赤峰市2024届高三六校第一次联考数学试卷含解析

赤峰市重点中学2024届高三六校第一次联考数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的偶函数/（x）满足/（x+2）=f（x）,当X0-3,-2］时，/（x）=-x-2,则（）

B.f(s加3)</(cos3)

D.f(2020)>f(2019)

2.已知直三棱柱中ABC—A4GZABC=120°,A3=2，8C=CG=1，则异面直线A与与BQ所成的角的

正弦值为（）.

D

255-T

3.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂

口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

22

4.设片，亮分别为双曲线「一与=1（。>0,*>0）的左、右焦点，过点片作圆/+/=〃的切线与双曲线的左

支交于点尸，若|桃|=2忱用，则双曲线的离心率为（）

A.V2B.6C.V5D.V6

一,x<0

5.已知函数/(x)=：,若函数E(x)=/(x)-质在R上有3个零点，则实数Z的取值范围为()

Inx八

----,x>0

.x

A.(0,—)B.(0,—)C.(—00,—)D.(―,—)

e2e2e2ee

6.已知2"=3〃=6,则。，b不可能满足的关系是。

A.a+b=abB.a+b>4C.(a-1)"<2D,a2+b2>8

7.对于任意xeR,函数/(x)满足/(2-x)=-/(x),且当x..l时，函数/(x)=GT.若

,则a,。,c大小关系是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8.已知等差数列{a}的前〃项和为S,,且%=-3,=24,若4+4=()(j,jeN*,且则i的取

n5I2

值集合是()

A.{1,2,3}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

9.若直线y=与曲线y=l+31nx相切，则％=()

1£

A.3B.-C.2D.

32

22

VV

10.已知椭圆二+4=1("＞人〉0)的焦点分别为耳，F2其中焦点%与抛物线＞2=2px的焦点重合，且椭圆与

ah

抛物线的两个交点连线正好过点入，则椭圆的离心率为(

V2

A.B.0-1C.3—20D.V3-1

11.已知全集。=区，集合A={x|y=lg(l-x)},B贝峭41B=()

A.(l,+℃)B.(0,1)C.(0,+oo)D.|l,+oo)

x-y+l<0,

12.已知EF为圆(x—1)2+(y+1)?=1的一条直径，点M(x,y)的坐标满足不等式组<2x+y+320,则ME•M/的

”1.

取值范围为（）

9

A.-,13B.[4,13]

r7-

C.[4,12]D.-,12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式(％+2)'"0+1)"=。0+“d+。2%2++满足％=4，a,=16,则/%+〃=

/+4+/++«„,+„=•

22

14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线千-£=1（。＞0力＞0）的焦距为2°,若过右焦点且与X轴垂直的直线与两条渐

近线围成的三角形面积为，,则双曲线的离心率为.

15.正方体ABC。-44GA中，E是棱的中点，尸是侧面上的动点，且8尸//平面ABE,记4与尸

的轨迹构成的平面为a.

①三尸，使得gFJ_CA；

②直线B.F与直线8C所成角的正切值的取值范围是［字,；］；

③a与平面CDQG所成锐二面角的正切值为205

④正方体的各个侧面中，与a所成的锐二面角相等的侧面共四个.

其中正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）

16.用数字0、1、2、3,4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有个.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=alnx+x（aeR）.

（1）讨论/*）的单调性；

（2）若对Vxe（0,+8）,f（x）—e'_℃＜0恒成立，求”的取值范围.

18.（12分）已知椭圆C:二+廿=1（。＞8＞0）的右焦点为耳，过点F,且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

0,且片与短轴两端点的连线相互垂直.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若圆O:/+y2=a2上存在两点/，N,椭圆C上存在两个点P,。满足：耳三点共线，P,。,片三点

共线，且PQ-MN=O,求四边形PMQN面积的取值范围.

19.(12分)如图，三棱柱43C—A'3'C'的侧棱A4'垂直于底面ABC,且NACB=90°,NBAC=30°,BC=\,

M是棱CC'的中点.

(1)证明：AB'lA'Mi

(2)求二面角A'—MB'—A的余弦值.

20.(12分)已知椭圆C：，+'=l(a〉b〉O)的离心率为半，点P1—1,日)在椭圆上.

(I)求椭圆的标准方程；

(D)设直线丫=区+优交椭圆C于两点，线段AB的中点M在直线x=l上，求证：线段4B的中垂线恒过定

点.

21.(12分)已知函数/(x)=g"z(x2-1)一］口工(加ER).

(1)若m=1,求证：/(x)>0.

(2)讨论函数/(%)的极值；

(3)是否存在实数优，使得不等式/(%)>!一工在―)上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请

xe

说明理由.

22.(10分)已知函数/(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时，求不等式/(x)<6的解集；

(2)设函数g(x)=|2x-l|.当xeR时，/(x)+g(x)23,求"的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据函数的周期性以及xG[-3,-2]的解析式，可作出函数/(x)在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.

【详解】

由/(x+2)=f(x),得/(x)是周期函数且周期为2,

先作出/(x)在xG[-3,-2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，

并结合f(x)是偶函数作出/(x)在R上的图象如下，

选项A,0<sin—=—<-cos—<1»

6226

所以小i哈卜了71

cos—,选项A错误;

6

选项B,因为二-<3<万，所以0<si〃3<'^V—cos3<l，

42

所以/(sin3)</(-cos3),即/(s加3)<f(cos3),选项B正确

选项C,sin竺=-0皿细s沅细>-口”>0,

323233

4万.4万>/c畤

所以一-cos——，即nn/〃丁

3

选项C错误;

选项D,/(2020)=/(0)</(I)=/(2019),选项D错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.

2、C

【解析】

设M,N,尸分别为A6,8瓦和BC的中点，得出的夹角为和NP夹角或其补角，根据中位线定理,

结合余弦定理求出AC,MQ,MP和NWNP的余弦值再求其正弦值即可.

【详解】

根据题意画出图形：

设M,N,P分别为AB,和B©的中点,

的夹角为MN和N尸夹角或其补角

可知MN=LAB、=叵,NP=-BC.=—

212212

作5c中点。，则-PQM为直角三角形;

PQ=1,MQ=]AC

A3C中，由余弦定理得

AC1=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+\-2x2x\x

:.AC=S，MQ=

在中，MP=^MQ2+PQ2=—

在PMN中,由余弦定理得

cosZ.MNP

所以sin

故选：C

【点睛】

此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.

3、C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

4、C

【解析】

设过点《作圆+的切线的切点为T,根据切线的性质可得且|OT|=a,再由户用=2|P附和

双曲线的定义可得|尸£1=2。,|尸鸟|=4”,得出T为4P中点，则有。77/尸外，得到P「片，即可求解.

【详解】

设过点月作圆M+的切线的切点为T,

OTLPF„\FJ|=OF\」=a

\PF^=2\PF^PF^-\PF]=2a]PF2\=4a]PF]=2a,

所以T是6P中点，，。丁/肥月,•./耳1「尸2，

・・.|尸耳F+1尸8F=20a2=|耳5|=42,

—7=5,e='\/5•

ci

故选:c.

【点睛】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

5、B

【解析】

根据分段函数，分当x<(),x>(),将问题转化为％=/区的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当尤<()时，％=旦。=~4，4-g(^)=-r，g'(^)=--：〉0,g(x)在xe(-8,0)是增函数，%>0时，攵=丛。

XXXX'X

有一个零点，

当x>0时，人犯=S，令g)=吗,〃,(*)=匕萼

XXXX

当xe(O,〃)时，"3)>0,；"(x)在(0,五)上单调递增，

当XG(五,+8)时，〃'(X)VO,.,.力(刘在(G,+OO)上单调递减,

所以当x=〃时，〃(x)取得最大值」

2e

因为产(%)=人次)一辰在R上有3个零点，

所以当x>o时，攵=/(0有2个零点，

X

如图所示:

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

6、C

【解析】

根据2"=3〃=6即可得出。=1+1423,匕=1+1叫2,根据Iog23-log32=l,logaZ+loga2〉？，即可判断出结

果.

【详解】

•••2"=3"=6;

/.a=log,6=1+log,3,b=log36=1+log32；

故正确;

a+/?=2+log23+log32>4,=2+log23+log32>4,A,8

2222故错误；

(«-l)+(^-l)=(log23)+(log32)>2log23-log32=2,C

2222

a+b=2+2(log23+log32)+(log23)+(log32)

故正确

>2+4^/10^340^2+2log23-log32=8,D

故C.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a+bN2j茄和不等式/+2出?的应用,

属于中档题

7、A

【解析】

由已知可得口一)的单调性，再由/(2-幻=--(幻可得/(x)对称性，可求出“幻在(—,1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数/*)满足/(2-%)=一/(幻，

因为函数/(x)关于点(1,0)对称，

当XN1时，/(x)=是单调增函数，

所以fM在定义域R上是单调增函数.

因为W4所以/卜

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

8、C

【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足《+%=。的i的取值集合.

【详解】

设公差为d,由题知%=-3=>a〕+34=-3,

S「=24n12q+^^d=24,

12

解得q=-9,d=2,

所以数列为-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,,

故ie{123,4,5}.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

9、A

【解析】

3,3

设切点为（％，5-2）,对y=l+31rw求导，得到从而得到切线的斜率%=一,结合直线方程的点斜式化简

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（飞，铝-2）,

3=k①,

“=3

X

5-2=1+3In/②,

由①得5=3,

代入②得l+31nx0=l,

则毛=1,k-3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式，属于简单

题目.

10、B

【解析】

22逝+3

a=-----p

根据题意可得易知。=",且—亡4

4,解方程可得＜,再利用《2==即可求解.

2心必担2

p%2+4p2a24a2b2

2

【详解】

22V2+3

4—USa=-----

4

易知c=—,且〈4n(

222

p2/+4p2a2=4<7/?

2

「2

故有e1=—r3-2>/2,则e=j3-21=。-1

a

故选：B

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

11>D

【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合AB,由补集和交集定义可求得结果.

【详解】

A={%|l-x>0}=(7,1),B=(0,+oo),.=[1,+00),

B=[l,+oo).

故选：D.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.

12、D

【解析】

首先将转化为用/_1，只需求出"T的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心丁(1,-1)距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为T(l,-1),则MEMF=(MT+TE)-(MT+TF)=

—222

(MT+TE)-(MT-TE)=MT-TE=MT—1，

过T作直线》一丁+1=0的垂线，垂足为B,显然M8WVTWM4,又易得A(—2,1),

所以=J[1-(—2)『+(7_1)2=回,

.27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、572

【解析】

2

二,多项式(x+2)(x+1)=ci0+atx+a2x+"满足=4,q=16

.,.令x=0,得2"x1"=4=4,则机=2

二(x+2)“x+1)”=(f+4x+4)(x+l)n

该多项式的一次项系数为+4C；T'T=16

:.C；「=3

:.〃=3

m+n=5

2a

令x=1,得(1+2)x(1+Ip=4+4+生-I-----m+n=72

故答案为5,72

14、0

【解析】

利用=gX|6O||A8|=/即可建立关于a,b,c的方程•

【详解】

设双曲线右焦点为工，过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线分别交于4B两点，

be1

则A(C一),B(c,——)，由已知，S=-X\FO\\AB\=C2,即—•c=c2,

aa&AOB22a

所以a=/?,离心率e=J+(2))=V2.

故答案为：近

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立a/,c的方程或不等式，是一道容易题.

15、（D®③④

【解析】

取CD中点G,GR中点”，CG中点N,先利用中位线的性质判断点F的运动轨迹为线段MN,平面4MN即为平面

a，画出图形，再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线B.F与直线8C所成角即为直线BF与直线B£

所成角，设正方体的棱长为2,进而求解;③由MNHEG飘F为MN中点，则MN±C,F,MN上B】F，则ZB.FC,即为a

与平面CDDG所成的锐二面角，进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.

【详解】

取8中点G,连接EG,则EG//CQ,所以EG〃48,所以平面4BE即为平面ABGE,

取G4中点M，CG中点N,连接BMBNMN，则易证得B}M//BG,B、NHA、E,

所以平面gVN〃平面A/GE,所以点尸的运动轨迹为线段MN,平面AWN即为平面。.

①取F为MN中点，因为4B,MN是等腰三角形，所以B、F人MN，又因为MN//CD,，所以C0，故①正确；

②直线BF与直线6C所成角即为直线BF与直线B£所成角，设正方体的棱长为2,当点F为MN中点时，直线B.F

与直线B.C,所成角最小，此时G尸=走，tanNC/7=*=g；

2B©4

当点尸与点M或点N重合时，直线BF与直线8G所成角最大，此时tanZC.fi,F=g,

所以直线B,F与直线8c所成角的正切值的取值范围是［乎］］,②正确；

③a与平面CDDG的交线为EG,AMN//EG跟F为MN中点，则MN±CtF,MN±BtF,ZBtFC}即为a与平

面CDDg所成的锐二面角,tanZ^FC,=笑=20，所以③正确；

④正方体ABCD-A^C^的各个侧面中，平面ABC。,平面A4GA，平面BCC出，平面ADDtAt与平面a所成的角

相等,所以④正确.

故答案为:①©③④

【点睛】

本题考查直线与平面的空间位置关系，考查异面直线成角，二面角，考查空间想象能力与转化思想.

16、60

【解析】

对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.

【详解】

①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，

此时，符号条件的6位自然数个数为周用=36个；

②若首位数为偶数，则首位数不能为0,0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，

此时，符合条件的6位自然数个数为8=24个.

综上所述，符合条件的6位自然数个数为36+24=60个.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，

属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)①当a<0时，/0)在上单调递减，在(一物)上单调递增；②当时，/(幻在(0,+s)上单调

递增；

(2)f0,+oo).

【解析】

xA-n

(1)求出函数的定义域和导函数，ff(x)=——,对。讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；(2)法一：由

x

/(x)-ev-ax<0a(x-Inx)>

分别运用导函数得出函数s(x)=尤-e'(x>0),《x)=x-lnx(x>o)的单调性，和其函数的最值，可得

r-ev

,可得的范围；

x-\nx

法二:由/(x)-e*-ax<0得/(x)<ax+el化为/(%)</©)令〃(x)=x-e'(x〉O),研究函数的单调性，可得〃

的取值范围.

【详解】

(1)f(x)的定义域为(o,+8),r(x)=@+i=山,

X

①当。<0时，由/'(x)>0得x>—a,r(x)<0得o<x<—a,

fM在(0,一a)上单调递减，在(-«,m)上单调递增；

②当a20时，/'(幻>0恒成立,二/(x)在(0,+8)上单调递增；

(2)法一：由/(x)-e'-ar<0得a(x-lnx)>无一e”,

令s(x)=x-e*(x>0),贝!|s，(x)=l—e'<0,.♦.s(x)在(0,+℃)上单调递减，

/.5(X)<s(0)=-1,5(X)<0,即x-e*<0，

1Y—1

令(x)=x-\nx^x>0),f(x)=1——=-----,

XX

则x>l](x)>0,《X)在(1,内)上单调递增,0<x<l,r(x)<0,《X)在(0,1)上单调递减，所以[x)»[l)=l>0,

即x-lnx>0,

x-ev小

/.a>--------(*)

x-\nx

Y—AX

当aNO时，<0,，(*)式恒成立，即,f(x)—e-依<()恒成立，满足题意

x-lnx

法二:由/(%)-e'v-ax<()得/(x)<ar+e”，•.,.f(e")=ax+e',，/(x)</(ev)

令〃(x)=x-e*(x>0),贝!|厅(x)=l-e*<0,,/?(x)在(0,+oo)上单调递减，

.•./?(%)</?(0)=-1,h(x)<0,即％<e*,

当aNO时,由(I)知/*)在(0,+8)上单调递增，.•./(x)</(e*)恒成立，满足题意

当“<0时，令夕(无)=aln尤-e",则=<0(x>0),所以*(x)在(0,+s)上单调递减，

又破l)=-e<(),当x->0时，0(X)->KO,，mrG((),l),使得p(r)=(),

.•.当/e((),r)时，奴工0)>9(r)=°，即aln%>e*,

110

又入0>以。,aInx0+x0>e*+ax0,/(x0)-e'-ax0>0,不满足题意,

综上所述，。的取值范围是[0,+8)

【点睛】

本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.

18、(1)y+y2=l；(2)[2,2V2]

【解析】

(1)又题意知，a=y[2b>4=0°及/=/72+/即可求得以b、c,从而得椭圆方程.

(2)分三种情况：直线MN斜率不存在时，MN的斜率为0时，MN的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立

方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.

【详解】

(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，b=c,

•.,过点6且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为V2..-.—=72

a

又。2=>2+。2,解得Q=0,b=C=l.

二椭圆C的方程为三+丁=1

(2)由(1)可知圆。的方程为V+y2=2,

(0当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0,

此时|政V|=2,|PQ|=2正,与边形PMg=2拒

(«,)当直线MN的斜率为零时，|MN|=2起,|PQ|=V2,S四边形「也可=2.

(in)当直线MN的斜率存在且不等于零时，设直线MN的方程为丫=%。-1)(々/0),

联立f+丁=2,得(I+/口2_2k2x+k2-2=0(A>0),

22

设M,N的横坐标分别为,贝!|如+/=鼻2Ar,x,“•赤=ky—-2T-

I\K1I/C

所以|MN|=y/l+ie\xM-XN\=2f+；,

(注：IMN)的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)

由PQLMN可得直线PQ的方程为y=--(x-W丰0),联立椭圆C的方程消去V,

k

得(/+2»2_4尤+2_2%2=0(A>0)

42

设P,。的横坐标为则x0+%='v，2-2k

,°2+k2pQ2+k2

2-2k220(1+F)

"Ql=2

2+k2-2+k-

S四边形PM。.=；IMN||PQ|=20后捻=2&

1

0<—<―..-----<<12<s四边形p“2N<272.

2+k222

综上，由(i)3)(出)得鼠边形PMQN的取值范围是［2,2夜］.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用。、反c的

关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数

解析式，运用函数知识求解；本题是难题.

19、(1)详见解析；(2)|.

【解析】

(D根据A4'_L平面ABC,四边形4CCA'是矩形，由“为CC中点，且A4'=CC'=",利用平面几何知识,

可得A'M_LAC',又3'C」平面4CCA',所以B'CUA'M,根据线面垂直的判定定理可有，平面

ABC',从而得证.

(2)分别以C4,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，得到A'(g,O,n),M(0,0,告)，堂)，

M4=6,0,-乎)，分别求得平板TB'和平面M48'的法向量，代入二面角向量公式

-n2\

cos6=|cos<n,,n3>1=------求解.

'卬•I%l

【详解】

(1)证明：平面ABC,

二四边形ACCA'是矩形，

为CC'中点，且A4'=CC'="，

.•CM冷,

'：BC=\,N84c=30°,ZACB=9Q°,

C,M_A'C'

AC=A'C'=3,

A'C'~A4'

'：ZMC'A'=ZC'A'A,：.AMC'A'与AC'A'A相似,

：.ZC'A'M=ZA'AC',ZA'AC'+ZAA'M=90°,

：.A'M1AC',

•••ZACB=90°,BC±平面ACC'A',

3'C」平面ACC'A',

•••4'〃(=平面4。。'4,二8'。」4'〃，

二A'M,平面AB'。，.IA'MLAB'.

(2)如图，

分别以C4,CB,CC'为x,>,z轴建立空间直角坐标系,

则AI6,0,n)，M\0,0,,B10,1,,MA=73,0,-

设平面M4'B'的法向量为勺=（3,加4）,则知4'等=0,=0,

等1),

解得：勺

同理，平面M48'的法向量%=（—当，手,一1）,

设二面角4-用8'-4的大小为。，

卜•电|

则COS0=1cos<々，%>|=

|«1|'|«2।

2

即二面角A'—MB'—A的余弦值为I.

【点睛】

本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力,

属于中档题.

2

20、（1）—+y2=l；（n）详见解析.

4-

【解析】

(I)把点P代入椭圆方程，结合离心率得到关于。力的方程，解方程即可:

(II)联立直线与椭圆方程得到关于X的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段AB的中垂线方程即

可证明.

【详解】

得'NA，

(I)由已知椭圆过点P

匚卜日，得/=4心

又e，=

a

2

所以/=4方=1,即椭圆方程为r工+y2=].

4

C2

X2_]

）,得（攵）攵如加之一

(H)证明:由4+1+42X2+8+44=0,

y=kx-\-m

由△=Mk2m2-4（1+4公）（4加一4）=一16加+64公+16>0,得/<i+4/,

由韦达定理可得，“x2=-中

设AB的中点M为(毛，%)，得X。

m1

y=kx+m

QQ1+4公-4k

；•他的中垂线方程为了+5=-*|),即片-：x-|

故A3得中垂线恒过点N(：,0

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综

合运用能力：正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.

21、(1)证明见解析；(2)见解析；(3)存在，1.

【解析】

(1)机=1,求出/'(X)单调区间，进而求出即可证明结论;

(2)对/'(X)NO(或/'(x)<0)是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出/(x)>0,/(x)<0

的解，即可求出结论；

(3)令〃。)=-----,xe(l,+oo),可证及。)>0,》6(1,+0。)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，m«O,/(x)在(l,+o。)

0<m<1,/(x)在[1,^=)

为减函数,上单调递减，在(1,收)都存在f(x)<0,不满足/(x)>g(x),当加时,

2

设F(x)=1/?i(x-l)-lnx-1+-^r,且F(l)=0,只需求出F(%)在(1,+w)单调递增时加的取值范围即可.

【详解】