人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：第二课时函数的最大（小）值

第二课时函数的最大（小）值

课标要求

素养要求

借助函数图象，会用符号语言表达函数通过图象经历函数最值的抽象过程，发

的最大值、最小值，理解它们的作用和展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运

意义.算素养.

课前预习知识探究

新知探究

♦情境引入

科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙

漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根

据曲线图说说气温的变化情况？

问题1该天的最高气温和最低气温分别是多少？

问题2设该天某时刻的气温为/U），则#幻在哪个范围内变化？

问题3从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得?

提示1.该天的最高气温为25℃,最低气温为一5℃.

2.该天某时刻的气温变化范围是（-5℃,25°C』.

3.气温的最大值在r=17处取得，气温的最小值在f=6时取得.

A知识梳理

函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是一个整体概念

最大值最小值

一般地，设函数y=/")的定义域为/，如果存在实数M满足：VxG/,

都有

条件

危)危)三M

3xoe/,使得/Uo)=M

结论称M是函数y=/(x)的最大值称M是函数y=/(x)的最小值

几何意义/U)图象上最高点的纵坐标ZU)图象上最低点的纵坐标

拓展深化

『微判断』

1.若对任意xe/,都有/)WM,则M是函数/)的最大值.(X)

提示M是存在的，并且3优W/,使得./(xo)=M.

2.一个函数可能有多个最小值.(X)

提示最大(小)值至多有1个.

3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(J)

4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(X)

提示值域确定，但不一定有最值.

5.因为不等式1总成立，所以一1是的最小值.(X)

提示的最小值为o.

『微训练』

1.函数7U)=R,r-1,3J,则於)的最大值为.

『解析』根据图象可知，«X)max=3.

『答案』3

2.函数"在『2,3J上的最小值为.

『解析』在『2,3』上递减，，ymin=*3)=；.

X1N

『答案』I

3.函数丁=-3~+2在区间『一1,2』上的最大值为.

『解析』函数y=-3』+2的对称轴为x=0,又OS[-I,2』，.\Ax）max=A。）

=2.

『答案』2

4.已知函数_/U）=:在区间『1，2』上的最大值为A,最小值为B,则A~B=.

『解析』因为_/（彳）=:在ri,2』上为减函数，

/.A=X1）=1,B=/（2）=1,则4-8=当

『答案』|

『微思考』

若函数y=Ax）在区间『。，bl上为增函数，则八》）的最大值与最小值分别是多少？

提示最大值为/（份，最小值为次a）.

课堂互动题型剖析

题型一利用图象求函数的最值

%2—JC（0WxW2）,

『例1』已知函数1x）="_2_/求函数/U）的最大值、最小值.

[（x>2）9

X—1

解作出大X）的图象如图：

由图象可知，当x=2时，取最大值为2；当尤=g时，/（X）取最小值为一".

所以人x）的最大值为2,最小值为一；.

规律方法用图象法求最值的三个步骤

@_I作出函数图象

x2,TWxWl,

『训练1』（1）（多空题）已知函数*x）={l则"r）的最大值、最小

一，x>l.

1X

值分别为，.

（2）若尤是y=2—f,y=x这两个函数中的较小者，则/U）的最大值为（）

A.2B.1

C.-lD.无最大值

『解析』（1）作出函数.*x）的图象（如图（1））.由图象可知，当x=±l时，凡6取最

大值4±1）=1.当尤=0时，式幻取最小值寅0）=0,

故7U）的最大值为1,最小值为o.

（2）在同一坐标系中，作出函数的图象（如图（2）中实线部分）,则/）max=AD=l,

故选B.

『答案』（1）10（2）B

题型二利用单调性求函数的最值

『例2』已知函数./0）=尤+9

（1）求证7U）在[1,十8）上是增函数；

（2）求/U）在『1,4』上的最大值及最小值.

⑴证明设1WXI<X2,

则7U1）-/（X2）=（汨+：）—[x2+£]

（九X2）（九1X2—1）

X}X2•

V/.Xl—X2<0,X\X2>i,

・••尢1X2—1>0,

（X1-X2）（X1X2-1）如

•'­-<0，即yUi）勺（及）.

人1人2

•MX）在『1,+8）上是增函数.

⑵解由（1）可知氏C）在『1,4』上单调递增，

.•.当x=l时,/）取得最小值,最小值为贝1）=2,

17

当x=4时，.*x）取得最大值，最大值为_A4）=N".

综上所述，7U）在『1,4』上的最大值是号,最小值是2.

规律方法1.利用单调性求最值：

首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.

2.函数的最值与单调性的关系：

（1）若函数在闭区间『。，。』上是减函数，则危）在ra,。』上的最大值为次。），最

小值为fib）-,

（2）若函数在闭区间『a,。』上是增函数，则/U）在『“，。』上的最大值为人与，最

小值为j[d）.

e+2x+〃

『训练2』已知函数./u）=---,XGn,+8）.

A-

（1）当a=f时，求函数加）的最小值；

（2）若对任意的xGfl,+8）,外）〉o恒成立，试求实数。的取值范围.

]/+2龙+g.

解（1）当时，风r）=--------=x+云：+2.

任取X],%2仁『1,+°°）,且X]<M,

所以/U1）—/（X2）=（X1—X2）（1—云3],

因为X1<X2且汨>1,X2>1,所以汨-X2<0,X\X2>\,

所以1-六>6所以（xf）（l—直）<0，

所以犬用）勺（X2）,即函数/U）在“，+8）上是增函数.

17

所以函数次x）在fl,+8）上的最小值为11）=1+]+2=/.

(2)因为«r)=史子也>0在fl,+8)上恒成立，

所以V+2x+a>0在[1,+8)上恒成立.

记、=幺+2%+〃，xC[1,+°°),

所以y=(x+l)2+a—1在『1,+8)上单调递增，故当x=l时，y取得最小值，

最小值为3+a.

所以当3+a>0,即a>—3时，凡r)>0恒成立，

所以实数。的取值范围为(一3,+8).

题型三二次函数的最值

角度1不含参数的二次函数的最值

『例3一1』(多空题)函数_/U)=*—4x+7(0WxW6)的最大值为,最小

值为.

『解析』—4x+7=(x—2月+3,

.•.此二次函数的对称轴为x=2,

二原函数的最大值为7(6)=19,最小值为刈2)=3.

『答案』193

角度2含参数的二次函数的最值

『例3-2』已知函数<x)=/一ax+1,

⑴求为)在『0,1』上的最大值;

(2)当a=l时,求段)在闭区间h,r+1』”R)上的最小值.

解(1)因为函数段)=f—ax+1的图象开口向上，其对称轴为x=F，

所以区间ro,1J的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，

当为；，即aWl时，/)的最大值为11)=2—0；

当奈>3，即。>1时，於)的最大值为型)=1.

(2)当a=l时，/0)=/—x+1,其图象的对称轴为x=g.

①当/制时，段)在U,r+1J上是增函数，.\Ax)min=A0=尸一f+1;

②当f+iwg,即W—3时，加)在E，+1』上是减函数，

•'Dmin="+1)=产+，+1；

③当?<!</+1,即一；</<1时，函数兀0在t,3上单调递减，在;，，+1上单调

递增，

所以/(X)min=dm=*

规律方法1.含参数的二次函数最值问题的解法

解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,

再依。的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴X=一%得出顶点的位置，再根据

X的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.

2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：

(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；

(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；

(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.

通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.

『训练3』已知二次函数_/U)=f—2r+3.

⑴当xGr-2,0』时，求«r)的最值；

(2)当xWf—2,3J时，求.*x)的最值；

(3)当尤eU,/+1J时，求段)的最小值g(t).

解y(x)=f—2%+3=。-1)2+2,其对称轴为X=1,开口向上.

(1)当xW『一2,0J时，/U)在F-2,0J上是减函数，

故当x=—2时，/U)有最大值火-2)=11；

当x=0时，於)有最小值式0)=3.

(2)当xWF-2,3』时，_/U)在F-2,3』上先递减后递增，

故当x=l时，火x)有最小值负1)=2.

又|一2-1|>|3-1|,

.•JU)的最大值为1-2)=11.

(3)①当/>1时，於)在\t,r+U上是增函数，

所以当X=f时，式X)取得最小值，

此时g⑺=W)=p-2t+3.

②当rWlWt+1,即OWtWl时，

./U)在It,z+U上先递减后递增，

故当x=l时,而c)取得最小值,此时g⑺=*1)=2.

③当什1<1,即/<0时，/)在It,/+1J上是减函数，

所以当x=f+l时，(x)取得最小值,

此时g⑺=力7+1)=於+2,

ft2—2/+3,?>1,

综上得g(t)=，2,0W/W1,

l?+2,z<0.

题型四函数最值——实际应用

『例4』某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需

400A—lx2(0&W400),

增加投入100元，已知总收益满足函数：H(x)=2其中

.80000(x>400).

x是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数/U);

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本

+利润)

解(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x,

,1

一牛+300光一20000(0W无W400),

从而危)=J2

,60000-100%(x>400).

⑵当0WxW400时，大幻=一点>一300)2+25000；

，当X=300时，/)max=25000,

当x>400时，/x)=60000-100%是减函数，

.*x)<60000-100X400<25000.

，当X=300时，/U)max=25000.

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元.

规律方法对于实际应用问题，首先栗审清题意，确定自变量和因变量的条件关

系，建立数学模型，列出函数关系式，进而分析函数的性质，从而解决问题.同时

要注意自变量的取值范围.

『训练4』近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方

便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每

座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P（单位：万元）与

投入资金。（单位：万元）满足P=4®-6,乙城市收益。（单位：万元）与投入资

fl

??+2,80WaW120,

金4（单位：万元）满足。=4设甲城市的投入资金为其单位:

,32,120<260.

万元），两城市的总收益为yu）（单位：万元）.

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？

解（1）当x=128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总

收益7028）=4^2*128-6+、X112+2=88（万元）.

（2）设甲城市投资x万元，则乙城市投资（240—x）万元，

卜280,

依题意得解得80&W160.

[240—％280,

当80Wx<120时，120<240-x<160,

.*x）=4•-6+32=4叵+26<26+16VB.

当120这xW160时,80W240—九W120,

7U）=4/-6+1（240—x）+2

=一卒+4^^+56.

令t=G，贝u旧12小5,4回』，

所以y=—1+4啦/+56=一（“一8啦>+88,

当/=86，即x=128时，y的最大值为88.

因为88〉26+16VB,所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公

司总收益最大，且最大收益为88万元.

素养达成逐步落实

一、素养落地

1.通过本节课的学习，应提升推理、计算的能力，重点提升学生的数学抽象、逻

辑推理、数学运算素养.

2.函数的最大值M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义中一定存在

一个点xo，使/(xo)=M.

3.定义域内全部元素都满足

4.最大值M是函数图象最高点的纵坐标，也就是函数的整个图象都在直线y=M

的下方.

5.最小值有类似定义.

二、素养训练

1.函数/U)=—2x+l(xWf—2,2』)的最小、最大值分别为()

A.3,5B.-3,5

C.1,5D.5,-3

『解析』因为_/U)=-2x+l在『-2,2]是减函数，所以当x=2时，函数的

最小值为-3.当尤=一2时，函数的最大值为5.

『答案』B

2.函数y=f—2x,xefO,3』的值域为()

A.fO,3」B.F-L0』

C.[—1,+°°)D.f—1,3J

『解析』..,函数1)2—1,JCE『0,3』，.•.当x=l时，函数y

取得最小值为-1,当尤=3时，函数取得最大值为3,故函数的值域为F-1,3』，

故选D.

『答案』D

x+7,—1WX<1,

3.已知函数/x)=L一则式X)的最大值、最小值分别为()

.2xI6,1WXW2,

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

『解析』当一1WX<1时，.*x)=x+7为增函数，值域『6,8)；当1-W2时，

凡。=2%+6为增函数，值域『8,10』，故/U)最大为10,最小为6.

『答案』A

4.已知函数.*x)=2x—3,当时，恒有.*x)巳机成立，则实数机的取值范围是

A.RB.（—8,-J]

C.[-],+°o）D.0

『解析』因为y（x）=2x—3在xGFl,+8）上为增函数,

所以於）min=-L故满足式力2—1.

又因为在时，兀。2根恒成立，

所以mW—1,故机£（—8,—1].

『答案』B

5.在如图所示的锐

角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为

________m.

『解析』设矩形花园的宽为》则a=专三即y=40—x,矩形花园的面积

S=x（40-x）=-X2+40X=-（X-20）2+400,其中X6（0,40）,故当x=20m时，

面积最大.

『答案』20

三'审题答题

示范（三）利用函数的单调性求最值

2

『典型示例』（12分）已知函数人》