作图题（本题满分4分）

17.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

在一个住宅小区里，有一块三角形绿地，如图所示.现准备在其中建一个半圆形花坛，使它的圆心在2c

边上，且面积最大.请你在图中画出这个半圆形花坛.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了作三角形的角平分线，角平分线性质、三角形的内切圆的画法，将/氏4c的角平分

线与8C边的交点作为圆心，圆心到到48、ZC的距离为半径作出即可求解.

【详解】解：如图：半圆。为所求,

作/R4c的角平分线，交8c于点。，

由点。向48边作垂线0P交N8于点尸.以。为圆点，0P为半径做圆.

由于Z0为角平分线，所以到45、NC的距离相等，圆。与45、NC相切，所以半圆。为圆心在

边上，且面积最大的半圆.

四、解答题（本题满分68分，共有9道小题）

2a+1a

18.(1)化简:QH---------X；

a\-a

x+5>4

（2）解不等式组：,3x+l-，并求出它的所有整数解.

------->2x-l

2

【答案】（1）匕（2）-1<X<3,不等式组的整数解为0,1,2,3.

1—a

【解析】

【分析】本题考查了分式的减法运算以及解不等式组.

（1）先进行括号内分式的加法运算，再计算乘法即可作答.

（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，并根据整数解的定义进行作答.

2a+1a

【详解】解:aH------------Xl-a2

a

/+2Q+1a

=-------x----

a1—ci

（Q+1）2a

=----x--------

a（1一。）（1+。）

_1+Q

1—Q

x+5>4①

⑵“21②

I2

由①得出x>—l,

由②得x<3,

・•.不等式组的解集为-l<x43,

・•.不等式组的整数解为0,1,2,3.

19.某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘

被平均分成3份）的机会.为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：

方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；

方案二转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品.（若指针指向分界线，则重转）

（1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为；

（2）若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；

（3）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由.

【答案】⑴1

（2）图见解析，共有9种等可能的结果

（3）会选择方案二；理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键.

（1）利用概率公式求解；

（2）根据题意画出树状图即可解决；

（3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的

大小来判断选择哪个方案.

【小问1详解】

解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为

3

故答案为：—；

3

【小问2详解】

解：树状图如图，共有9种等可能的结果；

AA【小问3详解】

解：会选择方案二.

4

理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为一,

41

>

9-3-

选择方案二.

20.如图，一艘海轮位于灯塔尸的北偏东66。方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间

后，到达位于灯塔尸的南偏东45。方向上的8处，求这时海轮所在的8处距离灯塔尸有多远？（结果精确

929

到0.1海里.）参考数据：sin66°«—,cos66°-j,tan66°-,72»1.41

北

f

【答案】102.1海里

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的性质、方向角解直角三角形等知识，正确记忆三角函数的定义并结合图

形得出相关角度是解题的关键.过点尸作尸25于点。，结合题意确定NZ=66°,Z5=45°,然后

利用三角函数解得尸。的值，然后计算尸2的值即可.

【详解】解：如下图，过点尸作尸4g于点

由题意可知，AAPE=66°,NBPF=45°,尸2=80海里,

•••海轮沿正南方向航行，

，AB//EF,

N4=ZAPE=66°,ZB=ZBPF=45°,

9

PD=PA-sinZA=80xsm66°®80x——=72海里，

10

PD7272

PB=102.1

sin/Ssin45°2海里.

2

答：这时海轮所在的5处距离灯塔尸有102.1海里远.

21.为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动，计划开设

五场主题活动.为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调查（调查问卷

如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.

信息素养提升实践活动意向调查问卷

请在下列选项中选择一项活动意向，并在其后“口”内打4（每位同学必须且只能

选择其中一项）.

A.创意编程口B.3。创意设计口C.智能博物口

D.电脑绘图口E.优创未来口

活动意向调查结果统计图七、八年级学生活动

A意向分布情况统计图

2

0一

8——

6

4

二m

2

0A,■■■■■■I■■■.一

BCDE

七年级口八年级

图1

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分；

（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点安

排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C,D

的时间和地点已确定，请你合理安排4,B,E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一种方案

即可），并说明理由.

时

星期一星期二星期三星期四星期五

间

南院多功能北院多功能

地南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

厅厅

点（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

（容纳350人）（容纳160人）

主

——C—D

题

【答案】（1）画图见解析

（2）补全表格及理由见解析

【解析】

【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.

（1）用40减去八年级）,B,C,D的人数可求出八年级E部分人数；分别用8、C、£、部分人数除以80

可求出3、C、E部分的百分比；

（2）求出参加各种活动的人数，结合多功能厅能容纳的人数解答即可.

【小问1详解】

八年级E部分人数：40—8—6—12—2=12人；

2部分百分比：出=15%；

80

C部分百分比：生”=30%；

80

E部分百分比：丝土丝=30%；

80

补全条形统计图和扇形统计图如下:

活动意向调查结果统计图七、八年级学生活动

意向分布情况统计图

【小问2详解】

主题

活动安排为:

时

星期一星期二星期三星期四星期五

间

地南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

点（容纳350人）（容纳160人）（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

主

EACBD

题

或

时

星期一星期二星期三星期四星期五

间

地南院多功能厅北院多功能厅南院多功能厅北院多功能厅北院多功能厅

点（容纳350人）（容纳160人）（容纳350人）（容纳160人）（容纳160人）

主

EBCAD

题

理由如下：根据统计图提供的信息,

参加主题活动/的学生人数约为：1000xl5%=150（人）；

参加主题活动2的学生人数约为：1000x15%=150（人）；

参加主题活动£的学生人数约为：1000x30%=300（人）；

所以主题活动E只能安排在南院多功能厅星期一进行；主题A和主题B的活动安排在北院多功能厅均可满

足容纳人数的要求，周二或周四两天都可以安排.

22.阅读下列材料并完成相应的任务.

阅读思考：四边形的中位线

我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线.如图1,在

四边形ABCD中，设45<CD,AB与CD不平行，E,歹分别为40,2c的中点，则有结论：

-AB)<EF<；(CD+AB)

这个结论可以用下面的方法证明：

方法一：如图2,连接/C,取NC的中点连接ME,MF.

•..点区点〃分别是/。和/C的中点，

ME//CD,且

2

同理：MF//AB,且旅=145.

2

AB<CD,：.MF<ME.

在尸中，ME-MF<EF<ME+MF.

即-AB)<EF<^(CD+AB).

［自主探究］请将方法二的证明过程补充完整；

方法二：如图3,连接/斤并延长至点G,使FG=4F,连接CG,DG.

图3图4

［尝试应用］

如图4,在五边形/8CDE中，AE//CD,AB=AE=6,ZA=120°,CD=4.若点尸，G分别是

边BC,DE的中点，则线段FG长的取值范围是

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定

理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

［自主探究］证明△4^^△GEC(SAS),推出48=CG,在ACDG中，利用三角形中位线定理即可得

解；

［尝试应用］连接作ZHLBE,利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得3£=66，再利

用四边形的中位线性质即可求解.

【详解】自主探究(方法2)

解：：点尸是的中点，

/.BF=FC,

•：ZAFB=ZGFC,AF=FG,

：.A^F5^AGFC(SAS),

/.AB=CG,

:点£是4D的中点，点尸是NG的中点，

EF//DG,且斯=LQG,

2

AB<CD,

CG<CD,

在ACDG中，CD—CG<DG<CD+CG,

：.CD-AB<2EF<CD+AB,即g(CO—)<EE<g(CD+N8)；

［尝试应用］连接BE,作幺HLBE,垂足为“，

A

占C-^D

,ZAB=AE=6,ZA=120°,

NABE=NAEB=；（180。—120。）=30°

-I_____

AH=万/夕=3>EH=BH=V62-32=3^/3，

,BE=643>

VF,G分别是边BC,DE的中点，

由⑴得g(BE—CD)<FG<g(BE+CD),即g(68-4)<EG<g(66+4),

，3A/3-2<FG<3V3+2.

故答案为：3A/3-2<FG<3V3+2.

23.今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进48两种跑鞋共80双进行销

售.已知9000元全部购进3种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比8种跑鞋

的进价每双多150元，A,8两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元.

(1)求48两种跑鞋的进价分别是多少元？

(2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于8种跑鞋的;，销售时对8

种跑鞋每双降价25%出售.若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？

【答案】(1)A种跑鞋进价为450元/双，8种跑鞋的进价为300元/双；

(2)购进A种鞋32双，8种鞋48双，可获利润最大，最大利润为6800元.

【解析】

【分析】(1)设8种跑鞋的进价为f元/双，则A种跑鞋进价为(t+150)元/双，根据题意，列出分式方

程，解方程即可求解；

(2)设A种鞋购进x双，则B种鞋购进(80-x)双，根据题意求出x取值范围，设获利w元，求出w与

x一次函数，再根据一次函数的性质解答即可求解；

本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的

关键.

【小问1详解】

解：设B种跑鞋的进价为/元/双，则A种跑鞋进价为(t+150)元/双，

90009000

由题意得,1.5x

7+150

解得f=300,

经检验r=300是原方程的解，

/.A种跑鞋进价为450元/双，B种跑鞋的进价为300元/双;

【小问2详解】

解：设A种鞋购进x双，则5种鞋购进(80-x)双,

则x4|<80—x),

解得xW32,

设获利w元，

则w=(550—450)x+[(500x(l—25%)—300*80—x)=25x+6000,

V25>0,w随x的增大而增大，

...当x=32时，w取得最大，叫皿=25x32+6000=6800元，

即购进A种鞋32双，B种鞋48双，可获利润最大，最大利润为6800元.

24.如图，在平行四边形Z8CD中，点£是对角线3。上的一点，过点C作C尸〃8。且(/=£)£,连

接BF、EF.

(1)求证：AADE'BCF；

(2)请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形N3FE的形状，并证明你的结论.

条件①：ZBFC-ZABE=90°；

条件②：AE=EF；

条件③：连接//，AFLBD.

(注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分)

已知：(填写序号)

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识.

(1)由平行四边形N8C。，可得BC=4D,AB//CD,再由C尸〃8。证明

ZADB=NDBC=ZBCF,结合DE=CF,证明AADE^ASCF(SAS)即可;

(2)四边形48五£是平行四边形，条件①证明N8£E=NBEC-NEEC=90。，进而可得平行四边形

/AFE是矩形；条件②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形ZAFE是菱形，条件③由对角线互

相平分的平行四边形是菱形即可得出结论.

【小问1详解】

证明：•.•平行四边形/BCD,

BC=AD,ABHCD,

：.NADB=ZDBC

•：CF//BD,

•1,NADB=ZBCF,

又•：DE=CF,

：./\ADE^△SCF(SAS)；

【小问2详解】

解：•:CF〃BD且CF=DE,

四边形CDEF是平行四边形，

：.EF\\CD,EF=CD,

又•..在平行四边形ZBCD中，AB//CD,AB=CD,

：.AB//EF,AB=EF,

四边形4g汽E是平行四边形，

已知：①，

结论：四边形487方是矩形.

证明：VABIIEFIICD,

：.NABE=ZBEF=NEFC,

ZBFC-ZABE=90°,

：.NBFE=NBFC-NEFC=90°,

故口ABFE是矩形；

已知：②；AE=EF；

结论：四边形48五£是菱形.

证明：四边形4aFE是平行四边形，

，口幺BFE是菱形.

已知：③

结论：四边形487石是菱形.

证明：•••幺尸，8。，四边形NAFE是平行四边形，

:.口ABFE是菱形.

25.小明用相同的圆点按照一定的规律拼摆图案，图案由符合规律的图形组成

图形序号〃（号）012345...

圆点总数加（个）01361015...

（1）请你依据学习经验，将点（〃,机）绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线连结各点，根据图象，

你发现，加与〃之间的关系可能满足我们所学过的函数.（选填“一次”、“二次”、“反比例”）

（2）请结合数据和图象，求〃?与"之间函数关系的表达式，并写出自变量〃的取值范围；

（3）小明按照原规律拼摆了一组图案.若拼摆〃号图形使用了66个圆点，则“=.

【答案】（1）二次，图见解析

1,1

（2）m=-n"+—n（自变量〃为自然数）

22

（3）11

【解析】

【分析】本题主要考查了画函数图象以及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质;

（1）描点、连成平滑曲线可得是抛物线，故加与〃之间的关系符合二次函数关系.

（2）根据抛物线经过原点可设机=q〃2+b〃，用待定系数法即可求解;

（3）求出当"?=66时，〃的取值即可.

【小问1详解】

解：如图，图象为抛物线，故机与〃之间的关系符合二次函数关系.

°123456789、

故填：二次

【小问2详解】

解：设加=〃/+加，将〃=1,m=1,n=2,加=3代入得：

a+b=1

4。+26=3'

，1

a——

解得：\:2,

b=—

L2

1,1

即加=—〃~+—〃（自变量〃为自然数）

22

【小问3详解】

1,1

当机=66时，即：—n~H—〃=66.

22

解得：々=11,«2=-12（不合题意，舍去）

故答案为：11

26.已知：如图，在A45C中，AD1BC,AD=3cm,CD=4cm,BD=6cm,将△48。沿BC

方向匀速运动得到，已知△48。平移速度为1c加/s,4用分别与幺C相交于£、G,

42与AC相交于F,设运动时间为"s）（O<t<4）.

解答下列问题：

(1)连接幺4,在运动过程中，是否存在某一时刻使四边形工42。是正方形？若存在，请直接写出/

的值；若不存在，请说明理由；

(2)在运动过程中，是否存在某一时刻/，使若存在，求/的值；若不存在，请说明理由；

(3)连接设四边形EAPG的面积为S(cm2),求S与f之间的函数关系式.

【答案】(1)存在，/=3s

6

(2)存在，，=1s

21。3

(3)S=—r+-r(o<r<4)

402v)

【解析】

【分析】(1)连接幺4,首先证明四边形/&DQ为矩形，若四边形44QQ为正方形，则有

DDX=AD=3cm,然后求解即可;

(2)首先根据勾股定理解得AB=3&cm，由平移的性质可得BB〔=DDX=/cm,BXDX=BD=6cm,

A、B\=AB=3亚cm,,=AD=3cm,AADXBX=ZADB=90°,易得与。=6-/(cm),证明

B,DDEB.E6-t

△BQESABRAI，由相似三角形的性质可得27r=--=拶7,代入数值可解得QE=--cm,

UXAX442

cm

BXE=^^2,进而可得，当同后,后〃时，在口以4£，和口以与后。］中，由勾

股定理可得关于/的方程，求解即可获得答案；

12—3/20—5t

(3)证明,由相似三角形的性质可解得。尸=------cm,CF=-----cm,进而可

44

5t3tAEAG

得北：州，产；绅，再根据平行线分线段成比例定理可得还=彳，进而可得

AG=-cm-,过点G作于点X,则有8G〃C。，根据平行线分线段成比例定理可得

2

空二更,代入数值可得G/f=2/cm,然后根据四边形EQ1尸G的面积为S=S梯形&)E4_S&AEG'可得

ACCD5

S与/之间的函数关系式.

【小问1详解】

解：存在，/=3s,