2024届北京市中学关村中学八年级数学第二学期期末考试试题含解析

2024届北京市中学关村中学八年级数学第二学期期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次根式尸^中，x的取值范围在数轴上表示正确的是（）

B----0^

2.如果J(X—2)2=2-X,那么(

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

3.一次函数丫=2*+1＞与反比例函数丁=伫2,其中abVO,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是（

)

111

4•把分式.，再,不进行通分，它们的最简公分母是，）

A.x-yB.x+yC.x2-y2D.(x+y)(x-y)(x2-y2)

5.在AABC,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC的长是（）

A.14B.4C.4或14D.7或13

6.已知点A（-5,力）、B（-2,J2）都在直线了=-：工上，则力与"的关系是（）

A.B.%=%C.%<%D.%>为

7.若式子正有意义，则实数x的取值范围是（）

x-2

A.%之0且B.x>QC.尤/0D.x>2

8.下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（）

A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半

C.对角线平分一组对角D.对角线相等

9.如图所示.在aABC中，AC=BC,ZC=90°,AD平分NCAB交BC于点D,DE_LAB于点E,若AB=6cm,则

△DEB的周长为（）

A.12cmB.8cmC.6cmD.4cm

10.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.10x2—5x=5x（2X—1）B.。（x+y）=ax+ay

C.x2—4x+4=x（x—4）+4D.X2—16+3X=（X—4）（x+4）+3%

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知，菱形ABC。的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为.

12.一组数据：5,8,7,6,9,则这组数据的方差是.

13.如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O,BC=5,若DE〃AC,CE〃BD,则OE的长为

14.今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙

机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币.某人共进行了12次换币,便将一枚硬币换成了81枚.试问他在丙机上换了

次？

15.如图，一个含有30。角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若Nl=20。，则N2=.

16.在平面直角坐标系中，四边形ABC。是菱形。若点A的坐标是(1,6),点C的坐标是

17.如果关于x的方程乙2一6》+9=0有两个相等的实数根，那么左的值为.

18.甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，若两人比赛成绩的方差分别为S2甲

=1.25和S2乙=3,则成绩比较稳定的是(填甲或乙).

三、解答题(共66分)

19.(10分)先化简再求值(1--—)-,其中x=-L

-XI2x4,

20.(6分)已知，如图(1),a、b、c是AABC的三边，且使得关于x的方程(b+c)x2+2ax-c+Z)=0有两个相等的实

数根，同时使得关于x的方程好+2如+‘2=0也有两个相等的实数根，。为5点关于AC的对称点.

(1)判断AABC与四边形A3。的形状并给出证明；

(2)P为AC上一点，且PM交8C于延长OP交A8于N,赛赛猜想C。、CM.CP三者之间的数量

关系为CM+CD=血CP,请你判断他的猜想是否正确，并给出证明;

(3)已知如图(2),。为A8上一点，连接C?,并将CQ逆时针旋转90。至CG,连接。G,H为G0的中点，连接

,HD

HD,试求出不二.

AQ

21.(6分)综合与实践

(问题情境)

在综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，如图1,在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=5,点

E,F分别为边AB,AD上的点，且DF=3。

(操作发现)

⑴沿CE折叠纸片，B点恰好与F点重合，求AE的长；

⑵如图2,延长EF交CD的延长线于点M,请判断ACEM的形状，并说明理由。

(深入思考)

(3)把图2置于平面直角坐标系中，如图3,使D点与原点O重合，C点在x轴的负半轴上，将ACEM沿CE翻折，

使点M落在点处.连接CM，，求点的坐标.

22.(8分)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进

该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍.

(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？

(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折(“七折”

即定价的70%)售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

(a2+1)4a2-1f«-2<0

23.(8分)先化简，再求值：---a---,其中。是满足不等式组的整数解.

、a—212—aa>0

24.(8分)阅读下列材料，完成(1)、(2)小题.在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A(玉,0),3(尤2,0)的距离记

作/出=|%-%|，如果人(为弘)，3(/,%)是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A5间的距离，

如图1,过点4、3分别向左轴、V轴作垂线AM-AM和BA/?，33，垂足分别是N1,M2,小，直线AN1

交5M2于点。，在放AA5。中，AQ=\Xl-x2\,

2222222

BQ^\yl-y2\：.AB=AQ+BQ=I%1-X21+1-y21=(%1-x2)+(^-y2)A

AB=-/『+(必一%y，我们称此公式A3=-々)2+(%-J)?为平面直角坐标系内任意两点

4(%,%),5(%,%)间的距离公式

(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点A。,-3),8(-2,1)的距离为

(2)如图2,已知在平面直角坐标系中有两点4(0,3),5(4,1),。为x轴上任意一点，求出+依的最小值

25.(10分)把下列各式因式分解：

(1)x-xy2

(2)-6x2+12x-6

26.(10分)如图，将等边AABC绕点C顺时针旋转90得到AEEC,NACE的平分线CD交E尸于点。，连接A。、

AF.

(1)求NCE4度数；

(2)求证：AD//BC.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,D

【解题分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出X的范围.

【题目详解】

解：根据题意得3+忘0,

解得：x>-3,

故x的取值范围在数轴上表示正确的是，_________>.

-30

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

2、B

【解题分析】

试题分析：根据二次根式的性质，值=同，可知x-2W0,即xW2.

故选B

考点：二次根式的性质

3、C

【解题分析】

根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0,计算a-b确定符号，确定双曲线的位置.

【题目详解】

A.由一次函数图象过一、三象限，得a>0,交y轴负半轴，则b<0,

满足ab<0,

/.a-b>0,

...反比例函数丫=巴女的图象过一、三象限，

X

所以此选项不正确；

B.由一次函数图象过二、四象限，得a<0,交y轴正半轴，则b>0,

满足ab<0,

a-b<0,

反比例函数y=j的图象过二、四象限，

x

所以此选项不正确；

C.由一次函数图象过一、三象限，得a>0,交y轴负半轴，则b<0,

满足ab<0,

:.a-b>0,

...反比例函数丫=@二2的图象过一、三象限，

X

所以此选项正确；

D.由一次函数图象过二、四象限，得a<0,交y轴负半轴，则b<0,

满足ab>0,与已知相矛盾

所以此选项不正确；

故选C.

【题目点拨】

此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小

4、C

【解题分析】

试题分析：确定最简公分母的方法是：

(1)取各分母系数的最小公倍数；

(1)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

(3)同底数募取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母.

解：分式一--,一~7^一的分母分别是(x-y)、(x+y)、(x+y)(x-y).

2z

x-yx+yx-y

则最简公分母是(x+y)(x-y)=x-y1.

故选：C.

【点评】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简

公分母的方法一定要掌握.

5、C

【解题分析】

分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD,CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中，BC

=BD+CD,在钝角三角形中，BC=CD-BD.

【题目详解】

解：⑴如图

锐角△ABC中，AB=15,AC=13,BC边上高AD=12,

在RtzXABD中AB=15,AD=12,由勾股定理得:

BD2=AB2-AD2=152-122=81,

；.BD=9,

在Rt^ACD中AC=13,AD=12,由勾股定理得

CD2--AC2-AD2=132-122=25,

/.CD=5,

ABC的长为BD+DC=9+5=11；

(2)如图

DcB

钝角^ABC中，AB=15,AC=13,BC边上高AD=12,

在Rt^ABD中AB=15,AD=12,由勾股定理得：

BD2=AB2-AD2=152-122=81,

/.BD=9,

在RtZ\ACD中AC=13,AD=12,由勾股定理得：

CD2=AC2-AD2=132-122=25,

.\CD=5,

ABC的长为DC-BD=9-5=1.

故BC长为11或1.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答.掌握在任何一个直角三角形中，两条直角

边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

6、D

【解题分析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可求出yi,y2的值，比较后即可解答.

【题目详解】

解：•.,点A(-5,yi)>B(-2,y2)都在直线丫=-；*上，

5

•*.yi=y,y2=l.

•'.yi>y2.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出yi,y2的值是解题的关键.

7、A

【解题分析】

根据分式及二次根式的性质即可求解.

【题目详解】

依题意得x20,x-2#0,故了之0且尤W2

选A.

【题目点拨】

此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式的性质及分母不为零.

8、D

【解题分析】

根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分得到正确选项.

【题目详解】

解：矩形的对角线相等，

故选：D.

【题目点拨】

此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.

9、C

【解题分析】

VZC=90°,AD平分NCAB交BC于点D,DEJ_AB于点E.

，DE=DC,

.\AE=AC=BC,

.\BE+DE+BD=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6cm.

故选c.

10、A

【解题分析】

因式分解是将一个多项式转化成几个代数式乘积的形式，据此定义进行选择即可.

【题目详解】

A.符合定义且运算正确，所以是因式分解，符合题意；

B.是单项式乘多项式的运算，不是因式分解，不符合题意；

C.因为d—4x+4=（x—2）2,所以C不符合题意；

D.不符合定义，不是转换成几个代数式乘积的形式，不符合题意；

综上所以答案选A.

【题目点拨】

本题考查的是因式分解的定义，熟知因式分解是将式子转化成几个代数式乘积的形式是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11>5：1（或1：5）

【解题分析】

先根据菱形的性质求出边长A3=2,再根据直角三角形的性质求出NB=3O。，得出NZMB=15O。，即可得出结论.

【题目详解】

解：如图所示：四边形ABC。是菱形，菱形的周长为8,

；.AB=BC=CD=DA=2,ZDAB+ZB=18O°,

AE=1,AELBC,

：.AE=1-AB,

2

.•.ZB=30°,

ZDAB=150°,

故答案为：5：1（或1：5）.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质、含30。角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30。角的直角三角形的判定是解决问

题的关键.

12、2

【解题分析】

先求出平均数，然后再根据方差的计算公式进行求解即可.

【题目详解】

-5+8+7+6+9

x=----------------------=7,

5

S2=|X[（5-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（9-7）2]=2,

故答案为：2.

【题目点拨】

本题考查了方差的计算，熟记方差的计算公式是解题的关键.

13、1

【解题分析】

由菱形的性质可得BC=CD=LAC1BD,由题意可证四边形ODEC是矩形，可得OE=CD=L

【题目详解】

解：•.•四边形ABCD是菱形，

；.BC=CD=1,AC_LBD,

；DE〃AC,CE//BD,

二四边形ODEC是平行四边形，且ACLBD,

二四边形ODEC是矩形，

；.OE=CD=1,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，证明四边形ODEC是矩形是解题的关键.

14、8

【解题分析】

根据题意可知，在甲机上每换一次多1个；在乙机上每换一次多3个；在丙机上每换一次多9个；进行了12次换币就

将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可.

【题目详解】

解：设：在甲机换了x次.乙机换了y次.丙机换了z次.

在甲机上每换一次多1个；

在乙机上每换一次多3个；

在丙机上每换一次多9个；

进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个;

.jx+y+z=12①

x+3y+9z=80②

由②-①，得:2y+8z=68,

:.y+4z=34,

.\y=34-4z,

结合x+y+z=12,能满足上面两式的值为：

x=2,y=2,z=8；

即在丙机换了8次.

故答案为：8.

【题目点拨】

此题关键是明白一枚硬币在不同机上换得个数不同，但是通过一枚12次取了81枚，多了80枚，找到等量关系，再根

据题意解出即可.

15、110°

【解题分析】

已知Nl=20。，可求得/3=90。-20。=70。，再由矩形的对边平行，根据两直线平行，同旁内角互补可得N2+N3=180°,

【解题分析】

作AD±y轴于点D,由勾股定理求出OA的长，结合四边形ABC。是菱形可求出点C的坐标.

【题目详解】

作ADJ_y轴于点D.

•.•点A的坐标是(1,6),

；.AD=1QD=G

•••OA=/+(M)2=2,

•..四边形ABC。是菱形,

/.AC=OA=2,

，CD=l+2=3,

AC(3,6).

故答案为：C(3,73)

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质，勾股定理以及图形与坐标，根据勾股定理求出OA的长是解答本题的关键.

17、1.

【解题分析】

根据题意方程有两个相等实根可知△=(),代入求值即可解题.

【题目详解】

••・关于x的方程kx2-6x+9=0有两个相等的实数根，

(-6)2-44x9=0且际0,

解得：k=l,

故答案为：L

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程根的判别式，本题解题关键是根据题意得到根的情况，代值到判别式即可解题.

18、甲

【解题分析】

根据方差的意义即可求得答案.

【题目详解】

；S甲2=1.25,S乙2=3,

；.S用2Vs乙2,

二甲的成绩比较稳定,

故答案为：甲.

【题目点拨】

此题考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定.

三、解答题(共66分)

19、一.

2

【解题分析】

原式:0一gw

x+2(x+2)(x-2)

_x+1(x+2)(x-2)

~X+2-(%+1)2

_x-2

x+1

a_2s

当x=—3时，原式二丁二二^

-3+12

20、(1)△ABC是等腰直角三角形.四边形A5C。是正方形；(2)猜想正确.(3)叵

2

【解题分析】

(1)结论：AABC是等腰直角三角形.四边形ABCD是正方形；根据根的判别式=0即可解决问题；

(2)猜想正确.如图1中，作PEJ_BC于E,PFJ_CD于F.只要证明△PEMg/VPFD即可解决问题；

(3)连接DG、CH,作QKLCD于K.则四边形BCKQ是矩形.只要证明△CKH^^GDH,△DHK是等腰直角

三角形即可解决问题.

【题目详解】

解：(1)结论：^ABC是等腰直角三角形.四边形ABCD是正方形；

理由：•••关于x的方程(b+c)x2+2ax-c+b=0有两个相等的实数根，

/.4a2-4(b+c)(b-c)=0,

:.a2+c2=b2,

・・・NB=90。，

又•・•关于x的方程x2+2ax+c2=0也有两个相等的实数根，

/.4a2-4c2=0,

.\a=c,

・・・AABC是等腰直角三角形，

TD、B关于AC对称，

・・・AB=BC=CD=AD,

・•・四边形ABCD是菱形，

VZB=90°,

•*.四边形ABCD是正方形.

(2)猜想正确.

理由：如图1中，作PEJ_BC于E,PF_LCD于F.

•.•四边形ABCD是正方形，

.,.ZPCE=ZPCF=45°,

VPE1CB,PF1CD,

/.PE=PF,

；NPFC=NPEM=NECF=90。，PM_LPD,

/.ZEPF=ZMPD=90°,四边形PECF是正方形,

，NMPE=NDPF,

/.△PEM^APFD,

；.EM=DF,

ACM+CCE-EM+CF+DF=2CF,

••,PC=72CF,

.\CM+CD=V2PC.

(3)连接DG、CH,作QKLCD于K.则四边形BCKQ是矩形.

图(2)

VZBCD=ZQCG=90°,

.\ZBCQ=ZDCG,

VCB=CD,CQ=CG,

.,.△CBQ^ACDG,

AZCBQ=ZCDG=90°,BQ=DG=CK,

VCQ=CG,QH=HG,

・・・CH=HQ=HG,CH±QG,

VZCHO=ZGOD,ZCOH=ZGOD,

，NHGD=NHCK,

AACKH^AGDH,

Z.KH=DH,ZCHK=ZGHD,

JZCHG=ZKHD=90°,

・・・ADHK是等腰直角三角形，

ADK=AQ=72DH,

.DH72

••—.

AQ2

【题目点拨】

本题考查四边形综合题、正方形的性质和判定.等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

331

21、(1)AE的长为二；Q)ACEM是等腰三角形，理由见解析；(3)MQ丁，5).

24

【解题分析】

(1)由矩形的性质得出NA=90。，AD=BC=5,由折叠的性质得：FE=BE,设FE=BE=x,则AE=AB-BE=4-x,求出

AF=AD-DF=5-3=2,在RtAAEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

(2)由矩形的性质得出AB〃CD,由平行线的性质得出NBEC=NMCE,由折叠的性质得：ZBEC=ZCEM,得出

ZMCE=ZCEM,证出MC=ME即可；

_DMDF925

(3)由平行线得出ADFMsZ\AFE,得出----=——，解得：DM=—,得出ME=MC=CD+DM=—，由折叠的性

AEAF44

2531

质得：M'E=ME=一，得出AM，=M，E+AE=—，即可得出答案.

44

【题目详解】

⑴设AE=x.贝！］BE=4-x

由折叠知：EF=BE=4-x

•/四边形ABCD为矩形

/.AD=BC=5

.\AF=AD-DF=5-3=2

在RtAAEF中，由勾股定理得

AE2+AF2=EF2

即x2+22=(4-x)2

.%-3

2

3

答：AE的长为不；

Q)ACEM是等腰三角形，理由如下:

由折叠知：ZBEC=ZMEC

•••四边形ABCD为矩形

，AB〃CD

:.ZBEC=ZMCE

，ZMEC=ZMCE

,*.ME=MC

.••ACEM是等腰三角形

(3)由折叠知：MrE=ME,MC=MC

由⑵得：ME=MC

.*.MrE=ME=MC=MrC

二四边形M，CME是菱形.

_3

由题知：E(--,5),F(0,3)

2

设直线EF的解析式为y=kx+b

f3

--k+b=5

<2

b=3

3

b=3

.4°

•*.y=——x+3

人相

令y=0得X9

4

9

0)

9

/.0M=-

4

925

/.CM=4+-=——

44

25

,\M,E=MC=—

4

25331

M'A=M'E+EA=—+-=——

424

31

5）.

【题目点拨】

四边形综合题目，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、坐标与图形性质、勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角

形的判定与性质等知识，本题综合性强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题

22、（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克5元；（2）商场在两次苹果销售中共盈利4160元.

【解题分析】

解：（1）设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元

10000_11000

x%+0.5

解得丫=5

经检验：x=5是原方程的解，并满足题意

答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元.

⑵两次购进苹果总重为：?也+嘿^=3000千克

共盈利：（3000-400）x7+400x7x0.7-5000—11000=4160元

答：共盈利4160元.

23、化简得：-丁二，求值得：—1.

2a-l

【解题分析】

先解不等式组，求得不等式组的整数解，后利用分式混合运算化简分式，把使分式有意义的字母的值代入求值即可.

【题目详解】

ftz-2<0

解：因为〈八>解得：

a>0

因为。为整数，所以。=1,“=2.