高考数学第一轮复习复习第5节　空间向量及空间位置关系（讲义）

第5节空间向量及空间位置关系[课程标准要求]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.1.空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且长度相等的向量a的相反向量-a共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量—(2)空间向量中的有关结论①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.2.空间向量的数量积及坐标运算(1)两个非零空间向量的数量积①a·b=|a||b|cos<a,b>;②a⊥b⇔a·b=0;③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=x2(2)空间向量的坐标运算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3共线a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0夹角公式cos<a,b>=a3.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m=01.空间向量基本定理的三点注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.2.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(1)PA→=λPB(2)对空间任一点O,OP→=OA→+t(3)对空间任一点O,OP→=xOA→+y3.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:(1)MP→=xMA→+y(2)对空间任一点O,OP→=OM→+xMA→1.(选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是(C)A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除A;对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除B;对于D,a+2b=32(a+b)-1所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基底,排除D;对于C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一个基底.2.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示MNA.12(b+c-a) B.1C.12(a-b+c) D.1解析:因为点M为AB的中点,所以OM→=12(OA→+OB→)=因为点N为OC的中点,所以ON→=12OC所以MN→=ON→-OM→=12c-123.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,则实数k等于(D)A.0 B.1C.-1或2 D.-2或1解析:因为向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,所以k-2-4.(多选题)已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则以下说法正确的是(ABD)A.a⊥b B.|a|>|b|C.cos<a+b,a>=33 解析:向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),a·b=-1+2-1=0,所以a⊥b,故A正确;|a|=1+4+1=6,|b|=1+1+1=3,所以|a|>|b|,故B正确;a+b=(0,3,0),所以cos<a+b,a>=(a+b)·a|a所以|a+b|=|a-b|,故D正确.5.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足OM→=15OA→+45OB→解析:因为OM→=15OA→=15OA→+45OB→+=15OA→+2因为15+25+所以M,A,B,C四点共面.即点M∈平面ABC.答案:∈空间向量的线性运算[例1]如图所示,在平行六面体ABCD-1B1C1D1中,设AA→1=a,AB→=b,AD→=c,M,N,P分别是AA1,BC,C(1)AP→;(2)A1N→;(3)解:(1)因为P是C1D1的中点,所以AP→=AA1→+A1P=AA1→+AD→+(2)因为N是BC的中点,所以A1N→=A1A→=-a+b+12AD→(3)因为M是AA1的中点,N是BC的中点,所以MP→=MA→+AP→==-12a+(a+c+12b)=12NC1→=NC→+C=12AD→+A所以MP→+NC1→=(12=32a+12b+用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.[针对训练]1.在四面体D-ABC中,点G是△ABC的重心,设DA→=a,DB→=b,DC→A.13a+23b+23c B.13a+C.23a+23b+23c D.23a+解析:如图,因为G为△ABC的重心,所以DG→=DA→+AG→=DA→+13(AC→+AB→)=DA→+13(DC→-DA→2.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→(x,y,z∈R),PM→=2MCA.-23 B.2C.1 D.5解析:由题可知PC→=AB→+BC→-AP→=AB→+AD→-AP→所以NM→=NP→=12DP=12(AP→-AD→)+23(AB→=-16AP→+2所以x=23,y=16,z=-所以x+y+z=23共线向量、共面向量的应用[例2](1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1E→=23A(2)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且|BE|=13|BB1|,|DF|=23|DD1|.求证:A,E,C证明:(1)法一在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB,A1B.因为A1E→A1F→所以EF→=A1F→-A=25(A1B1→+=25A1B1FB→=A1B→-A1F=A1B1→+A1A→-2=35A1B1显然,EF→=23FB→,所以又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.法二在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB.由题意,A1E→A1F→易得EF→=A1F→-A1E→=23(FC→-A1D1→)=23(FC→又EF∩FB=F,故E,F,B三点共线.(2)因为AC1→=AB→+AD→+AA1→=AB→+AD→+13AA1→+23AA1→=(所以A,E,C1,F四点共面.(1)利用共线向量定理可以证明直线的平行与三点共线问题.(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.[针对训练]1.已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于()A.1 B.-2 C.0 D.-1解析:AB→=(1,-1-x,1),BC→=(2,4,-4),设CD→=aAB→+b所以(1,-2,1)=(a,-a-ax,a)+(2b,4b,-4b)=(a+2b,4b-a-ax,a-4b),所以a解得a=1,b=0,x=1.故选A.2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n=.

解析:AB→=(3,-1,1),AC因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得AC→=λAB即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以m解得λ=-2,m=-7,n=4.所以m+n=-3.答案:-33.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM→=kAC1→,(1)向量MN→是否与向量AB→,(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?解:(1)因为AM→=kAC1→,所以MN→=MA→+AB=kC1A→+=k(C1A→+=k(C1A→+=kB1A→+AB→=AB→-k(AA1=(1-k)AB→-kA所以由向量共面的充要条件知向量MN→与向量AB→,(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知MN→与AB→,所以MN∥平面ABB1A1.综上,当k=0时,直线MN在平面ABB1A1内;当0<k≤1时,MN∥平面ABB1A1.空间向量的数量积及其应用[例3]如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求向量AN→与MC(1)证明:设AB→=p,AC→=q,由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三个向量两两夹角均为60°.MN→=AN→=12(AC→+AD=12所以MN→·AB→=12=12(q·p+r·p-p2=12(a2cos60°+a2cos60°-a2=0.所以MN→⊥AB同理可证MN⊥CD.(2)解:设向量AN→与MC因为AN→=12(AC→+ADMC→=AC→-AM→所以AN→·MC→=12(q+r)·=12(q2-12q·p+r·q-12=12(a2-12a2cos60°+a2cos60°-12a2=12(a2-a24+a=a2又因为|AN→|=|MC→|=所以AN→·MC→=|AN→=32a·32a·cosθ=所以cosθ=23所以向量AN→与MC→的夹角的余弦值为(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式,可以求空间角.(3)可以通过|a|=a2[针对训练]如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1⊥BD.(1)解:记AB→=a,AD→=b,则|a|=|b|=|c|=1,且任意两个向量之间的夹角为60°,所以a·b=b·c=c·a=1×1×cos60°=12|AC1→|=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×(12+12+所以|AC1→即AC1的长为6.(2)证明:因为AC1→所以AC1→·BD=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c=0.所以AC1→⊥BD平面的法向量、直线的方向向量及其应用1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是(D)A.(33,33,-B.(33,-33,C.(-33,33,D.(-33,-33,-解析:AB→=(-1,1,0),AC设平面ABC的法向量n=(x,y,z),所以-令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1).单位法向量为±n|n|=±(33,2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(C)A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确解析:因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以n1与n2不垂直,又n1,n2不共线,所以α与β相交但不垂直.3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BCA.337,-157,4 B.407C.407,-2,4 D.4,40解析:因为AB→⊥BC所以AB→·BC即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,又因为BC→所以(解得x即x=407,y=-15(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则AB→及与AB(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组n·利用向量证明平行、垂直问题[例4]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.证明:依题意,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).(1)BE→=(0,1,1),DC→=(2,0,0),故BE→(2)因为AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,所以AB→而BE→·AB→=(0,1,1)所以BE⊥AB,又BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一个法向量为AB→PD→=(0,2,-2),DC设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PD令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量,且n·AB→=(0,1,1)·所以n⊥AB→(1)利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.[针对训练]如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.证明:(1)取BC的中点O,连接PO,因为△PBC为等边三角形,所以PO⊥BC.因为平面PBC⊥底面ABCD,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3,所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3),所以BD→=(-2,-1,0),PA→=(1,-2,-因为BD→·PA→=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-所以PA→⊥BD所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M(12,-1,3因为DM→=(32,0,32),PB所以DM→·PB→=32×1+0×0+32所以DM→⊥PB因为DM→·PA→=32×1+0×(-2)+32所以DM→⊥PA即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,PA⊂平面PAB,PB⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.[例1]若点A(-1,1,2),B(0,3,0),C(1,0,-1),点D在z轴上,且AD→⊥BC→,则|A.2 B.22 C.32 D.6解析:由点D在z轴上,设D(0,0,m),m∈R,故AD→而BC→因为AD→⊥BC所以AD→·BC解得m=6,故|AD→|=1+1+16=32[例2]如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,AF→=13AD→,AG→=2GA1解析:由题图知,设AM→=λA由已知AC1→=AB→+AD→+AA1→=2AE→+3AF→+因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+3λ解得λ=213.故AMAC答案:2[选题明细表]知识点、方法题号空间向量的线性运算1,2,3,4,6,15空间向量的数量积的运算7,8,9,12空间向量的综合应用5,10,11,13,141.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点.若AB→=a,AD→=b,AA1A.-12a+12b+c B.12C.-12a-12b+c D.12解析:由题意,向量BM→=BB1→+12B1D1→=BB2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,43A.6B.83C.32解析:设a=λb(λ∈R),则3=解得λ=-32,m=-23.如果向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,2),c=(1,-1,m)共面,则实数m的值是(B)A.-1B.1C.-5D.5解析:设a=xb+yc(x,y∈R),则(2,-1,3)=(-x+y,4x-y,2x+my),所以-x+y=2,4.已知O(0,0,0),A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC→=2A.(2,-143,103) B.(-2,143C.(2,-143,-103) D.(-2,-143解析:因为AB→=(-3,7,-5),所以OC→=23AB→=2所以点C的坐标是(-2,143,-105.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是(CD)A.AB→与ACB.与AB→C.AB→与BC→D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)解析:AB→=(2,1,0),AC→=(-1,2,1),不存在实数λ,使得AB→所以AB→与AC→不是共线向量,所以A错误;因为AB→=(2,1,0),所以与AB→共线的单位向量为(255,55,0)或(-255,-55,0),所以B错误;向量AB→因为AB→=(2,1,0),AC所以n·AB令x=1,则n=(1,-2,5),所以D正确.6.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA→=23PB→-xPC→解析:PA→=23PB→-xPC→+16BD→=23PB→-xPC→+由题意得12-x+16=1,所以x=-答案:-17.在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N→=λNC→,且AB解析:如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,MC→,MAMP→所以A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(12,0,0),C1设N(12因为C1N→=λNC→,所以N(所以AB1→=(-12,-32,2),MN又因为AB1⊥MN,所以AB1→·MN→=0,所以-所以λ=15.答案:158.已知平面α={P|n·P0P→=0},其中点P0是平面α内的一定点,n是平面α的一个法向量,若P0的坐标为(2,3,4),n=(1,1,1),写出一个平面α内点(不同于点P0解析:设平面α内不同于点P0的点的坐标为P(x,y,z),则P0所以n·P0所以x+y+z=9,故可以取点P为(1,3,5)或(4,3,2)或(-2,3,8)等,答案不唯一.答案:(1,3,5)(答案不唯一)9.(2022·江苏南京模拟)已知a=(2,-1,3),b=(1,2,2).(1)求(a+b)·(2a-b)的值;(2)当(ka-b)⊥(a+kb)时,求实数k的值.解:(1)因为a=(2,-1,3),b=(1,2,2),故a+b=(3,1,5),2a-b=(4,-2,6)-(1,2,2)=(3,-4,4),故(a+b)·(2a-b)=3×3-1×4+5×4=25.(2)a2=22+(-1)2+32=4+1+9=14,b2=12+22+22=9,a·b=2×1-1×2+3×2=6,因为(ka-b)⊥(a+kb),所以(ka-b)·(a+kb)=0,即ka2+(k2-1)a·b-kb2=0,故14k+6(k2-1)-9k=0,即(2k+3)(3k-2)=0,故k=-32或k=210.(多选题)给出下列命题,其中为假命题的是(AD)则l∥αB.已知n为平面α的一个法向量,m为直线l的一个方向向量,若<n,m>=2π3,则l与α所成的角为C.若两个不同的平面α,β的法向量分别为u,v,且u=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),则α∥βD.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc∠CAD=2π3,则∠DAB=π3,所以∠ADB=所成的角为π6,故B正确;对于C,因为u=-12v=-总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc,故D错误.11.如图,在四棱台ABCDA′B′C′D′中,AA′=3,∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°,则|AC'→-(xAB→+yAD解析:由平面向量基本定理有AM→=xAB→+yAD→(x,y∈R),则点M为平面ABCD内任一点,|AC'→-(xAB→+yAD→)|=|AC'→∠BAA′=∠DAA′=60°,AA′=3,所以AH为∠BAD的平分线,AN=32,在Rt△AHN中,AH=32cos30°=3,在Rt△AHA′中,A′H=AA'2所以|AC'→-(xAB→+yAD答案:612.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,则当QA→·QB→取得最小值时,Q点的坐标为解析:因为A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ→=λOP则Q(λ,λ,2λ),QA→=(1-λ,2-λ,3-2λ