1.4.1充分条件与必要条件（4种题型分类基础练+能力提升练）高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页1.4.1充分条件与必要条件（4种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】一、命题的概念一、单选题1.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【分析】根据命题的定义进行判断.【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．故选：B2.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【答案】D【详解】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，3.下列语句是命题的是（

）A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树C．求证： D．3比5大【答案】D【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，4.判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．（3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．（4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．二、多选题5．(多选)下列语句是命题的是（

）A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗?【答案】ABC【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；对于B，，为真，所以B是命题；对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.二、判断命题的真假一、单选题6．下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程的判别式大于0;④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程的判别式为，故正确，对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，,故正确;7．下列命题中，是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，二、填空题8．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.三、充分条件的判定一、单选题9．=的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；二、多选题10．若是的充分不必要条件，则实数a可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【详解】若是的充分不必要条件，则.三、解答题11．已知集合，，.(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，所以，解得，.（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.四、必要条件的判定一、单选题12．“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：关于的不等式的解集为R，则，解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.二、多选题13．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.三、解答题14．已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.【详解】必要性：对于x，y∈R，若x2+y2=0，则x=0，y=0，即xy=0，故xy=0是x2+y2=0的必要条件.充分性：对于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，故xy=0不是x2+y2=0的充分条件.综上所述，对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.【能力提升】一、单选题1．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解.【详解】若，则同号，所以成立，充分性成立；若成立，两边同时平方可得：，所以，则，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：.2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，因为，，，所以，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.3．（2022秋·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系.【详解】四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，若四边形ABCD为菱形，则；若，则四边形ABCD不一定为菱形.则“四边形ABCD为菱形”是“”的充分不必要条件故选：A4．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）设x∈R，则“x＜2”是“”成立的什么条件（

）A．充分不必要 B．既不充分也不必要C．充要 D．必要不充分【答案】D【分析】根据不等式解法和充分必要条件的判定即可求解.【详解】①若“x＜2”存在x为负数的情况，此时为负数，所以不满足，故前面推导不出后面的结果，②若，则，所以能够推出x＜2，所以“x＜2”是“”成立的必要不充分条件.故选：D.二、多选题5．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（

）A．是的必要不充分条件B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件C．是的充分不必要条件D．的充要条件是【答案】BD【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；选项D，必要性：，所以，即，所以；充分性：，则，该选项正确.故选：BD.6．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．【详解】解：因为集合或，当时，，解得，此时，当时，，解得，若，则，解得，又，则，则的充要条件为，所以的必要不充分条件可能是，，故选：AB．7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，命题“，或”为真命题，则或，所以或或，显然，B，D选项中的区间为的子集．故选：BD．三、填空题8．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________【答案】【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.【详解】是的必要不充分条件,,,实数的取值范围是,故答案为：.9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是___________.【答案】【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可.【详解】由方程有实数根可得，即，为真命题，即为假命题，所以，根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：10．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据“或”是“”的必要不充分条件，得到不等式组，解出即可．【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，则是或的真子集，或，解得：或，故答案为：．四、解答题11．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.【详解】（1）当时，，而，所以，则或.（2）选①：因为，所以，当时，则，即，满足，则；当时，，由得，解得；综上：或，即实数的取值范围为；选②：因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，则，即，满足题意，则；当时，，则，且不能同时取等号，解得；综上：或，即实数的取值范围为；选③：因为，所以当时，则，即，满足，则；当时，，由得或，解得或，又，所以或；综上：或，实数的取值范围为.12．（2022秋·广东广州·高一广州市番禺区大龙中学校考阶段练习）已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）写出所有满足集合A的偶数.【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.【详解】（1），，，，假设，，则，且，∴，则或，显然均无整数解，∴，综上，有：，，；（2）集合，则恒有，∴，即一切奇数都属于A，又，而∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）集合，成立，①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，综上，所有满足集合A的偶数为．【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.13．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．【答案