人教版九年级数学下册272相似三角形的性质及应用

相似三角形的性质及应用

课前自主复习

1.相似三角形的性质

己知两个相似三角形的相似比为左，则对应高的比为,对应中线的比为,对应角

平分线的比为,周长的比为,面积的比为.

2.相似多边形的周长比等于,相似多边形的面积比等于相似比的.

3.已知D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长为acm,则△DEF的周长为一

Cm；若△ABC的面积为Z?cnP,则△DEF的面积为cm2

4.双直角三角形（射影定理）

如图，在RtAABC中，已知NBAC=90。，ADXBC,则

由RtAABDSRSCAD可得AO2=；

由RtAABDRtACBA可得AB2=；

由RtACADRtACBA可得AC?=；

5.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的

两个图形叫做.这个点叫,这时的相似比又称为.

课前基础自测

1.如图OABCD,F为BC中点，延长AD至点E,使DE：AD=1:3,连接EF交DC于点G,

则^SDEG-SACFG=（）

A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9

（2题）

2.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.

在点从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变

3.如图，四边形ABCD为平行四边形，E,F为CD边的两个三等分点，连接AE,BE交于

点G,贝!JS^EFG:S^BG=------------------1

（3题）（4题）

4.如图，在△ABC中，BOAC,点D在BC上，且DC=AC,/ACB的平分线CF交AD

于F,点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6,则4ABD的面积=.

5.如图，在△ABC中，BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形EFGH,使EF

在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG的长最小值为.

A

课堂讲练结合

例1.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上，对角线

BD〃x轴，反比例函数y=&（左>0,x>0）的图象经过矩形对角线的交点E.若点A（2,0）,

x

D（0,4）,则左的值为（）

A.16B.20C.32D.40

例1图例2图

例2.如图，已知OABCD中，AE：EB=1:2.则(1)AAEF与△CDF的周长之比为:

(2)如果S^EF=6cm2,那么S&CDF=cm2.

【跟进训练1】如图，在nABCD中，AC与BD相交于点O,E为OD的中点，连接AE并

延长交DC于点F,则的值为（）

A.l:3B.l:5C.l:6D.l:ll

【跟进训练2】如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E为AD中点，点P为线段AB上

一个动点，连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当AECF为直角三角

形时，AP的长为.

例3.如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别

在BC,AD上，MN,EF交于点P,记左=MN:EE若左的值为3,当点N是矩形的顶点

且/MPE=60。，MP=EF=3PE时，求a：b的值.

D

N

M

BEC

【跟进训练3】如图，正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC、BD的交点，点E为

边AB的中点，ABED绕着点B旋转至ABDiEi,如果点D、E、Di在同一直线上，求EEi

的长.

例4.小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.

(1)温故：如图1,在△ABC中，AD_LBC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上，顶

点P,N分别在边AB,AC上，若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长；

(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：

如图2,任意画△ABC,在AB上任取一点尸'，画正方形PQ'MN',使点Q',M'在BC边

上，点V在△ABC内，连接3N'并延长交AC于点N,画NMLBC于点M,NPLNM交

AB于点P,PQ±BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线

(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形;

(4)拓展:在(2)的条件下,在射线BN上截取NE=NM,连接EQ,EM(如图3).当tanZNBM=

3

:时，猜想NQEM的度数，并尝试证明.请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题

课内巩固训练

1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE,过点B作BFXAE

于点F,则BF的长为()

2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得至!]△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的

面积之比为（）

A.l:2B.l:4C.l:5D.l:6

3.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为4形的正方形ABCD可

以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼

搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），贝「拼搏兔”所

在正方形EFGH的边长是.

图1

4.如图，在△ABC中，已知AB=AC=4,BC=6,P是BC边上的一动点（P不与B、C重合）,

连接AP,NB=/APE,边PE与AC交于点D,当小APD为等腰三角形时，则PB之长为；

A

5.如图，RtAABM和RtAADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.

（1）求证：RtAABM^RtAAND；

（2）若MN与AD相交于点T,且AT=！A。，求tan/ABM的值;

4

课后作业

A组（基础训练）

1.如图，已知D、E分别是AABC的AB、AC边上的点，DE〃:BC,且：S醵B=1:8,

那么AE：AC等于（）

A.l:9B.l:3C.l:8D.l:2

2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，己知点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点

F,AF=x（0.2<x<0.S）,EC=y,则线面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系

是（）

3.两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么大三角形的

周长为（）

A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm

OE3FG

4.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O,—=—，则一=

OA5BC

5.如图，在AABC中，已知D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平

分CE于点G,CF=1,贝UBC=,AADE与AABC的周长之比为，ACFG与4

DFB的面积之比为.

6.如图，取一张长为a,宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若

要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的a、b应满足的条件是（）

A.a=42bB.a=2bC.a=2回D.〃=4Z?

i1

i1

i第一次对折1第二次对折

i1

bi1A

i1

i1

i1

7.如图，已知CD是RtAABC的斜边AB上的高，ZBAC的平分线分别交BC、CD于点E、

工4。・4石=4尸・48成立吗？请说明理由.

8.定义：在AABC中，点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的动点，^ADEF^AABC

(点D、E、F的对应点分别为点A、B、C),则称4DEF是AABC的子三角形，如图.

(1)已知：如图1,z^ABC是等边三角形，点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的动点，

且AD=BE=CF.求证：ZXDEF是4ABC的子三角形.

(2)已知：如图2,Z\DEF是AABC的子三角形，且AB=AC,ZA=90°,若BE=J^,

求CF和AD的长.

9.如图，RtZXABC中，ZACB=90°,AB=15,BC=9,在线段AB上取一点D,作DF_LAB

交AC于点F,现将4ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为AD原中

点E的对应点记为Ei，若△EiFAisZ\EiBF,求AD的长

B组（能力提高）

10.如图，四边形ABCD中，AB=4,BC=6,AB±BC,BC_LCD,E为AD中点，F为BE

上的点，MFE=-BE,则点F到边CD的距离是

3

11.如图，ZkABC是等边三角形，AB=5,点D是边BC上一点，连接BH、CH,当/

BHD=60°,ZAHC=90°时，DH=.

12.已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E.（1）如图（1）,若NABC=

3

/ADC=90°,求证：EZhEAnECEB；（2）如图（2）,若NABC=120°,cos/ADC=—,

5

CD=5,AB=12,ACDE的面积为6,求四边形ABCD的面积；（3）如图（3）,另一组对边

3

AB,DC的延长线相交于点F,若cos/ABC=cosNADC=I，CD=5,CF=ED="直接写出

AD的长（用含〃的式子表示）.

B

B

13.如图，在AABC中，ZACB=90°,CD是中线，AC=BC,一个以点D为顶点的4