高考数学复习第二章　第三节　二次函数与一元二次方程、不等式（导学案）

第三节二次函数与一元二次方程、不等式1.从函数观点看一元二次方程:会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式:(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.点睛二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系(其中a>0)判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c的图象方程ax2+bx+c=0的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-b没有实数根ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1,或x>x2}xR

ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀点睛1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论,防止取反.2.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m,n),则x=m与x=n为方程ax2+bx+c=0的两个根.4.分式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(5.简单的绝对值不等式(1)|x|>a(a>0)的解为(-∞,-a)∪(a,+∞);(2)|x|<a(a>0)的解为(-a,a).1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足a>02.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足a<03.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足a<04.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足a>0教材改编结论应用易错易混1,24,53,61.(教材变式)函数y=1-x2+1A.-∞,1 B.-1C.-1,0∪0,1解析：选C.由题意知,函数定义域满足1-x2≥0x3≠02.(教材提升)已知关于x的一元二次不等式ax2-3x+6>4的解集为x|x<1或x>b,则a+bA.4 B.3 C.6 D.5解析：选B.依题意关于x的一元二次不等式ax2-3x+2>0的解集为x|x<1所以a>01+b=3a1×b=23.(忽略二次项的符号)不等式-x2+3x+18<0的解集为 ()A.{xx>6或x<-3}B.xC.{xx>3或x<-6}D.x解析：选A.-x2+3x+18<0可化为x2-3x-18>0,即x-6x+3>0,即x所以不等式的解集为{xx>6或x<-3}.4.(结论1)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是 ()A.0<a<1 B.0<a<2C.0<a<12 D.a解析：选B.由“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”,可得-2a2-4a<0,解得:0<5.(结论3)不等式a-2x2+2a-2x-4≥0的解集为⌀,则实数a的取值范围是A.{a|a<-2或a≥2} B.aC.a-2<a≤2 解析：选C.因为不等式a-2x2+2a-2x-4≥0的解集为⌀,所以不等式a-2x当a-2=0,即a=2时,-4<0,符合题意.当a-2<0,即a<2时,Δ=2a-22+4×4×a综上,实数a的取值范围是a-6.(遗漏k=0的情况)已知对于任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立,则实数k的取值范围是 ()A.k>1 B.-1<k<1C.k<-1 D.k>-1解析：选A.当k=0时,-2x>0不恒成立;当k≠0时,k>0Δ=4综上,k>1.题型一解不等式角度1不含参数的一元二次不等式和分式不等式的解法[典例1](1)不等式x2x+7≥-3的解集为 (A.-∞,-3∪B.-C.-∞,-2∪D.-解析：选A.x2x+7≥-3可变形为2x2+7x+3≥0,令2x2+7x+3=0,得x1=-3,x2=-所以x≤-3或x≥-12,即不等式的解集为-∞,-3∪(2)(2023·邯郸模拟)“0<x<1”是“x+1x+1>1”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件解析：选A.因为x+1x+1>1⇒x-1+1x+1>0⇒x2x所以“0<x<1”是“x+1x+1 ——自主归纳,老师指导1.解一元二次不等式的步骤(1)将二次项系数化为正数;(2)计算判别式;(3)求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有根;(4)根据解的情况,结合不等号的方向画图;(5)写出不等式的解集.2.分式不等式的解题步骤(1)移项:化为一边为0的不等式;(2)通分化成f(x)(3)把上述分式化成f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0的形式;(4)利用解一元二次不等式的方法求解.角度2含参数的一元二次不等式的解法[典例2](1)(2022·营口模拟)已知关于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R).①若ax2+3x+2>0的解集为xb<x<1,求实数②求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集.解析：①因为ax2+3x+2>0的解集为xb<x<1,所以方程ax2+3x+2=0的两个根分别为b+1=-3②ax2-3x+2>ax-1⇒ax2-(a+3)x+3>0⇒(ax-3)(x-1)>0,当a=0时,不等式为x-1<0,不等式的解集为xx当a<0时,不等式化为(x-3a)(x-1)<0,不等式的解集为x当a>0时,方程ax2-3x+2=ax-1的两个根分别为3a,1当a=3时,两根相等,故不等式的解集为{x|x≠1};当a>3时,3ax|当0<a<3时,3ax|综上,当a<0时,不等式的解集为x3当a=0,不等式的解集为xx当0<a<3时,不等式的解集为x|当a=3时,不等式的解集为{x|x≠1};当a>3时,不等式的解集为x|(2)(2023·福州模拟)已知a∈R,函数f(x)=2x2+ax-a,解关于x的不等式f(x)≥x2.解析：不等式f(x)≥x2即x2+ax-a≥0,则Δ=a2+4a.①当Δ≤0即a∈[-4,0]时,x2+ax-a≥0在R上恒成立.故不等式x2+ax-a≥0的解集为R.②当Δ>0即a>0或a<-4时,x2+ax-a=0的两根分别为x1=-a-a2+4a故不等式x2+ax-a≥0的解集为xx<综上,①当a∈[-4,0]时,不等式f(x)≥x2的解集为R;②当a>0或a<-4时,不等式f(x)≥x2的解集为xx求解含有参数的不等式的解题策略1.若二次项系数为常数,则需先将系数化为正数,再考虑分解因式,对两个根的大小进行讨论;若不易分解因式,可考虑对判别式进行讨论.2.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数为0的情况,再考虑系数不为0的情况.若能分解因式,需对两个根的大小进行讨论;若不易分解因式,可考虑对判别式进行讨论.角度3一元二次不等式与一元二次方程的关系[典例3](1)(2022·哈尔滨模拟)已知不等式ax2+bx-2<0的解集为x-1<x<2,则不等式ax2+b-1A.R B.∅ C.x-1<x<3 解析：选D.因为不等式ax2+bx-2<0的解集为x-1<x<2,故a>0,且x=-1与x=2为方程ax2+bx-2=0的两根.故-ba=-1+2-2a=-1×2,解得b=-1a(2)(多选题)(2023·华中师大附中模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为xm<x<n,其中n>mA.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集为xD.cx2+bx+a>0的解集为xx<解析：选ABC.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为xm<x因为n>m>0,令fx=ax2+bx+c,所以-b2a>0,即由上所述,易知f0<0,c<0,由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=-ba,mn=c则1n·1m=ac,1n+1m即1n,1m为方程cx2+bx+则不等式cx2+bx+a>0的解集为x1n ——自主完善,老师指导一元二次不等式与方程的关系解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.1.不等式x+10(x解析：由x+10(x-2)2>1,得x+10>(x-2)2=x2-4x+4,且x≠2,整理得,x2-5x-6<0,x-6·x答案:-1,2.(2023·广州模拟)已知a,b,c∈R,关于x的不等式bx2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>c}.(1)求b,c的值;(2)解关于x的不等式ax2-ac+bx+bc解析：(1)因为不等式bx2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>c},所以x1=1与x2=c是方程bx2-3x+2=0的两个实数根,由根与系数的关系,得1+c=3b,(2)由(1)知不等式ax2-ac+bx+ax2-2a+1x+2<0,即ax①当a=0时,易得不等式的解集为xx②当a<0时,不等式可化为x-1a③当a>0时,不等式可化为x-当1a>2,即0<a<1x2<当1a=2,即a=12时,不等式的解集为当1a<2,即a>1x1【加练备选】解下列不等式:(1)x4-x2-2≥0;(2)x2+10>-6x;(3)-12x2+3x-5>0解析：(1)原不等式因式分解得(x2+1)(x2-2)≥0,因为x2+1>0,所以x2-2≥0,解得x≤-2或x≥2,因此,原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥2};(2)因为x2+6x+10=(x+3)2+1>0恒成立,故解集为R;(3)由-12x2+3x-5>0,整理得:x2-6x+10<0,Δ=(-6)2故不等式在实数范围内无解,不等式解集为∅.题型二一元二次不等式恒成立问题角度1在R上的恒成立问题[典例4](1)(2022·宣城模拟)关于x的一元二次不等式mx2-2mx-1≤0恒成立,则实数m的取值范围为 ()A.-∞,0 B.C.-1,0 解析：选C.因为不等式为一元二次不等式,所以m≠0,若一元二次不等式mx2-2mx-1≤0恒成立,则m<0Δ=4m(2)(2023·常州模拟)已知不等式kx2+kx+6x2+解析：因为x2+x+2=x+12所以原不等式等价于kx2+kx+6>2x2+2x+4,即k-2x2+k-当k=2时,2>0,显然成立;当k≠2时,k满足不等式组k解得2<k<10.综上所述,实数k的取值范围是2,答案:[2,10)一元二次不等式在R上恒成立的条件1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c>0或(2)a>02.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0角度2在给定区间上的恒成立问题[典例5]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+2,且f(x)的图象经过点A(1,-6).(1)求f(x)的解析式;(2)若x∈[-2,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求实数m的取值范围.解析：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c.因为f(x+1)-f(x)=2x+2,所以2ax+a+b=2x+2,得a=1,b=1.因为fx的图象经过点A1,-所以f1=1+1+c=-6,即c=-8.故f(x)=x2+x-8.(2)设g(x)=f(x)-mx=x2+(1-m)x-8.因为当x∈-2,2时,不等式fx所以g(-2)-1≤m≤3.故m的取值范围是-1 ——自主归纳,老师指导一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0;若f(x)<0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最大值小于0.(2)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)max或a<f(x)min.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.1.若函数y=ax2+2ax+1的图象恒在直线y=-2上方,则实数a的取值范围为 ()A.0,3 C.3,+∞ D.解析：选B.因为函数y=ax2+2ax+1的图象恒在直线y=-2上方,则∀x∈R,ax2+2ax+1>-2成立,即ax2+2ax+3>0恒成立,当a=0时,3>0恒成立,则a=0,当a≠0时,必有a>0且Δ=(2a)2-4a·3<0,解得0<a<3,综上得0≤a<3,所以实数a的取值范围为0,2.(2023·泉州模拟)若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为 ()A.0 B.-22 C.-22-2 D.-5解析：选D.记f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+ax-1+1≥0对一切x则-a2或-a2≥2f(2)=a+5≥03.已知对任意m∈1,3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 (A.6B.-∞,1-C.-∞,D.1解析：选D.对任意m∈1,3,不等式mx2-mx-1<-即对任意m∈1,3,m所以对任意m∈1,3,x2-x+1<所以对任意m∈1,3,x2-x+1<所以x2-x+1<2,解得1-52<x故实数x的取值范围是1-【加练备选】已知fx=x2+2-ax+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是解析：使f(x)≥0恒成立,则Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,化简整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,由于存在常数a,使f(x)≥0恒成立,可知4b≥(a因此4b≥-60,解得b≥-15.答案:[-15,+∞)题型三一元二次不等式有解问题[典例6](2023·合肥模拟)若关于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,则a的取值范围是 (A.-∞,8 B.-∞,8 C.-∞,27解析：选A.方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在2,等价于不等式a<x+7x在2因为函数f(x)=x+7x在(2,7)上单调递减,在(7又由f(2)=2+72=112,f7=7+所以fxmax<f7=8,所以a<8,即实数a的取值范围是-∞,方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a ——自主完善,老师指导一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max(注意不等号方向是否改变).(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.(4)最后一定要注意检验区间的开闭.1.已知命题“∃x∈R,4x2+a-2x+14≤0”是真命题,则实数a的取值范围为 A.-∞,0 B.C.[4,+∞) D.-∞,0∪解析：选D.由题意,命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是真命题,故Δ=(a-2)2-4×4×14=a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.则实数a的取值范围是-∞,02.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在区间2,5内有解,则实数a的取值范围是 (A.-2,+∞C.6,+∞ 解析：选D.设f(x)=x2-6x+11,开口向上,对称轴为直线x=3,所以要使不等式x2-6x+11-a<0在区间(2,5)内有解,只要a>f(x)min即可,即a>f(3)=2,得a>2,所以实数a的取值范围为(2,+∞).【加练备选】已知关于x的不等式mx2-6x+3m<0在0,2上有解,则实数m的取值范围是(A.-∞,3 B.(-∞,12C.3,+∞ D.(解析：选A.由题意得,mx2-6x+3m<0,x∈0,2,即m<故问题转化为m<6xx2设g(x)=6xx2+3,则g(x)=6xx2+3=6x+3x,x∈0,2,x+3x≥23,当且仅当x=3题型四一元二次不等式的实际应用[典例7]汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰