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文档简介
第二课时函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
借助函数图象,会用符号语言表达函数通过图象经历函数最值的抽象过程,发
的最大值、最小值,理解它们的作用和展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运
意义.算素养.
课前预习知识探究
新知探究
♦情境引入
科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙
漠气候进行科学考查,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根
据曲线图说说气温的变化情况?
问题1该天的最高气温和最低气温分别是多少?
问题2设该天某时刻的气温为/U),则#幻在哪个范围内变化?
问题3从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?
提示1.该天的最高气温为25℃,最低气温为一5℃.
2.该天某时刻的气温变化范围是(-5℃,25°C』.
3.气温的最大值在r=17处取得,气温的最小值在f=6时取得.
A知识梳理
函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是一个整体概念
最大值最小值
一般地,设函数y=/")的定义域为/,如果存在实数M满足:VxG/,
都有
条件
危)危)三M
3xoe/,使得/Uo)=M
结论称M是函数y=/(x)的最大值称M是函数y=/(x)的最小值
几何意义/U)图象上最高点的纵坐标ZU)图象上最低点的纵坐标
拓展深化
『微判断』
1.若对任意xe/,都有/)WM,则M是函数/)的最大值.(X)
提示M是存在的,并且3优W/,使得./(xo)=M.
2.一个函数可能有多个最小值.(X)
提示最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.(J)
4.如果函数的值域是确定的,则它一定有最值.(X)
提示值域确定,但不一定有最值.
5.因为不等式1总成立,所以一1是的最小值.(X)
提示的最小值为o.
『微训练』
1.函数7U)=R,r-1,3J,则於)的最大值为.
『解析』根据图象可知,«X)max=3.
『答案』3
2.函数"在『2,3J上的最小值为.
『解析』在『2,3』上递减,,ymin=*3)=;.
X1N
『答案』I
3.函数丁=-3~+2在区间『一1,2』上的最大值为.
『解析』函数y=-3』+2的对称轴为x=0,又OS[-I,2』,.\Ax)max=A。)
=2.
『答案』2
4.已知函数_/U)=:在区间『1,2』上的最大值为A,最小值为B,则A~B=.
『解析』因为_/(彳)=:在ri,2』上为减函数,
/.A=X1)=1,B=/(2)=1,则4-8=当
『答案』|
『微思考』
若函数y=Ax)在区间『。,bl上为增函数,则八》)的最大值与最小值分别是多少?
提示最大值为/(份,最小值为次a).
课堂互动题型剖析
题型一利用图象求函数的最值
%2—JC(0WxW2),
『例1』已知函数1x)="_2_/求函数/U)的最大值、最小值.
[(x>2)9
X—1
解作出大X)的图象如图:
由图象可知,当x=2时,取最大值为2;当尤=g时,/(X)取最小值为一".
所以人x)的最大值为2,最小值为一;.
规律方法用图象法求最值的三个步骤
@_I作出函数图象
x2,TWxWl,
『训练1』(1)(多空题)已知函数*x)={l则"r)的最大值、最小
一,x>l.
1X
值分别为,.
(2)若尤是y=2—f,y=x这两个函数中的较小者,则/U)的最大值为()
A.2B.1
C.-lD.无最大值
『解析』(1)作出函数.*x)的图象(如图(1)).由图象可知,当x=±l时,凡6取最
大值4±1)=1.当尤=0时,式幻取最小值寅0)=0,
故7U)的最大值为1,最小值为o.
(2)在同一坐标系中,作出函数的图象(如图(2)中实线部分),则/)max=AD=l,
故选B.
『答案』(1)10(2)B
题型二利用单调性求函数的最值
『例2』已知函数./0)=尤+9
(1)求证7U)在[1,十8)上是增函数;
(2)求/U)在『1,4』上的最大值及最小值.
⑴证明设1WXI<X2,
则7U1)-/(X2)=(汨+:)—[x2+£]
(九X2)(九1X2—1)
X}X2•
V/.Xl—X2<0,X\X2>i,
・••尢1X2—1>0,
(X1-X2)(X1X2-1)如
•'-<0,即yUi)勺(及).
人1人2
•MX)在『1,+8)上是增函数.
⑵解由(1)可知氏C)在『1,4』上单调递增,
.•.当x=l时,/)取得最小值,最小值为贝1)=2,
17
当x=4时,.*x)取得最大值,最大值为_A4)=N".
综上所述,7U)在『1,4』上的最大值是号,最小值是2.
规律方法1.利用单调性求最值:
首先判断函数的单调性;然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系:
(1)若函数在闭区间『。,。』上是减函数,则危)在ra,。』上的最大值为次。),最
小值为fib)-,
(2)若函数在闭区间『a,。』上是增函数,则/U)在『“,。』上的最大值为人与,最
小值为j[d).
e+2x+〃
『训练2』已知函数./u)=---,XGn,+8).
A-
(1)当a=f时,求函数加)的最小值;
(2)若对任意的xGfl,+8),外)〉o恒成立,试求实数。的取值范围.
]/+2龙+g.
解(1)当时,风r)=--------=x+云:+2.
任取X],%2仁『1,+°°),且X]<M,
所以/U1)—/(X2)=(X1—X2)(1—云3],
因为X1<X2且汨>1,X2>1,所以汨-X2<0,X\X2>\,
所以1-六>6所以(xf)(l—直)<0,
所以犬用)勺(X2),即函数/U)在“,+8)上是增函数.
17
所以函数次x)在fl,+8)上的最小值为11)=1+]+2=/.
(2)因为«r)=史子也>0在fl,+8)上恒成立,
所以V+2x+a>0在[1,+8)上恒成立.
记、=幺+2%+〃,xC[1,+°°),
所以y=(x+l)2+a—1在『1,+8)上单调递增,故当x=l时,y取得最小值,
最小值为3+a.
所以当3+a>0,即a>—3时,凡r)>0恒成立,
所以实数。的取值范围为(一3,+8).
题型三二次函数的最值
角度1不含参数的二次函数的最值
『例3一1』(多空题)函数_/U)=*—4x+7(0WxW6)的最大值为,最小
值为.
『解析』—4x+7=(x—2月+3,
.•.此二次函数的对称轴为x=2,
二原函数的最大值为7(6)=19,最小值为刈2)=3.
『答案』193
角度2含参数的二次函数的最值
『例3-2』已知函数<x)=/一ax+1,
⑴求为)在『0,1』上的最大值;
(2)当a=l时,求段)在闭区间h,r+1』”R)上的最小值.
解(1)因为函数段)=f—ax+1的图象开口向上,其对称轴为x=F,
所以区间ro,1J的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,
当为;,即aWl时,/)的最大值为11)=2—0;
当奈>3,即。>1时,於)的最大值为型)=1.
(2)当a=l时,/0)=/—x+1,其图象的对称轴为x=g.
①当/制时,段)在U,r+1J上是增函数,.\Ax)min=A0=尸一f+1;
②当f+iwg,即W—3时,加)在E,+1』上是减函数,
•'Dmin="+1)=产+,+1;
③当?<!</+1,即一;</<1时,函数兀0在t,3上单调递减,在;,,+1上单调
递增,
所以/(X)min=dm=*
规律方法1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,
再依。的符号确定抛物线的开口方向,依对称轴X=一%得出顶点的位置,再根据
X的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型:
(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;
(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;
(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
『训练3』已知二次函数_/U)=f—2r+3.
⑴当xGr-2,0』时,求«r)的最值;
(2)当xWf—2,3J时,求.*x)的最值;
(3)当尤eU,/+1J时,求段)的最小值g(t).
解y(x)=f—2%+3=。-1)2+2,其对称轴为X=1,开口向上.
(1)当xW『一2,0J时,/U)在F-2,0J上是减函数,
故当x=—2时,/U)有最大值火-2)=11;
当x=0时,於)有最小值式0)=3.
(2)当xWF-2,3』时,_/U)在F-2,3』上先递减后递增,
故当x=l时,火x)有最小值负1)=2.
又|一2-1|>|3-1|,
.•JU)的最大值为1-2)=11.
(3)①当/>1时,於)在\t,r+U上是增函数,
所以当X=f时,式X)取得最小值,
此时g⑺=W)=p-2t+3.
②当rWlWt+1,即OWtWl时,
./U)在It,z+U上先递减后递增,
故当x=l时,而c)取得最小值,此时g⑺=*1)=2.
③当什1<1,即/<0时,/)在It,/+1J上是减函数,
所以当x=f+l时,(x)取得最小值,
此时g⑺=力7+1)=於+2,
ft2—2/+3,?>1,
综上得g(t)=,2,0W/W1,
l?+2,z<0.
题型四函数最值——实际应用
『例4』某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需
400A—lx2(0&W400),
增加投入100元,已知总收益满足函数:H(x)=2其中
.80000(x>400).
x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数/U);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本
+利润)
解(1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x,
,1
一牛+300光一20000(0W无W400),
从而危)=J2
,60000-100%(x>400).
⑵当0WxW400时,大幻=一点>一300)2+25000;
,当X=300时,/)max=25000,
当x>400时,/x)=60000-100%是减函数,
.*x)<60000-100X400<25000.
,当X=300时,/U)max=25000.
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.
规律方法对于实际应用问题,首先栗审清题意,确定自变量和因变量的条件关
系,建立数学模型,列出函数关系式,进而分析函数的性质,从而解决问题.同时
要注意自变量的取值范围.
『训练4』近年来,“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方
便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每
座城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与
投入资金。(单位:万元)满足P=4®-6,乙城市收益。(单位:万元)与投入资
fl
??+2,80WaW120,
金4(单位:万元)满足。=4设甲城市的投入资金为其单位:
,32,120<260.
万元),两城市的总收益为yu)(单位:万元).
(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资,才能使公司总收益最大?
解(1)当x=128时,此时甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,所以总
收益7028)=4^2*128-6+、X112+2=88(万元).
(2)设甲城市投资x万元,则乙城市投资(240—x)万元,
卜280,
依题意得解得80&W160.
[240—%280,
当80Wx<120时,120<240-x<160,
.*x)=4•-6+32=4叵+26<26+16VB.
当120这xW160时,80W240—九W120,
7U)=4/-6+1(240—x)+2
=一卒+4^^+56.
令t=G,贝u旧12小5,4回』,
所以y=—1+4啦/+56=一(“一8啦>+88,
当/=86,即x=128时,y的最大值为88.
因为88〉26+16VB,所以当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,公
司总收益最大,且最大收益为88万元.
素养达成逐步落实
一、素养落地
1.通过本节课的学习,应提升推理、计算的能力,重点提升学生的数学抽象、逻
辑推理、数学运算素养.
2.函数的最大值M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,即定义中一定存在
一个点xo,使/(xo)=M.
3.定义域内全部元素都满足
4.最大值M是函数图象最高点的纵坐标,也就是函数的整个图象都在直线y=M
的下方.
5.最小值有类似定义.
二、素养训练
1.函数/U)=—2x+l(xWf—2,2』)的最小、最大值分别为()
A.3,5B.-3,5
C.1,5D.5,-3
『解析』因为_/U)=-2x+l在『-2,2]是减函数,所以当x=2时,函数的
最小值为-3.当尤=一2时,函数的最大值为5.
『答案』B
2.函数y=f—2x,xefO,3』的值域为()
A.fO,3」B.F-L0』
C.[—1,+°°)D.f—1,3J
『解析』..,函数1)2—1,JCE『0,3』,.•.当x=l时,函数y
取得最小值为-1,当尤=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为F-1,3』,
故选D.
『答案』D
x+7,—1WX<1,
3.已知函数/x)=L一则式X)的最大值、最小值分别为()
.2xI6,1WXW2,
A.10,6B.10,8
C.8,6D.以上都不对
『解析』当一1WX<1时,.*x)=x+7为增函数,值域『6,8);当1-W2时,
凡。=2%+6为增函数,值域『8,10』,故/U)最大为10,最小为6.
『答案』A
4.已知函数.*x)=2x—3,当时,恒有.*x)巳机成立,则实数机的取值范围是
A.RB.(—8,-J]
C.[-],+°o)D.0
『解析』因为y(x)=2x—3在xGFl,+8)上为增函数,
所以於)min=-L故满足式力2—1.
又因为在时,兀。2根恒成立,
所以mW—1,故机£(—8,—1].
『答案』B
5.在如图所示的锐
角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为
________m.
『解析』设矩形花园的宽为》则a=专三即y=40—x,矩形花园的面积
S=x(40-x)=-X2+40X=-(X-20)2+400,其中X6(0,40),故当x=20m时,
面积最大.
『答案』20
三'审题答题
示范(三)利用函数的单调性求最值
2
『典型示例』(12分)已知函数人》
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