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文档简介
相似三角形的性质及应用
课前自主复习
1.相似三角形的性质
己知两个相似三角形的相似比为左,则对应高的比为,对应中线的比为,对应角
平分线的比为,周长的比为,面积的比为.
2.相似多边形的周长比等于,相似多边形的面积比等于相似比的.
3.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点,若△ABC的周长为acm,则△DEF的周长为一
Cm;若△ABC的面积为Z?cnP,则△DEF的面积为cm2
4.双直角三角形(射影定理)
如图,在RtAABC中,已知NBAC=90。,ADXBC,则
由RtAABDSRSCAD可得AO2=;
由RtAABDRtACBA可得AB2=;
由RtACADRtACBA可得AC?=;
5.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的
两个图形叫做.这个点叫,这时的相似比又称为.
课前基础自测
1.如图OABCD,F为BC中点,延长AD至点E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,
则^SDEG-SACFG=()
A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9
(2题)
2.如图,正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.
在点从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积()
A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变
3.如图,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AE,BE交于
点G,贝!JS^EFG:S^BG=------------------1
(3题)(4题)
4.如图,在△ABC中,BOAC,点D在BC上,且DC=AC,/ACB的平分线CF交AD
于F,点E是AB的中点,连接EF.若四边形BDFE的面积为6,则4ABD的面积=.
5.如图,在△ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形EFGH,使EF
在BC边上,另外两个顶点分别在AB、AC边上,则对角线EG的长最小值为.
A
课堂讲练结合
例1.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线
BD〃x轴,反比例函数y=&(左>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),
x
D(0,4),则左的值为()
A.16B.20C.32D.40
例1图例2图
例2.如图,已知OABCD中,AE:EB=1:2.则(1)AAEF与△CDF的周长之比为:
(2)如果S^EF=6cm2,那么S&CDF=cm2.
【跟进训练1】如图,在nABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并
延长交DC于点F,则的值为()
A.l:3B.l:5C.l:6D.l:ll
【跟进训练2】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上
一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当AECF为直角三角
形时,AP的长为.
例3.如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M,N分别在边AB,CD上,点E,F分别
在BC,AD上,MN,EF交于点P,记左=MN:EE若左的值为3,当点N是矩形的顶点
且/MPE=60。,MP=EF=3PE时,求a:b的值.
D
N
M
BEC
【跟进训练3】如图,正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC、BD的交点,点E为
边AB的中点,ABED绕着点B旋转至ABDiEi,如果点D、E、Di在同一直线上,求EEi
的长.
例4.小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:如图1,在△ABC中,AD_LBC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶
点P,N分别在边AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长;
(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:
如图2,任意画△ABC,在AB上任取一点尸',画正方形PQ'MN',使点Q',M'在BC边
上,点V在△ABC内,连接3N'并延长交AC于点N,画NMLBC于点M,NPLNM交
AB于点P,PQ±BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线
(3)推理:证明图2中的四边形PQMN是正方形;
(4)拓展:在(2)的条件下,在射线BN上截取NE=NM,连接EQ,EM(如图3).当tanZNBM=
3
:时,猜想NQEM的度数,并尝试证明.请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题
课内巩固训练
1.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFXAE
于点F,则BF的长为()
2.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得至!]△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的
面积之比为()
A.l:2B.l:4C.l:5D.l:6
3.七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4形的正方形ABCD可
以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼
搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上),贝「拼搏兔”所
在正方形EFGH的边长是.
图1
4.如图,在△ABC中,已知AB=AC=4,BC=6,P是BC边上的一动点(P不与B、C重合),
连接AP,NB=/APE,边PE与AC交于点D,当小APD为等腰三角形时,则PB之长为;
A
5.如图,RtAABM和RtAADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.
(1)求证:RtAABM^RtAAND;
(2)若MN与AD相交于点T,且AT=!A。,求tan/ABM的值;
4
课后作业
A组(基础训练)
1.如图,已知D、E分别是AABC的AB、AC边上的点,DE〃:BC,且:S醵B=1:8,
那么AE:AC等于()
A.l:9B.l:3C.l:8D.l:2
2.如图,在边长为1的正方形ABCD中,己知点E在CB的延长线上,连接ED交AB于点
F,AF=x(0.2<x<0.S),EC=y,则线面函数图象中,大致能反映y与x之间函数关系
是()
3.两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么大三角形的
周长为()
A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm
OE3FG
4.如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,—=—,则一=
OA5BC
5.如图,在AABC中,已知D、E分别是AB和AC的中点,F是BC延长线上一点,DF平
分CE于点G,CF=1,贝UBC=,AADE与AABC的周长之比为,ACFG与4
DFB的面积之比为.
6.如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若
要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的a、b应满足的条件是()
A.a=42bB.a=2bC.a=2回D.〃=4Z?
i1
i1
i第一次对折1第二次对折
i1
bi1A
i1
i1
i1
7.如图,已知CD是RtAABC的斜边AB上的高,ZBAC的平分线分别交BC、CD于点E、
工4。・4石=4尸・48成立吗?请说明理由.
8.定义:在AABC中,点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的动点,^ADEF^AABC
(点D、E、F的对应点分别为点A、B、C),则称4DEF是AABC的子三角形,如图.
(1)已知:如图1,z^ABC是等边三角形,点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的动点,
且AD=BE=CF.求证:ZXDEF是4ABC的子三角形.
(2)已知:如图2,Z\DEF是AABC的子三角形,且AB=AC,ZA=90°,若BE=J^,
求CF和AD的长.
9.如图,RtZXABC中,ZACB=90°,AB=15,BC=9,在线段AB上取一点D,作DF_LAB
交AC于点F,现将4ADF沿DF折叠,使点A落在线段DB上,对应点记为AD原中
点E的对应点记为Ei,若△EiFAisZ\EiBF,求AD的长
B组(能力提高)
10.如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AB±BC,BC_LCD,E为AD中点,F为BE
上的点,MFE=-BE,则点F到边CD的距离是
3
11.如图,ZkABC是等边三角形,AB=5,点D是边BC上一点,连接BH、CH,当/
BHD=60°,ZAHC=90°时,DH=.
12.已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E.(1)如图(1),若NABC=
3
/ADC=90°,求证:EZhEAnECEB;(2)如图(2),若NABC=120°,cos/ADC=—,
5
CD=5,AB=12,ACDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图(3),另一组对边
3
AB,DC的延长线相交于点F,若cos/ABC=cosNADC=I,CD=5,CF=ED="直接写出
AD的长(用含〃的式子表示).
B
B
13.如图,在AABC中,ZACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的4
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