1.4.2 充要条件-高一数学同步备课系列导学案（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页1.4.2充要条件导学案【学习目标】1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)【自主学习】一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件.p⇒qq⇒pp⇔q充要二、如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件.充要思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．④若peq\o(⇒,/)q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若peq\o(⇒,/)q，且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件．三．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有，即p是s的充要条件．p⇔s【当堂达标基础练】1.下列各组命题中，哪些p是充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).解:（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qeq\o(⇒,/)p，所以p不是q的充要条件。（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p⇔q，所以p是q的充要条件。（3）因为当xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以peq\o(⇒,/)q,所以p不是q的充要条件。（4）若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件．2.已知：O的半径为r，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与O相切的充要条件.证明：设p:d=r，q:直线l与O相切.（1）充分性():如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切.（2）必要性():若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与O相切的充要条件.3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.充分性:AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.必要性:梯形ABCD为等腰梯形AC=BD【当堂达标提升练】1.已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（

）A．，B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C．，D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等【答案】B【详解】对于A选项，，解得：或，所以，但，故为的充分不必要条件，故A错误；B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，例如：中，，斜边，中，，则斜边，故为的必要不充分条件．故选：B．2.已知实数a，b，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】为充要条件．3.（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（）A．B．p：，q：C．p：，q：D．p：，q：【答案】BD【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.[解析](1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇒q，p是q的必要不充分条件；(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔xy≥0，所以p是q的充要条件；(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq\f(1,4)，所以p⇒q但q⇒p，p是q的充分不必要条件；(4)，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p⇒q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．5.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.[解析](1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】－2≤a≤2【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要条件，∴，即AB，可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.【当堂达标素养练】1.已知，．(1)是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【详解】（1）∵∴要使是的充分条件，需使，即，解得，

∴存在实数，使是的充分条件．（2）要使是的必要条件，需使．当时，，解得，满足题意；.当时，，解得，要使，则有，解得，∴，

综上得，当实数时，是的必要条件．2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足；若方程有两个负的实根，则必须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤13.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.②③，并注意到，得．④将④代入③，得⑤即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．4.求有关的方程（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：。（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：5.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0即有4+b>2a>－(4+b)又|b|＜44+b>02|a|＜4+b(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜26.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．【证明】①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1-a,所以a3=a3+1-3a+3a②必要性：因为a3+b3+ab-所以a2-ab+b2a+b-1=0，所以a+b-1=0，即a+b综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．7.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.【证明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.8.求关于x的方程ax2[解析]①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq\f(1,2)，符合要求．②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(2,a)，x1x2＝eq\f(1,a).(Ⅰ)方程ax2+2x+1=0有一负根一正根的充要条件为a≤1(Ⅱ)方程ax2+2x+1=0综上所述，方程ax29.已知方程x2+2k-1x+k【解析】方程x2+2k-1x+k2=0，有