2024年中考数学压轴题解题思路-坐标系中的辅助线

2024年中考数学压轴题解题思路--坐标系中的辅助线(1)辅助线：向坐标轴作垂线，坐标轴中的直角是解题的关键：(2)证明构造出的直角三角形相似或全等；(3)三角形相似或全等，则利用边成比例求解，全等则对应边相等.往往是和坐标轴垂直的边.如(1)设点的坐标：用未知数表示点的坐标(注意从较小的点开始比较容易);(2)将题目中需要的条件(如三角形的边)用含未知数的代数式表示；(3)列方程.根据已知条件，将点的坐标代入解析式注：这些思路不是完全固定不变的，同学们应该根据题目条件灵活组合运用.另外，这里总结出设点的坐标(或者说设未知数)→根据题目条件列式得出二次函数(或者代入函数解析式)→根据二次函数性质求最值.典例半轴上，点D(-2,3),AD=5,若反比例函数的图象经过点B,则k的值为().B.8【思路分析】向坐标轴作垂线—证明构造出的直角三角形全等或相似一三角形相似，利用边成比例求解.APO∽△BAF.“△APO∽△BAF.根据对应边成比例，求出BF,得出B的坐标，带入反比例函数解析式得出答案. .. ”∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,∠CPD=∠ .∠DCP=∠DAE,∴∠CBH=∠DAE, .∠AED=∠BHC=90°.OE=2,∴0A=2,∴AF=2, 1D.【典型题2】★★★如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是线段AB大值是()D.0【思路分析】向坐标轴作垂线→证明构造出的直角三角形相似——利用边成比例求解→设未知数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值 【答案解析】解：如图，连接AC,则四边形ABOC是矩形，..∴∠A=∠ABO=90°又*MN⊥MC,∴∠CMN=90° .AMC～NBM,∴设BN=y,AM=x.则MB=3-x,0N=2-y, 注：“设未知数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值”是常规解题步骤，同学们一 =135°,S△ABD=2.若反比例函数A.2√2【思路分析】作辅助线.作AM⊥y轴于M,延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N.证明△AOM≌△CBD,得到OM=BD,用代数式表示出A、D点的坐标→根据反比例函数解析列式求解. ∴DE=AE=2√2∴D的纵坐标为3√2设A(m,√2),则D(m-2√23√2)解得m=3√2,:k=√2m=6.故选D.【典型题4】★人如图，点E,F在函数的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点【思路分析】向坐标轴作垂线→证明△BPE∽△BHF,得到等量关系，用代数式表示出E、F点的坐标→根据面积关系列出等式求解. 【答案解析】作EP⊥y轴于P,EC⊥x轴于C,FD⊥x轴于D,FH⊥y轴于H,如图所示： 设E点坐标为(t,2/(),则F点的坐标 解：(1)如图，过点A’作A’E⊥y轴于点E,过点B’作B'F⊥x轴于点F,则∠A'ED'=90°”四边形A’B’C’D’为正方形， 同理△B’FC’≌△C’OD’即点A’(a,a+b),点B’(a+b,b).”点A’、B’在反比例函(2)设直线A'B’解析式为y=k₁x+b₁,直线C'D'解析式为y=k₂x+b₂∵点A’(1,2),点B’(2,1),点C’(1,0),点D’(0,1)∴直线A’B’解析式为γ=-x+3,直线C’D'解析式为y=-x+1.【典型题6】★★★直角坐标系中，过原点0及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连接OB,点D出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒.图①图①(3)连接AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，求 ,代入直线AD的解析式可得6求出t的值即可. .上.上 : ∵∠EDF=90²值);①当点E到达中点之前时，如图所示，NE=3-t,·⊥·⊥②当点E越过中点之后，如图所示，NE=t-3. 4 4综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，t的值为【典型题7】如图，双曲线【思路分析】设D点的坐标为(2m,2n)→用含有m、n的代数式表示出BE和BF→根据面积公式列式求解. , n=【典型题8】★★★过双曲线上的动点A作AB⊥x轴于点B,P是直线AB上的点，且满足AP=2AB,过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C,如果△APC的面积为8,则k的值是 【思路分析】此题分两种情况：①点P在B点的下方，②点P在点A的上方.设出A点的坐标，进而得出C,P两点的坐标→用代数式表示出PC和AP的长度→根据△APC的面积为8列出关于k的等式，求解得出k的值. ①点P在B点的下方，如图，设A(a,k/a)∵过点A作AB⊥x轴于点B,P是直线AB上的点，且满足AP=2AB, ,“过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C,②点P在点A的上方，如图，设∵过点A作AB⊥x轴于点B,P是直线AB上的点，且满足AP=2AB,∴过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C,,2【典型题9】如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，□ABCD的边AB在x轴上，顶点D在·【思路分析】设出B点的坐标，进而得出A,C两点的坐标→用代数式表示出C点的坐标→根据k=C点的横坐标×C点的纵坐标，列出关于k的等式，求解得出k的值. ∴CD=AB,则C点的横坐标=AB=3m.*S△BEF=1,BE=m,∴F的纵坐标为²/m,由平行四边形可知，△CDF∽△BEF,·CD=3BE,∴相似比为3:1,可得C点的纵坐标=F点的纵则点C(3【典型题10】★★★★如图，已知抛物线γ=a(x+2)(x-6)与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.(1)求抛物线的解析式①当点P在线段MN(含端点)上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围.【思路分析】(2)①“设点的坐标→根据题目条件列式得出二次函数→求最值.抛物线的对称轴②P到线段CQ的距离即Rt△PCQ底边的高，利用面积法可解.③列出设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式，联立抛物线方程求解.+X+3;PC²=2²+(m-3)²,PO²=m²+(n-2)²,CO²=3²+n²,∵PO⊥PC∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得 +X+3;PC²=2²+(m-3)²,PO²=m²+(n-2)²,CO²=3²+n²,∵PO⊥PC∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得 )到线段CQ距离为2.③由②可知：当n取最大值4时，Q(4,0),∴线段CQ的解析式,设线段CQ向上平1=(4+2)(4-6)=3,将Q(4,3)A=2,得CO=3,∴C(0,3),将C点坐标代入y=a(x+2)(x-6);抛物线解析式头X+2【典型题11】如图，抛物线y=-x²+bx+c和直线γ=x+1交于A,B两点，点A在x轴上，点发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积：②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上备用图【思路分析】(1)利用待定系数法即可；(2)按照“作垂线，证相似，成比例”的思路和步骤解题.①设点的坐标→根据题目条件列式得出二次函数→求最值：过点P作PE⊥x轴于点E,分别用t表示PE、PQ、EQ,用△PQE∽△QNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面积与t的函数关系式，问题②设点的坐标→根据题目条件代入函数解析式→求解.由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均值的数量关系，表示点M坐标，将坐标点带入抛物线解析式，求出t值.注意分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况. 【答案解析】解：(1)由已知，B点横坐标为3.*A、B在γ=x+1上∴A(-1,0),B(3,4),把A(-10),B(3,4)代入y=-x²+bx+c (2)①:如图，过点P作PE⊥x轴于点E. 直线γ=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒√2个单位长度，∴t秒时点E坐标为(-1+t,0).Q点坐标为(3-2t.0) 当点Q