高考数学第一轮复习复习第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积（讲义）VIP

第七章立体几何与空间向量(必修第二册+选择性必修第一册)第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积[课程标准要求]1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式.3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点—轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环—2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r′+r)l4.空间几何体的表面积与体积公式几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=13S底·台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13h(S上+S下+S球S=4πR2V=43πR圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.V圆柱=S底·hV圆台=13h(S上+S下+S上S下)V圆锥=13S1.特殊的四棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系S直观图=24S原图形1.已知某圆柱的高为10,底面周长为8π,则该圆柱的体积为(C)A.640π B.250πC.160π D.120π解析:某圆柱的高为10,底面周长为8π,因为2πr=8π,所以r=4,故圆柱的体积为16π×10=160π.2.已知三个球的体积之比为1∶27∶64,则它们的表面积之比为(B)A.1∶3∶4 B.1∶9∶16C.2∶3∶4 D.1∶27∶64解析:由题意,设三个球的半径分别为r1,r2,r3,则43πr13∶43πr23∶43πr故表面积之比4πr12∶4πr23.(必修第二册P109例2改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是(D)A.正三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.4.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为.

解析:设该圆锥的高为h,则由已知条件可得13×π×62×h=30π,解得h=52,则圆锥的母线长为ℎ2+62=254+36答案:39π5.(2020·新高考Ⅱ卷改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为.

解析:因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,所以VA−NMD1=VD1−AMN=13答案:1空间几何体的结构特征、直观图1.(多选题)下列命题正确的是(CD)A.长方体是直四棱柱,直四棱柱是长方体B.有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形解析:直四棱柱底面可以为任意四边形,所以直四棱柱不一定是长方体,故A错误;如图所示,上下底面平行,各个面都是平行四边形,此几何体不是棱柱,故B错误;棱锥侧面全为三角形,有一个面是平行四边形,则此面为底面,所以该棱锥为四棱锥,故C正确;正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,故D正确.2.给出下列四个命题:①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为(填序号).

解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错误;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错误;对于③,若底面不是矩形,则该四棱柱不是长方体,③错误;对于④,由线面垂直的判定定理,可知侧棱垂直于底面,故④正确.综上,命题①②③不正确.答案:①②③3.如图,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为.

解析:因为直观图面积为12·a2·sin60°=34a所以原图形面积为22×34a2=62a答案:62a(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.柱、锥、台体的表面积与体积简单几何体的表面积[例1](1)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周,则所得到的旋转体的表面积是()A.2π B.22πC.32π D.42π(2)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为()A.36+12π B.40+12πC.36+16π D.40+16π解析:(1)由题知该几何体为两个圆锥底对底组合在一起,其中圆锥母线长L=2,圆锥底面半径R=2,所以S=2×π×2×2=42π.故选D.(2)由题意可知几何体的表面积为4×2×4+2×2×2+4π+12×4π×(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.简单几何体的体积[例2](1)如图,在棱长为2的正方体中,以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体,则该正八面体的体积为()A.223 B.43 C.4(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3解析:(1)该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成,且正四棱锥的底面是边长为2的正方形,棱锥的高为1,所以该正八面体的体积为2×13×2×2×1=4(2)由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.不规则几何体的体积[例3](1)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为()A.13 B.C.1 D.4(2)在△ABC中,AB=2,BC=32,∠ABC=120°A.3π2 B.C.7π2 D.解析:(1)因为ED⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,所以ED⊥AD.因为在正方形ABCD中,AD⊥DC,而DC∩ED=D,DC⊂平面CDEF,ED⊂平面CDEF,所以AD⊥平面CDEF.连接EC,DF(图略),由题意知FC=ED2V四面体A−BEF=V多面体ABCDEF-因为VE−ABCD=ED·S正方形ABCD·13=2×2×2×13=83,VB−EFC=BC·S△EFC·13=2×所以V多面体ABCDEF=83+23=103.又VF−ABCD=FC·S正方形ABCD·13=1×2×2×13=43,VA−DEF=AD·S△DEF·13=2×2×2×1(2)依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,所以OA=3,所以旋转体的体积为π3·(3)2·(OC-OB)=3π求不规则几何体的体积当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.(1)利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).(2)利用“补”的方法把棱锥补成棱柱,把台体补成锥体,把三棱锥补成四棱锥,把三棱柱补成四棱柱,把不规则几何体补成规则几何体,补一个同样的几何体等.[针对训练]1.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙,若S甲S乙A.5 B.22C.10 D.5解析:法一因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合S甲S乙=2可知,甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆,所以2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,h1=l2-r12=所以V甲V乙=13π法二设两圆锥的母线长为l,甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,侧面展开图的圆心角分别为n1,n2,则由S甲S乙=πr1lπr2l=n1πl22πn2πl22π=2,得r1r2=n1n2=2.由题意知n1+n2=2π,所以n1=4π3,n2=2π3,所以2πr1=4π3l,2πr2=2.在正四棱锥P-ABCD中,AB=22,若正四棱锥P-ABCD的体积是8,则该四棱锥的侧面积是()A.22 B.222 C.422 D.822解析:如图,连接AC,BD,记AC∩BD=O,连接OP,则OP⊥平面ABCD.取BC的中点E,连接OE,PE.因为正四棱锥P-ABCD的体积是8,所以13AB2·OP=8因为OE=12AB=2,所以在直角三角形POE中,PE=OP2+O则△PBC的面积为12BC·PE=12×22×11=22,故该四棱锥的侧面积是4故选C.3.如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为30°,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18,则容器内液体的体积是()A.15π B.36π C.45π D.48π解析:如图所示,过M作容器壁的垂线,垂足为F,因为MN平行于地面,所以∠MNF=30°,由于M,N到容器底部的距离分别是12和18,所以NF=6,在直角三角形MFN中,tan∠MNF=MFNF=3所以MF=33NF=33×6=2即该圆柱的底面圆的直径为23,故半径为3,所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3,高为(12+18)的圆柱体体积的一半,所以液体体积V=12×π×(3)2×故选C.4.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为.

解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意,三棱锥E-ADG的高为EG,长度为12则AG=AE2-EG取AD的中点M,连接MG,则MG=22所以S△AGD=12×1×22=所以V多面体ABCDEF=VE−ADG+VF−BHC+V三棱柱AGD−BHC=2VE−ADG+V答案:2折叠与展开问题[例4]如图所示,圆台母线AB长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥,连接MB′,在圆台的轴截面中,因为Rt△OPA∽Rt△OQB,所以OAOA+AB所以OAOA+AB设∠BOB′=α,由扇形弧BB'的长与底面圆Q的周长相等,得2×10×π=OB·α,即20π=(20+20)·α,所以α=π2,所以在Rt△B′OM中,B′M=OM求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.[针对训练]如图所示,某圆锥的高为3,底面半径为1,O为底面圆心,OA,OB为底面半径,且∠AOB=2π3A.3 B.2-1 C.5 D.2+1解析:由题意,圆锥的侧面展开图是半圆,如图,A,B是底面圆周上的两点,∠AOB=2π3,所以在展开图中,∠APB=π3,母线长为3+1=2,M为母线PA的中点,所以PM=1,所以从M到B的最短路径的长是BM=4-[例1]正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3 B.32 C.1 D.解析:如图,由题意AD=3,VA−B1DC1=13·S△B1D[例2]已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.

解析:如图(1)和(2)的原图形和直观图所示.作E′F′⊥O′B′于点F′,因为OE=(2)2-1=1,由斜二测画法可知O′E′=12,E′F′=24答案:2[例3]现有一个橡皮泥制作的圆柱,其底面半径、高均为2,将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥,则该圆锥的侧面积为.

解析:设圆锥的底面圆半径为r,因为圆锥的高为h=2,由题意13πr2·2=π×22×2,解得r=23所以圆锥的母线长l=r2+ℎ所以圆锥侧面积为S侧=πrl=π×23×4=83π.答案:83π[例4]为了让学生更直观地认识棱锥的几何特征,某教师计划制作一个正四棱锥教学模型.现有一个无盖的长方体硬纸盒,其底面是边长为20cm的正方形,高为10cm,将其侧棱剪开,得到展开图,如图1所示.P1,P2,P3,P4分别是所在边的中点,剪去阴影部分,再沿虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四个点重合于点P,正好形成一个正四棱锥P-ABCD,如图2所示,设AB=x(单位:cm).(1)若x=10,求正四棱锥P-ABCD的表面积;(2)当x取何值时,正四棱锥P-ABCD的体积最大?解:在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于点O,设BC的中点为E,连接PE,EO,PO.(1)因为AB=10,所以OE=5,PE=15,所以正四棱锥P-ABCD的表面积为S表=S四边形ABCD+4S△PBC=10×10+4×12×10×所以正四棱锥P-ABCD的表面积为400cm2.(2)因为AB=x,所以OE=x2,PE=20-x所以PO=(20-x2所以正四棱锥P-ABCD的体积为V=13x22520-令t(x)=x4(20-x)(0<x<20),则t′(x)=5x3(16-x),当0<x<16时,t′(x)>0,t(x)单调递增,当16<x<20时,t′(x)<0,t(x)单调递减,所以t(x)max=t(16),所以当x=16时,正四棱锥P-ABCD的体积最大.[选题明细表]知识点、方法题号空间几何体的结构特征、直观图1,2,10空间几何体的表面积与体积3,4,5,7,8,9折叠与展开问题6,12综合问题11,13,14,151.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是(A)A.0 B.1 C.2 D.3解析:①不一定,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图所示;③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是(C)A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形解析:在原图形OABC中,应有OACB,所以四边形OABC为平行四边形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2cm,所以OC=OD2+C3.《算术书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942lA.227 B.258 C.15750解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl2h.由112π4.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4π,则该圆锥的表面积为(B)A.2πB.(4+25)πC.(3+5)πD.8π+5解析:圆锥的侧面展开图中,扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4π,所以扇形的面积为S扇形=12×5×4π=25设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=4π,解得r=2,所以底面圆的面积为S底面圆=π×22=4π.所以该圆锥的表面积为S=25π+4π=(4+25)π.5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的(A)A.316 B.916 C.38解析:如图所示的是过球心的截面图,r=R2-14R2=326.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=4,AB=1.一只蚂蚁从A点出发,沿每个侧面爬到A1,路线为A→M→N→A1,则蚂蚁爬行的最短路程是.

解析:将三棱柱的侧面展开得如图,所以蚂蚁爬行的最短路程是线段AA1=32答案:57.某公园设置了一些石凳供大家休息,每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的,如图所示.如果一张石凳的体积是0.18m3,那么原正方体石料的体积是m3.

解析:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3,每一个截去的四面体的体积为13×12·a2·a2·a2=a348,由题意可知a答案:0.2168.已知圆锥同时满足条件:①侧面展开图为半圆;②底面半径为正整数,请写出一个这样的圆锥的体积V=.

解析:设底面半径r=1,母线长为l,由展开图为半圆,可知2π=l·π,所以l=2,所以圆锥的高h=l2-r2=3,则体积V=13πr答案:3π9.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题意知三棱柱ABCNDM的体积为V1=12×8×6×3=72.四棱锥DMNEF的体积为V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×10.(多选题)如图所示的是水平放置的三角形直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点,且D′C′<D′B′,又A′D′∥y′轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中(AD)A.最长的是AB B.最长的是ACC.最短的是AC D.最短的是AD解析:由题意得到原△ABC的平面图如图所示.其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD.11.(多选题)(2022·广东广州三模)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,则下列说法正确的是(BCD)A.该圆台的高为1cmB.该圆台轴截面面积为33cm2C.该圆台的体积为73πD.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5cm解析:如图(1)所示,作BE⊥CD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,则BE=22-圆台的轴截面面积为12×(2+4)×3=33cm2,B正确;圆台的体积为13×3×(π+4π+π·4π)=将圆台一半侧面展开,如图(2)阴影部分所示,设P为AD的中点,由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,则OC=4,∠COD=4π24=π2,又OP=OA+AD即点C到AD的中点所经过的最短路程为5cm,D正确.12.(2022·河南郑州二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,P是线段BC1上的一动点,则A1P+PC的最小值为.

解析:如图,连接A1B,A1C1,将△BCC1沿BC1翻折到与△A1BC1在同一个平面,如图所示.已知△A1BC1为等边三角形,△BCC1为等腰三角形,两个三角形有公共边BC1,则当P是BC1的中点时,A1,P,C三点共线,