泰州市重点中学2024届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

泰州市重点中学2024届数学高一下期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列中，，，则等于()A． B． C． D．2．已知圆C1:x2+y2+4y+3=0，圆C2:x2+A．210-3 B．210+33．己知，，若轴上方的点满足对任意，恒有成立，则点纵坐标的最小值为（）A． B． C．1 D．24．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．35．将正整数按第组含个数分组：那么所在的组数为（）A． B． C． D．6．已知直线与直线垂直，则（）A． B． C．或 D．或7．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是()A． B．C． D．8．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α∥β,mα,nβ，则m∥n B．若α⊥β，mα,则m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n D．若α∥β，mα，则m∥β10．已知向量，，，则实数的值为()A． B． C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为____________．12．函数，的递增区间为______.13．给出以下四个结论：①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；②若是等差数列的前n项和，则；③在中，若，则是等腰三角形；④已知，，且，则的最大值是2.其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.14．设数列的通项公式为，则_____．15．设当时，函数取得最大值，则______.16．若，则_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图,在直三棱柱中,,二面角为直角,为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角.18．如图，三棱柱的侧面是边长为2的菱形，，且.（1）求证：；（2）若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.19．设数列的首项，为常数，且（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围.20．已知等比数列的前项和为，，，且.（1）求的通项公式；（2）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.21．请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍，如图，在学校的东北力有一块地，其中两面是不能动的围墙，在边界内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.【详解】故选：A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.2、A【解析】

求出圆C1,C2的圆心坐标和半径，作出圆C1关于直线l的对称圆C1'，连结C1'C2，则C1'C2与直线l的交点即为P点，此时M点为P【详解】由圆C1:x可知圆C1圆心为0,-2圆C2圆心为3,-1圆C1关于直线l:y=x+1的对称圆为圆C连结C1'C2，交l于P，则此时M点为PC1'与圆C1'的交点关于直线l对称的点，N最小值为C1而C1∴PM+PN【点睛】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.3、D【解析】

由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P纵坐标的最小值即可.【详解】设，则，，故，恒成立，即恒成立，据此可得：，故，当且仅当时等号成立.据此可得的最小值为，则的最小值为.即点纵坐标的最小值为2.故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．5、B【解析】

观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=.当时，，所以所在的组数为63.故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6、D【解析】

由垂直，可得，即可求出的值.【详解】直线与直线垂直，，解得或.故选D.【点睛】对于直线：和直线：，①；②.7、D【解析】

根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．【详解】如图.依题意，设=λ，其中1<λ<，则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共线，于是有x=1-λ∈，即x的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．8、D【解析】试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．9、D【解析】

在中，与平行或异面；在中，与相交、平行或；在中，与相交、平行或异面；在中，由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，，则与平行或异面，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10、A【解析】

将向量的坐标代入中，利用坐标相等，即可得答案.【详解】∵，∴.故选：A.【点睛】本题考查向量相等的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由诱导公式可知，在中用余弦定理可得BD的长。【详解】由题得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和诱导公式，是基础题。12、[0，](开区间也行)【解析】

根据正弦函数的单调递增区间，以及题中条件，即可求出结果.【详解】由得：，又，所以函数，的递增区间为.故答案为【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.13、②④【解析】

①中满足题意的直线还有，②中根据等差数列前项和的特点，得到，③中根据同角三角函数关系进行化简计算，从而进行判断，④中根据基本不等式进行判断.【详解】①中过点，在两轴上的截距相等的直线还可以过原点，即两轴上的截距都为，即直线，所以错误；②中是等差数列的前n项和，根据等差数列前项和的特点，，是一个不含常数项的二次式，从而得到，即，所以正确；③中在中，若，则可得，所以可得或，所以可得或，从而得到为直角三角形或等腰三角形，所以错误；④中因为，，且，由基本不等式，得到，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，即的最大值是，所以正确.故答案为：②④【点睛】本题考查截距相等的直线的特点，等差数列前项和的特点，判断三角形形状，基本不等式求积的最大值，属于中档题.14、【解析】

根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题。【详解】数列的通项公式为，则，则答案．故为：．【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。15、；【解析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.16、【解析】

利用诱导公式求解即可【详解】，故答案为：【点睛】本题考查诱导公式，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见详解；(2).【解析】

（1）先证明平面，再推出面面垂直；（2）由（1）可知即为所求，在三角形中求角即可.【详解】（1）证明：因为，所以；又为的中点，所以.在直三棱柱中，平面.又因为平面中，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，设，则，在中，，在中，，又，得，因此直线与平面所成的角为.【点睛】本题第一问考查由线面垂直证明面面垂直，第二问考查线面角的求解，属综合基础题.18、（1）见解析（2）【解析】

（1）连结，交于点，连结，推导出，又，从而面，进而，推导出，由此能得到结论；（2）由题意，可证得是二面角的平面角，进而得，进而计算得，进而利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）连结，交于点，连结，因为侧面是菱形，所以，又因为，，所以面而平面，所以，因为，所以，而，所以，故.（2）因为，为的中点，则，由（1）可知，因为，所以面，作，连结，由（1）知，所以且所以是二面角的平面角，依题意得，，所以，设，则，，又由，，所以由，解得，所以.【点睛】本题考查两个角相等的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19、（1）是公比为的等比数列，理由见解析；（2）【解析】

（1）由，当时，，即可得出结论．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【详解】（1），则时，，时，为等比数列，公比为．（2）由（1）可得：，只需，（）当为奇数时，恒成立，又单减，∴当为偶数时，恒成立，又单增，∴．【点睛】本题考查等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20、（1）；（2）存在，【解析】

（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑的的最小值.【详解】（1）因为，所以或，又，则，所以；（2）因为，则，当为偶数时有不符合；所以为奇数，且，，所以且为奇数，故.【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.21、