4.2.3等差数列的前n项和公式-高二数学精讲高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

第第页4.2.3等差数列的前n项和公式【考点梳理】考点一：等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d考点二：等差数列前n项和的性质1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).考点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征1．公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．大重难点规律总结：(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)结合使用．(3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．②运用二次函数求最值．【题型归纳】题型一：等差数列前n项和的基本量计算1．（2023上·江苏镇江·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．78 B．100 C．116 D．120【答案】D【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出即可.【详解】设等差数列的公差为，，解得，则.故选：D.2．（2023上·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知为等差数列，若，则=（

）A．73 B．120 C．121 D．122【答案】B【分析】求得等差数列的首项和公差，从而求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，则，所以.故选：B3．（2023上·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值及取得最小值时的值．【答案】(1)(2)当时，最小，最小值为．【分析】（1）列方程求出，即可求数列的通项公式；（2）由（1）知，利用二次函数的性质可求的最小值及取得最小值时的值．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以．（2）由（1）知，又，所以当时，取最小，最小值为．题型二：等差数列片段和的性质4．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：A5．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（

）A．6 B．12 C．15 D．21【答案】C【分析】根据等差数列的前项和性质可得.【详解】设，则，，因为为等差数列，所以，，也成等差数列，则，解得．故选：C6．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案.【详解】由可得，故数列为等差数列，又，故也成等差数列，即，故选：D题型三：等差数列前n项和与n的比值问题7．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．8．（2022·贵州毕节·统考模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒【详解】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A﹒9．（2021上·河北邯郸·高三校考开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.【详解】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，，.故选：B.题型四：两个等差数列前n项和的比值问题10．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解.【详解】，令，则，所以，，所以，故选：B11．（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知和等差数列的性质，可得.【详解】由等差数列的性质，可得.故选：B12．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可【详解】设等差数列的公差为，则，因为，所以，因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，所以，故选：C题型五：等差数列前n项和的最值问题（二次函数、不等式）13．（2022·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】设公差为，则，可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性可得答案．【详解】设等差数列公差为，所以，所以可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得．故选：C．14．（2022下·北京·高二北京八中校考期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，（

）A．7 B．8 C．6或7 D．7或8【答案】C【分析】由，，得到公差，，再根据等差数列的求和公式以及二次函数知识可求出结果.【详解】设公差为，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，，所以，所以当或时，取得最小值.故选：C15．（2022·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得，利用二次函数的性质即得；或在时恒成立，即求；或数列从第8项开始后面的项都是正数即可，，即得.【详解】解法一：∵，∴，∴，∵数列在时为递增数列，∴，解得．解法二：数列在时为递增数列，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，∴．解法三：数列在时为递增数列只需满足数列从第8项开始，后面的项都是正数即可，∴，即．故选：D.题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项和与绝对值问题16．（2022上·上海徐汇·高二位育中学校考期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为，偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D17．（2023下·河南·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和，若，则（

）A．578 B．579C．580 D．581【答案】B【分析】由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.【详解】当时，当时，，经检验时，不成立.故得到.令，则，解得，且，当时，，当时，，故：，.故选：B.18．（2021·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为(

)A．68 B．67 C．65 D．56【答案】A【分析】首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解.【详解】当时，；当时，符合上式，所以，所以．故选：A.题型七：等差数列的简单应用19．（2023上·福建三明·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和和等差中项，求得通项公式求解.【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，由题意得：，解得，又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，所以，所以，所以，故选：B20．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（

）A．2023年11月12日 B．2023年11月13日C．2023年11月14日 D．2023年11月15日【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，他每天阅读《巴黎圣母院》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为，则由，且，得，所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日.故选：C21．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（

）A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺【答案】A【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，依题意，，即，解得，所以尺.故选：A题型八:等差数列求和的综合22．（2023上·安徽马鞍山·高二统考期中）已知等差数列，前项和为，又．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，因为，所以，所以，由，解得，又，所以；（2）设，的前项和为，得，，得当时，，即，所以当时，得，所以，则综上所述：23．（2023上·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求及其最小值．【答案】(1)(2)，最小值为【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；（2）根据等差数列求和公式计算可得.【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以．（2）由（1）可得，所以当或时，取得最小值，最小值为．24．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若＝，数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由求得，由求得公差，进而求得的通项公式；（2）用裂项求和得证得结论.【详解】（1）由得，又，∴公差，.（2）由（1）可得:.故成立.【双基达标】一、单选题25．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）设是等差数列的前项和，若，则（

）A．36 B．45 C．54 D．63【答案】C【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可.【详解】，所以，.故选：C.26．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【答案】D【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：，，进而判断选项即可.【详解】因为是等差数列，且，所以，，即，所以，，且，所以B错误，D正确；因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误；所以当时，取得最大值，所以C错误.故选：D27．（2023上·甘肃武威·高二校考期中）等差数列中，，则（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】利用等差数列片段和的性质求解即可.【详解】等差数列中，成等差数列，所以即.故选：B28．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值【详解】设等差数列的首项为，公差为，∵等差数列的前项和为，，∴，整理得，∴．故选：.29．（2023上·江苏盐城·高二校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式(2)若，求的前项和.【答案】(1).(2).【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解；（2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可.【详解】（1）由，当时，可得，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，则，令，可得，当时，可得，当时，可得，因为，所以，所以.注意：分类标准和，都可以.30．（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式.(2)求的最大值.【答案】(1)；(2)28.【分析】（1）利用公式进行求解.（2）利用给定的前项和，结合二次函数求出最值即得.【详解】（1）等差数列的前项和，当时，，当时，，显然满足上式，所以数列的通项公式是.（2）由于，而，于是当时，，所以的最大值是28.【高分突破】一、单选题31．（2023上·福建·高二统考期中）我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（

）492357816A．41 B．369 C．1476 D．3321【答案】B【分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方所有数字之和为，由于每列和对角线上的数字之和都相等，所以每列的数字之和为，故选：B.32．（2023上·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（

）A．100 B．105 C．90 D．95【答案】A【分析】等差数列前n项和公式的应用【详解】由，有，偶数项的和为100．故选：A33．（2023下·河南周口·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.【详解】因为，，所以．故选：D34．（2023下·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据已知求出通项公式，再应用裂项相消求和即可.【详解】由题意得则即，故．故选:C．35．（2023上·云南昆明·高二校考期末）《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（

）尺A．1 B．1.25 C．1.5 D．2【答案】C【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式求解，即可.【详解】由题意可知：十二个节气的日影子长为等差数列，设为，公差为d，其前n项和为，则，代入得：，解得：.故选：C.36．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的前项和为，，数列的前项和为，且，则的值为（

）A．30 B．39 C．51 D．66【答案】C【分析】先利用的关系，求出，得到，求和可得答案.【详解】当时，；当时，，，时，，所以，所以.故选：C.二、多选题37．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）设数列满足：，，则下列说法中，正确的有（

）A．是递增数列 B．是等差数列C． D．当时，【答案】BCD【分析】由题意可得，且，由基本不等式可判断A；由等差数列的定义可判断B；由等差数列的通项公式，求和公式，计算可判断C；由累乘法可判断D.【详解】由，可知，，且，所以，即，所以是递减数列，故A错误；由可得，所以，即，所以是公差为1的等差数列，故B正确；所以，，所以，故C正确；当时，，故D正确.故选：BCD38．（2023上·福建三明·高二校联考期中）已知数列的前项和，则（

）A．不是等差数列 B．C．数列是等差数列 D．【答案】BC【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列得定义和前项和公式逐一判断即可.【详解】由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，故B正确；因为，所以是等差数列，故A错误；对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确；对于D，令，则，所以当时，，当时，，故，故D错误.故选：BC.39．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列的前项和为，若，则（

）A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11【答案】ACD【分析】根据题意可知数列是首项为20，公差为的等差数列，可得，即可知A正确；易知，利用二次函数性质可得当最大时，的值为5或6，故B错误；由等差数列前项和公式可得，即，所以C正确；解不等式可得，所以可知D正确.【详解】由，得，所以数列是首项为20，公差为的等差数列，则，令，得，即，故A正确；易知利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误；由，所以，所以数列是等差数列，故C正确；令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确．故选：ACD．40．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）设是公差为的等差数列，其前项和存在最大值，且，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．集合中元素的个数为2015【答案】BCD【分析】根据等差数列的单调性可判断A，根据等差数列的求和公式可判断BC，由二次函数的对称性及等差数列的求和公式可判断D.【详解】因为存在最大值，所以，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；因为，所以C正确；因为，所以二次函数的对称轴为，且，所以根据二次函数的对称性知，所以该集合共有2015个元素，故D正确.故选：BCD41．（2023上·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）若为等差数列，为其前项的和，则下列说法中一定成立的是（

）A． B．存在，使得C．若，则 D．是等差数列【答案】BCD【分析】A，基本量的运算即可判断；B，通项公式进行变形可得；C，，结合等差数列的性质可得；D，应用等差数列的定义即可判断.【详解】因为为等差数列，为其前项的和，设首项为，公差为，对A，，，则当时，，故A错误；对B，，令，则，B正确；对C，若，设，则，则，两式相加得，，即，则，C正确；对D，，则设，则，是与无关的常数，则其为等差数列，D正确.故选：BCD.三、填空题42．（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若，，则．【答案】【分析】利用等差数列片断和的性质即可得解．【详解】因为是等差数列，所以是等差数列，则，即，解得．故答案为：．43．（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.【答案】/【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】等差数列，的前项和分别为，，且，所以.故答案为：44．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第项．【答案】6【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质求出最大项，的最小项得解.【详解】依题意，，，显然，且，等差数列的公差，即数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，且，所以数列中最大的项为，是第6项.故答案为：645．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则．【答案】【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.【详解】因为，，则，可得等差数列的前n项和，令，解得，且，当时，则；当时，；综上所述：.故答案为：.46．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和满足，那么以下4个结论中正确的有.（填所有正确结论的序号（1）公差

（2）不等式的最小正整数解为13（3）

（4）满足的n的个数为11个【答案】（1）（2）（3）【分析】由，可得最大，可判断数列从第七项开始变为负的，结合前n项和与等差数列的性质，即可判断.【详解】由等差数列的前n项和满足，即最大，所以，（1）正确；又因为最大，，（3）正确；，，所以的值当递增，当，递减，前12项和为正，当时为负，（2）正确；满足的n的个数为12个，（4）错误.故答案为：（1）（2）（3）四、解答题47．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校